精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期2月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 2. 中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】甲、乙2名同学先选相同的书，然后再从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学即可. 【详解】由题意得甲、乙2名同学先选相同的书，有种选法， 然后从剩下的4本书中选2本，分给甲、乙2名同学，有种选， 所以由分步乘法原理可知共有种选法. 故选：B 3. 已知数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式得到是以为首项，以为公比的等比数列，则，然后利用累加法即可求解. 【详解】由可得：， 若，则，与题中条件矛盾，故， 所以，也即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 则有， 也即，所以， 故选：. 4. 已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可. 【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)， 所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围， 又圆心到的距离，圆的半径为2， 所以的取值范围为，即. 故选：C 5. 小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西南大学恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算出随机选两所去参观的总选法，再计算出含有西南大学的选法即可作答． 详解】从6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，有种选法， 西南大学恰好被选中的事件有种选法， 所以西南大学恰好被选中的概率. 故选：C 6. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A. 168种 B. 240种 C. 264种 D. 336种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为两种情况：甲乙其中一人参加,甲乙两人都参加，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两种情况： 若甲乙其中一人参加，有种情况； 若甲乙两人都参加，有种情况， 所以不同的发言顺序有种. 故选：C. 7. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过和的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出的表达式，结合可求与关系式，齐次化可求离心率. 【详解】解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成（）， 设切线方程为，与联立得， ， 由，则， 设切线方程为， 同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：C. 8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得的值. 【详解】因为，所以，，且， 由题意可得，所以，， 故函数为周期函数，且周期为， 所以， . 故选：B. 二、多选题 9. 四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别判断的情况下的可能的传递情况，采用分步乘法和分类加法计数原理可计算得到. 【详解】从甲开始，一次传递有三种情况（甲传到下一个人有三种选择）， 当时，就传递一次，不可能回到甲手上，； 当时，传递两次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传回到甲，， 当时，传递三次，先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上， 最后传回到甲，，A错误； 当时，传递四次，两种情况： （1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，； （2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，； ，B正确； 当时，传递五次，三种情况： （1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外两个人手上，最后传回到甲，； （2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，； （3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，； ，C错误； 当时，传递六次，两种情况： （1）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，； （2）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，； （3）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，； （4）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到甲手上，再传到任意乙、丙、丁手上，最后传回到甲，； （5）先传到任意乙、丙、丁手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，再传到除了甲以外的两个人手上，最后传回到甲，； ，D正确. 故选：BD． 10. 已知直线过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为2，则的方程为 B. 若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C. 若直线的一个方向向量为，则的方程为 D. 若直线与直线平行，则的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各项描述，应用斜率两点式、点斜式及直线平行求直线方程. 【详解】A：由题设，的方程为，即，错； B：由题设，直线斜率，则，即，对； C：由题设，直线斜率，则，即，对； D：由题设，令直线为，将代入得， 所以的方程为，对. 故选：BCD 11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项正确. 由上述分析可知，中点， 其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切， C选项正确. ， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 12. 若，则__________. 【答案】1或2023 【解析】 【分析】由组合知识进行求解. 详解】由于，故或，其他值不合要求. 故答案为：1或2023 13. 双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式即可结合双曲线的方程求解得，进而可求解. 【详解】双曲线的右顶点为，则， 又点，均在上，且关于轴对称， 设，， 又直线，的斜率之积为， 则，即，① 又，即，② 联立①②可得：， 即， 即． 故答案为： 14. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为___________．（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由有两个不同的极值点可得有两个不等实根，进而函数与图象有两个交点，利用导数求切线斜率，结合图象可得答案. 【详解】解：依题， 因为有两个不同的极值点，所以有两个不等实根． 即函数与图象在上有两个不同交点， 令过原点且与图象相切的直线斜率为k，由图可知，， 设切点为，则， 又，所以，解得， 于是，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）解，根据数列的单调性求最值即可. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为，， 由题意可得， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的首项为，公比为，通项公式. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 令解得， 所以当时，，即， 又，，， 所以数列的最大项为, 16. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面. （2）取中点，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且， 而且，又为的中点，则且，于是且， 因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令， 取中点，连接，而为中点，则，有底面， 由正，得，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，令直线与平面所成的角为， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 17. 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积． 【答案】（1）；离心率为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，再由椭圆定义求得，从而可得，得到椭圆方程和离心率； （2）利用韦达定理求得弦长，由点到直线距离公式求得到直线的距离后可得三角形面积． 【小问1详解】 由已知，，又因为，， 所以， 所以，，， 椭圆的标准方程为，离心率为； 【小问2详解】 直线的方程为，设， 由得， ，， ． 到直线的距离为， 所以． 【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“焦点、焦半径”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）6，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间； （2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解； （3）转化为，分，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ，解得， 此时， 令，有或，令，有， 所以是的极值点，满足题意， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知， 当即时，恒成立， 所以在上单调递增； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，当时，上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意 当时，令，有，令，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 当时，不成立. 综上，. 19. 对于函数，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到. （1）对于函数，当时，求，的值； （2）已知函数的定义域R. ①对于函数，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点； ②当时，运用“牛顿法”证明： 【答案】（1），； （2）①证明过程见解析；②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用与，求出，； （2）①利用反证法结合等差数列的性质即可证明； ②由导数和原函数利用迭代法可得，利用等比数列求和公式即可推出结论. 【小问1详解】 ，故， ； 【小问2详解】 ①因为，而为公差不为0的等差数列， 所以为非零常数.设.可得. 并且. 所以.用此类推，得， 因为为常数，所以当时，，即: 当时，，即. 所以不存在，即无零点. ②，所以. 对于函数，即， 因为，所以， 以此类推，得 ， 令，由等比数列求和公式得 ， 因此. 时，，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期2月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 2. 中国古代五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙2名同学各自选两种书作为兴趣研读，则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法（ ） A 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 3. 已知数列满足，且，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 小甘同学计划在2024年高考后前往西南大学，北京师范大学，陕西师范大学，华东师范大学，华中师范大学，东北师范大学6所部属公费师范大学中随机选两所去参观，则西南大学恰好被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（ ） A. 168种 B. 240种 C. 264种 D. 336种 7. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上奇函数满足，当时，，则（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 四位小伙伴在玩一个“幸运大挑战”小游戏，有一枚幸运星在他们四个人之间随机进行传递，游戏规定：每个人得到幸运星之后随机传递给另外三个人中的任意一个人，这样就完成了一次传递．若游戏开始时幸运星在甲手上，记完成次传递后幸运星仍在甲手上的所有可能传递方案种数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为2，则的方程为 B. 若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C. 若直线的一个方向向量为，则的方程为 D. 若直线与直线平行，则的方程为 11. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 三、填空题 12. 若，则__________. 13. 双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______. 14. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为___________．（结果用区间表示） 四、解答题 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 16. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积． 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 19. 对于函数，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到. （1）对于函数，当时，求，的值； （2）已知函数的定义域R. ①对于函数，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点； ②当时，运用“牛顿法”证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $