2025年中考数学二轮复习专题突破课件：专题四 几何最值问题

专题四　几何最值问题 旋转中的最值问题 B A D A “一个定点，两个动点”的最值问题 8 A D B 【典例1】(2024·安徽模拟)如图，在等边三角形ABC中，CD为AB边上的高，M是直线CD上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接DN.若AB＝5，则在点M的运动过程中，线段DN的长的最小值是(　 　) A．2 B． D．5 C． 解析：如图， 取BC的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∴∠MBD＋∠DBN＝60°. 又∠MBD＋∠MBG＝∠ABG＝60°， ∴∠DBN＝∠GBM. ∵直线CD是等边三角形ABC的对称轴， ∴DB＝AB， ∴DB＝BG. 又MB旋转到BN， ∴BM＝BN. 在△MBG和△NBD中， ∴△MBG≌△NBD(SAS)， ∴MG＝ND， 根据垂线段最短，MG⊥CD时，MG最短，即DN最短， ∵∠BCD＝， ×5＝AB＝×60°＝30°，CG＝ ∴MG＝. ，∴DN＝CG＝ 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 1．(2024·安徽安庆桐城市校级三模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝1，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为(　 　) A． D． B．4 C．2 解析：如图，过点G作GM⊥AB于点M，作GN⊥AD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°. ∵GM⊥AB，GN⊥AD， ∴∠FMG＝∠DNG＝90°， ∴四边形AMGN是矩形， ∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG. ∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG， ∴EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFA＋∠GFM＝90°. ∵∠GFM＋FGM＝90°，∴∠EFA＝∠FGM， 在△AEF和△MFG中， ∴△AEF≌△MFG(AAS)，∴AE＝MF，AF＝MG. ∵AE＝1，∴MF＝1. 设AF＝x(0≤x≤4)，则MG＝x，AM＝x＋1，AN＝MG＝x，∴NG＝x＋1. ∵AB＝4，∴DN＝4－x， ∴DG＝， ＝ ＝ ∴当x＝.＝时，DG取最小值，其最小值为 2．(2024·安徽宣城模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D为边AC上的一点，当AD＞AB时，连接BD，将线段BD绕点B按逆时针方向旋转60°，得到线段BE，连接AE，DE.若AD＝6，则△ABE的面积的最大值为(　 　) A． D． C． B． 3．(2024·安徽蚌埠固镇县三模)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接PM，PN，MN.将△ADE绕点A在平面内自由旋转(如图2).若AD＝2，AB＝6，则△PMN面积的最大值是(　 　) 　　 A．8 B．16 C．4 D． 【典例2】(2024·湖北一模)在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，N是线段BC的中点，E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM＋GN的最小值为_____． 解析：如图，作点N关于AB的对称点N′，则GN＝GN′，取DC的中点F，连接DM，FM，GN′. ∵M在以DE为直径的圆上， ∴DM⊥EC， ∴△DMC为直角三角形． ∵F为Rt△DMC斜边的中点， ∴MF＝AB＝5. DC＝ 此时当MF，MG，GN′三边共线时，有MF＋MG＋GN′长度的最小值等于FN′， ∵F，N分别是DC，CB的中点， ∴FC＝BC＝4， DC＝5，BN′＝BN＝ ∴CN′＝BC＋BN′＝12， ∴FN′＝＝13， ＝ ∴MF＋MG＋GN′长度的最小值为13. ∵MF＝5，GN＝GN′，∴GM＋GN的最小值为13－5＝8. 一个定点，两个动点，且两个动点在两条直线上，此时利用轴对称作出定点的对称点，当这三点在同一直线上时线段的长度和最小，另外，又有“垂线段最短”，所以三点共线且是垂线段时，两条线段和最小． 4．(2024·安徽合肥模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D，E分别为BC，AB的中点，P是AD上的一个动点，则PB＋PE的最小值为(　 　) A．＋ D．＋ C． B． 5．(2024·江苏苏州)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为(　 　) A． B． C．2 D．1 6．(2024·安徽合肥长丰县二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，P，Q分别是边AB，AC上的动点，则BQ＋PQ的最小值是(　 　) A． B． C． D．2 $$