精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试卷（2.27）

荆州中学2023级高二下数学试卷 （2.27） 一､单选题 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式赋值可知是以3为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可. 【详解】因为，， 令，可得； 令，可得； 令，可得， 可知是以3为周期的周期数列，所以． 故选：C. 2. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 【答案】C 【解析】 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 3. 圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 4. 类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 5. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行关系利用对称性并结合双曲线定义，利用勾股定理构造方程可解得，可得其离心率. 【详解】连接，延长与双曲线交于点，连接，如下图所示： 由，根据对称性可知，又，所以四边形为矩形； 由可设，则; 由双曲线定义可知，所以，所以； 又，所以； 因为， 在中，，且， 所以，解得； 即，所以； 在中，，即， 解得，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平行关系利用对称性，由双曲线定义和勾股定理计算得出的关系式，即可求解. 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 8. 若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，可将恒成立问题转化为使直线的图象恒在图象的下方，通过求导得到曲线在原点处的切线斜率，由题意即得参数范围. 【详解】令，作出的图象，如图： 由图象可知，要使恒成立，只需直线的图象恒在图象的下方． 若直线为曲线的切线，则函数在时的解析式为， 由，. 所以的取值范围为． 故选：B. 【点睛】思路点睛：对于不等式恒成立求参问题，在涉及到的函数可以作图情况下，一般考虑将其整理成两个函数，利用它们的图象分析关键点和特殊情况，计算参数值即可求得. 二､多选题 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求出，再结合等差数列性质公式，利用裂项相消法和分组求和计算判定即可. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有两个零点 C. 直线与函数的图象最多有3个公共点 D. 经过点可作图象的1条切线 【答案】AC 【解析】 【分析】首先对函数求导，得到函数的单调性，研究其走向，画出函数图像，判断A、B的正误，利用直线过定点旋转可以判断C项正误，分(2,0)是切点和不是切点两种情况讨论得D项正误，从而得正确选项. 【详解】由题可得的定义域为， ， 所以函数在，上均单调递增， 当且时，，当时，， 当时，， 作出的大致图象如图所示，所以函数无最小值，A正确； 易知，结合选项A可知，函数有且只有一个零点， B错误； 易知直线过点， 数形结合可知， 当k足够大时，直线与的图象有两个交点， 与的图象有一个交点， 故直线与函数的图象最多有3个公共点，C正确； 易知点在的图象上，故以为切点可作曲线的一条切线， 当不为切点时，设切点为，则，即，得， 故经过点可作图象的2条切线，D错误. 故选：AC. 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）． A. 存在点P使得平面 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点P到平面的距离的最小值为 D. 直线与所成角的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件分析得的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），取与重合，利用线面平行的判定判断A；由直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角即可判断B；利用等体积法求点P到平面的距离，进而确定最小距离判断C；根据对称性，当从运动到半圆的最上方时所求角由最小逐渐增加到最大，取与重合确定最小角判断D. 【详解】由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则， 根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面， 由，点P在四边形及其内部运动，则， 所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示， 当与重合时，，即，面，面， 所以平面，A对； 由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角， 所以直线与平面所成的角为定值，B对； 令点P到平面的距离为，到直线的距离为且， 而，，， 由，则，整理可得， 所以，C对； 由，直线与所成角，即为直线与所成角， 根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大， 即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值，D错. 故选：ABC 三､填空题 12. 函数，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出再求. 【详解】由题意得 ， ∴． 故答案为：． 13. 已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】由拋物线，得， 所以直线的方程为， 联立，消去，得， 因为在第一象限，则，解得， 所以，所以. 故答案为：. 14. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程. 如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为，分析出，，从而求出，即可求出第3个图形的周长，易得，再利用累加法求解即可. 【详解】记第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为， 有条边，边长； 有条边，边长； 有条边，边长； ， 分析可知，即；，即， 当第1个图中的三角形的边长为1时，即，， 所以， 当时，； 由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即， 即， ， ， ， 利用累加法可得， 又，， 所以 . 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法： （1）由与的关系求通项公式； （2）累加法； （3）累乘法； （4）两边取到数，构造新数列法. 四､解答题 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数判断函数单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 又， 则切线方程为，即； 【小问2详解】 当时，，， 则，， 令，解得或（舍）， 则 极大值 的增区间为，减区间为. 16. 已知数列是公差为正的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列基本量的计算可得公差，即可求解，利用的关系，作差可得为等比数列，即可求解， （2）利用错位相减法求和，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 设公差为，由，，成等比数列， 故，即，化简得， 由于，故，因此， 由可得时， 两式作差可得， 令，则，故， 因，所以为等比数列，公比为3， 因此，故， 【小问2详解】 ， ， ， 故， 故 17. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案； （2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案． 【小问1详解】 因为， 当时，时，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 当时，时，，所以在和单调递增， 时，在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在和上单调递增， 时，在单调递减； 【小问2详解】 当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点； ， 所以在上有唯一零点，符合题意； 当时，由（1）可知为极大值点， 且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面． （1）求证：为线段中点； （2）求二面角的正切值； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面．平面平面，平面平面， 可得， 又因为，则四边形为平行四边形，则， 因为为的中点，则，所以，， 故点为的中点. （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质可证得，由此可得出四边形，可证得，即可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质可推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角的正切值； （3）设，其中，根据平面平面结合空间向量法求出实数的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、 、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，， 则， 所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角的正切值为. 【小问3详解】 解：易知、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 因为平面平面，则， 则，解得， 所以，当点为的中点时，平面平面，故. 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2023级高二下数学试卷 （2.27） 一､单选题 1. 在数列中，若，，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 2. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 3. 圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右两支上，且满足，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为-2024 10. 已知函数，则（ ） A. 函数无最小值 B. 函数有两个零点 C. 直线与函数的图象最多有3个公共点 D. 经过点可作图象的1条切线 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（ ）． A. 存在点P使得平面 B. 直线与平面所成的角为定值 C. 点P到平面的距离的最小值为 D. 直线与所成角的范围为 三､填空题 12. 函数，则___________． 13. 已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则__________. 14. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程. 如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______. 四､解答题 15. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 16. 已知数列是公差为正的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列的前项和. 17. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面． （1）求证：为线段中点； （2）求二面角的正切值； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $