2025年九年级中考数学一轮复习课件 第二十八节 尺规作图

第二十八节　尺规作图 第一、二章 1 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 2 知识点▶尺规作图 尺规作图：我们把只能使用　 　和 　的直尺这两种工具去作 几何图形的方法称为尺规作图.  五种基本尺规作图 图示 性质 1.作一条线段等于已知线段(已知线段a) ①作射线OP; ②在OP上截取OA=________，OA即为所求线段  OA=a 圆规　 没有刻度 a 知识全面梳理 3 五种基本尺规作图 图示 性质 2.作一个角等于已知角(已知∠α) ①在∠α上以点O为圆心，以________为半径作弧， 交∠α的两边于点P，Q;  ②作射线O'A; ③以点O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A于点M; ④以点_____为圆心，________长为半径作弧， 交步骤③中的弧于点N;  ⑤过点O'，N作射线O'B，∠AO'B即为所求角 ∠AO'B=∠α 适当长　 M PQ 4 五种基本尺规作图 图示 性质 3.作已知角的平分线(已知∠AOB) ①以点O为圆心，适当长为半径作弧， 分别交OA，OB于点M，N; ②分别以点M，N为圆心，以___________ 长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部 相交于点P;  ③作射线OP，OP即为所求角平分线 连接MP，NP. ①OM=ON; ②∠MOP=∠NOP; ③△MON为等腰三角形; ④点M，N关于直线OP对称; ⑤△MOP≌△NOP 大于MN　 5 五种基本尺规作图 图示 性质 4.作线段的垂直平分线(已知线段AB) ①分别以点A，B为圆心，以___________ 长为半径，在AB　　　作弧，分别交于 点M，N;  ②过点M，N作直线MN交AB于点O， MN即为所求垂直平分线 连接AM，BM，AN，BN. ①四边形ANBM是菱形; ②OA=OB; ③MN⊥AB; ④MN平分∠AMB和∠ANB 大于AB　 两侧 6 五种基本尺规作图 图示 性质 5.过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) (1)点P在直线l上：①以点P为圆心，任意长为 半径向点P　　　直线上作弧，交直线l于 A，B两点;  ②分别以点A，B为圆心，以________长为半径 向直线两侧作弧，两弧分别交于M，N两点;  ③过点M，N作直线，直线MN即为所求垂线 (1)连接AM，BM，AN，BN. ①AP=BP; ②MN⊥AB; ③四边形ANBM是菱形 两侧　 大于AB　 7 五种基本尺规作图 图示 性质 (2)点P不在直线l上：①在直线l异于点P的一侧任 意取一点M，使点M和点P在直线l的　　　;  ②以点P为圆心，　　　长为半径画弧，交直线l 于A，B两点;  ③分别以A，B为圆心，以___________长为半径 画弧，在M同侧交于点N;  ④过点P，N作直线，直线PN即为所求垂线 (2)连接AP， BP，AN，BN. ①PA=PB; ②AN=BN; ③PN⊥AB 两侧　 PM 大于AB 8 命题点1 尺规作图 7地6考　 例1 (2024·山东)如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与 AM，AN相交于点B，C;分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧 在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半 径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB=4， ∠PQE=67.5°，则点F到AN的距离为________.  【解题启发】 由尺规作图可以推出什么信息？ 考点突破 9 练1 (2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展 示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有(　　)　　　　　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 10 练2 (2024·济南)如图，在正方形ABCD中，分别以点A和点B为圆心，以 大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为 圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部)， 连接DG并延长交BC于点K.若BK=2，则正方形ABCD的边长为(　　) A.+1 B. C. D.+1 D 11 练3 (2022·青岛)已知：Rt△ABC，∠B=90°. 求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°. 12 解：尺规作图如图. 点P即为所求作的点. 13 练4 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E. (1)请用尺规作图作CF⊥BE于点F(只保留作图痕迹); (2)证明：BF=EF. 14 (1)解：尺规作图如下，CF即为所求. (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE， ∴∠E=∠ABE. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE， ∴∠E=∠CBE，∴CB=CE. ∵CF⊥BE，∴BF=EF. 15 练5 (2023·济宁)如图，BD是矩形ABCD的对角线. (1)作线段BD的垂直平分线(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明); (2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF. ①判断四边形BEDF的形状，并说明理由; ②若AB=5，BC=10，求四边形BEDF的周长. 16 解：(1)所作线段BD的垂直平分线如图所示. (2)①四边形BEDF是菱形. 理由如下：由作图可知OB=OD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO. ∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB(ASA)， ∴ED=FB，∴四边形BEDF是平行四边形. ∵EF是BD的垂直平分线，∴BE=ED， ∴四边形BEDF是菱形. 17 ②∵四边形ABCD是矩形，BC=10， ∴∠A=90°，AD=BC=10. 由①可设BE=ED=x，则AE=10-x. 在Rt△ABE中，∵AB=5， ∴AB2+AE2=BE2，即25+(10-x)2=x2，解得x=， ∴四边形BEDF的周长为×4=25. 18 练6 (2023·滨州)(1)已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°，CA=m，CB=n;(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明) 19 解：(1)如图，Rt△ABC即为所求. (2)已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线， ∠ACB=90°. 求证：CD=AB. 证明：如图，延长CD到点E，使DE=CD，连接BE，AE. ∵CD为AB边的中线，∴BD=AD， ∴四边形ACBE为平行四边形. ∵∠ACB=90°，∴平行四边形ACBE为矩形， ∴AB=CE=2CD，∴CD=AB. 20 练7 (2024·威海)感悟　如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE， BC=DE.求证：∠BAC=∠EAD. 应用　(1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D、点E(点D在点E的左 侧)，使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC;(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E， 使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB.(不写作法，保留作图痕迹) 21 感悟 证明：∵AB=AE，∴∠B=∠E. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED(SAS)，∴∠BAC=∠EAD. 应用 (1)如图. (2)如图. 22 练8 (2023·无锡)如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点. (1)尺规作图：请在图1中作☉O，使得☉O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N; (2)在(1)的条件下，若∠APB=60°，PM=3，则所作的☉O的劣弧MN与PM，PN所围成图形的面积是________.  23 解：(1)如图，☉O即为所求. (2)3-π 24 命题点2 网格作图 7地1考　 例2 (2024·滨州)如图，在边长为1的正方形网格中， 点A，B均在格点上. (1)AB的长为________;  (2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为边的矩形 ABCD，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的(不用 证明)：______________________________________________________ ____________________________________________________________.  取点E，F，得到正方形ABEF，AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接DC，得到矩形ABCD，即为所求.(说法不唯一，合理即可) 25 【解题启发】 在方格纸中的线段长度怎么求？用无刻度的直尺画图怎么画？ 26 【解析】 (1)AB==. (2)如图，取点E，F，AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接DC，得到矩形ABCD， 则AF=AB==，得到正方形ABEF， ∴正方形ABEF的面积为×=13. ∵DG∥FH，∴==， ∴AD=AF==BC，∴S矩形ABCD=×=， ∴矩形ABCD即为所求. 27 练9 (2024·天津)如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，点A，F，G均在格点上. (Ⅰ)线段AG的长为________;  (Ⅱ)点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆 与水平网格线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C， △ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上.请用无刻度 的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最 短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的(不要求证明) ____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.  如图，根据题意，切点为M;连接ME并延长，与网格线相交于点M1;取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2;连接M1M2，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求 28 【解析】 (Ⅰ)AG==. (Ⅱ)如图，点M，N，P即为所求. 29 建议用时：10分钟 1.(2024·德州)在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与 AC大小关系的是(　　) D 当堂达标 1 3 5 题序 2 4 6 30 2.(2023·枣庄)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆 心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆 心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E， 连接DE，则下列结论中不正确的是(　　) A.BE=DE B.AE=CE C.CE=2BE D.= D 1 3 5 题序 2 4 6 31 3.(2024·聊城莘县一模)如图，在菱形ABCD中，分别以点C，D为圆心， 大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，连接EF，若直线EF恰 好经过点A，与边CD交于点M，连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°; ②如果AB=2，那么BM=;③BC=CM;④S△ADM=S△ABM.其中正确结论 的个数是(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 B 1 3 5 题序 2 4 6 32 4.(2024·济宁)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC 的角平分线. (1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC于点E，F. (2)以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G. (3)以点G为圆心，EF 长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点 H. (4)画射线AH. (5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH 于点M. (6)连接MC，MB，MB 分别交AC，AD 于点 N，P. 根据以上信息，下面五个结论中正确的是________.(只填序号)  ①BD=CD;②∠ABM=15°;③∠APN=∠ANP;④ =;⑤MC2=MN·MB. ①②⑤　 1 3 5 题序 2 4 6 33 5.(2024·吉林)图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，E，O均在格点上.图1中已画出四边形ABCD，图2中已画出以OE为半径的☉O，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. (1)在图1中，画出四边形ABCD的一条对称轴; (2)在图2中，画出经过点E的☉O的切线. 1 3 5 题序 2 4 6 34 解：(1)如图，直线EF即为所求. (2)如图，直线GH即为所求. 1 3 5 题序 2 4 6 35 6.(2024·滨州)(1)如图1，在△ABC中，点D，E，F分别在三边BC，CA，AB上，且满足DF∥AC，DE∥AB. ①求证：四边形AFDE为平行四边形; ②若=，求证：四边形AFDE为菱形; (2)把一块三角形余料MNH(如图2所示)加工成菱形零件，使它的一个顶点与△MNH的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边MN，NH，HM上，请在图2上作出这个菱形.(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 1 3 5 题序 2 4 6 36 (1)①证明：∵点D，E，F分别在三边BC，CA，AB上，DF∥AC，DE∥AB，∴DF∥AE，DE∥AF， ∴四边形AFDE为平行四边形. ②证明：如图，连接AD，延长BA至点G，使得AG=AC，连接CG， 则∠G=∠ACG. ∵=，∴=. ∵∠ABD=∠GBC，∴△BAD∽△BGC，∴∠BAD=∠G， ∴AD∥GC，∴∠DAC=∠ACG，∴∠BAD=∠DAC. ∵AB∥DE，∴∠BAD=∠ADE，∴∠DAE=∠ADE， ∴AE=DE，∴四边形AFDE为菱形. 1 3 5 题序 2 4 6 37 (2)解：如图，四边形MGLO即为所求. 1 3 5 题序 2 4 6 38 $$