《22.1.1 二次函数》教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上册

《22.1.1 二次函数》教学设计 核心素养目标: 1. 探索并归纳二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系, 2. 经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 3. 把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会探索数学符号感的现实意义，并培养钻研的科学精神。 教学重点: 二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系 教学难点: 能够表示简单变量之间的二次函数关系。 教学过程 一、知识回顾 1.同学们还记得什么是函数吗? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 2. 我们学过之前学过哪类函数呢?一次函数 3. 什么是一次函数?形如 y=kx+b(其中 k、b 是常数，且 k≠0).当 6=0 时是正比例 函数，因此说正比例函数是特殊的一次函数 什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. 什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0 (a≠0) 二、探索新知 问题 1:正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的长为 x，表面积为.则 y 关于 x的关系式为如果改变正方体的棱长 x，那么正方体的表面积，会随之改变，y 与 x 之间有什么关系? y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数 问题 2:n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n有什么关系?每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 m= n (n-1) m=这个函数解析式表示比赛的场次数m 与球队数 n 的关系，对于 n 的每一个值，m 都有一个对应值，即 m 是 n 的函数 问题 3:某种产品现在的年产量是 20,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示?这种产品的原产量是 20，一年后的产量是 20(1+x)1，再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x)，即两年后的产量y=20(1+x)2, 即y=20x2十40x十40. 这个函数解析式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数. 思考:上述 3 个问题中函数关系式有什么共同点? 函数都是用白变量的二次整式表示的。 我们把形如 y=ax2+bx+c(a,b，c 是常数，a≠0 的函数，叫做二次函数。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项.根据二次函数的概念，要注意什么? （1）等号右边是整式； （2）自变量的最高次数必须是 2； （3）二次项系数不为0. 例 1.下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x 是自变量) (1)y=2x-3 (2)y=3-2x2 (3)y=x2+3x (4)y= (5)y=x2+x3+25(6)y=ax+bx+c 判断一个函数是否为二次函数的步骤: (1) 将函数解析式转化为二次函数的一般形式: (2)a，b，c 为常数，且 a≠0: (3)等号左边是函数 y，右边是关于自变量 x 的整式 (4)等式的右边自变量的最高次数为 2 解题小结： 判断是否为二次函数的“三步骤” （1）形式：看含自变量的代数式是否为整式； （2）化简：将含自变量的代数式化简； （3）判断：根据系数、次数的要求判断是否为二次函数。 除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等 例二：y=(m+3)xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： 由（1）可知, 解得 m=; 由（2）可知, 解得 m=3 解题小结：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0 思考: 二次函数的一般式y =ax２＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程的一般形式 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？ 联系： (1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0； (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中 y=0时得到的. 区别: 前者是函数.后者是方程. 等式另一边前者是y,后者是0. 三、巩固练习 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为-3x2,一次项系数为-16，常数项为12. 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C ) A. m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B．y= C．y＝3x2＋1 D.y= 4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 . 四、课堂小结 今天我们学习了什么?什么是二次函数的概念?二次函数的解析式? 五、布置作业 课本 41 页习题 22.1 第 1、2 题 1.下列函数中，(x 是白变量，a、b、c 是常数)，哪些是二次函数?为什么? A.y=8x2+1一次项系数为_______，常数项为________。 2.已知 J=(m2-m)x2+mx-2(m 为常数)，根据下列条件求 m的值: (1) y 是 x 的一次函数;(2)y 是 x 的二次函数; 六、教学反思 本节课是本章的第一节课,主要是要建立二次函数的概念为了使学生体会学习二次函数的必要性，感受二次函数的使用是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生的学习热情，所以开始的复习巩固部分不能省略，特别地应让学生意识到二次函数与一次函数的区别与联系，通过几个个简单的实际问题，引人次函数的不同表达形式，并经过比较分析归纳总结出二次函数的基本概念，让学生在学习新知时有理解和接受这一过程。所以在归纳后紧接着就安排了课堂小练习，使教师可根据学生实际情况进行接下来的课堂教学.二次函数自变量取值范围问题的提出，一方面是培养学生具有严谨的思维，调动学生的学习积极性，另一方面是使学生课下主动复习功课并为下节课的学习做准备。 学科网（北京）股份有限公司 $$