精品解析：浙江省温州市龙湾区海城中学2024－2025学年九年级下学期适应性检测数学试题

温州新希望学校2024学年第二学期九年级适应性检测 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字并留有贴“学生的学号二维码”的区域． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 8. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知二元一次方程，若时，则_____． 12. 因式分解：=_____． 13. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 14. 在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为_______． 15. 如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为_____． 16. 如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为_____． 三、解答题（本题共8题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）． 某中学名男生的身高频数统计表 组别 分组 频数 （1）请判断这名男生的身高中位数落在哪一组； （2）这名男生中身高及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？ 20. 如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：） 21. 如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． （1）求证：通过尺规作图，； （2）若，求． 22. 一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程（）与时间（）的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： （1）分别求小轿车和大客车的速度； （2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由； （3）求出发后经过多少小时两车相距？ 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式； （3）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 24. 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． （1）求的度数； （2）当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 温州新希望学校2024学年第二学期九年级适应性检测 数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分120分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字并留有贴“学生的学号二维码”的区域． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是要掌握：正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个实数中最大的是． 故选：D． 2. 由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键正确理解从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图． 根据三视图的定义，主视图是从正面看到的图形即可求解． 【详解】解：根据三视图的定义，主视图是从正面看到的图形， ∴它的主视图为： ， 故选：． 3. 截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，2000万， 即数据“2000万”用科学记数法表示为， 故选：C 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的性质；根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，结合关于的一元一次不等式组无解，得出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴， 故选：B． 6. 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答．．此题考查了平均数、中位数，掌握中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，求出x的值是本题的关键． 【详解】解：当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（为整数，故舍去）； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得； 当时， ∵中位数与平均数相等， 则得到：， 解得（舍去）； 故选D． 8. 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理；连接，设交于点，则，证明三点共线，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点，则， ∵四边形，是正方形， ∴ 又∵ ∴ ∴三点共线， 又∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C． 9. 反比例函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数位于第一、三象限，随的增大而减小， ∴时，， 解得：， 即当，； 时，， 解得：， 即当，， 所以结合选项可知：符合题意， 故选：． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，是上一点，，连结接，作，交的垂线于点．连接，交于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明得出，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰直角三角形中，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴即 解得： ∴，，都不是定值， ∴是定值， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 11. 已知二元一次方程，若时，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴把代入，得， 解得， 故答案为：2． 12. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 13. 如图，在中，是边上一点，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等角得出，根据平行线的性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键，根据题意先求得白球有个，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵共有10个小球，任意摸出一球是白球的概率为， ∴白球有（个）， 若袋子中再加入2个红球， ∴摸出一球是白球的概率为为； 故答案为：． 15. 如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为直径的半圆，得，得出直径是，再求，由垂径定理得，则点分别是的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形是矩形，则，同理求出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：连接交于一点，连接交于一点W，如图： ∵以为直径的半圆， ∴， ∴， ∴， ∵分别是和的中点，， ∴， ∴点分别是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16. 如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点在直线上，得，结合折叠性质，得，，，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设，结合，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ∵点在直线上，过点作轴， ∴设点， ∵， ∴， ∵，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为， ∴，， 则， ∴， 解得， ∴，； ∴， ∵是直线上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本题共8题，共72分） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解方程组 解：①+②，得 把代入①， 得 方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19. 为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）． 某中学名男生的身高频数统计表 组别 分组 频数 （1）请判断这名男生的身高中位数落在哪一组； （2）这名男生中身高及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？ 【答案】（1）这名男生的身高中位数落在第四组 （2）人，占所有人数的 【解析】 【分析】本题考查了频数统计表的理解与分析，中位数的确定和比例计算； （1）根据中位数的定义结合频数统计表，即可求解； （2）根据频数统计表求得及以上的人数，进而求得占比，即可求解． 【小问1详解】 解：通过频数统计表，前三个组（）的频数之和是， 即前三个组包含22名男生， 则第25和第26名男生的身高落在第四个组（）内 ∴这名男生的身高中位数落在第四组 【小问2详解】 根据表中数据，两组的频数分别是和 因此，身高175cm及以上的男生人数为，占所有人数的． 20. 如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，则四边形是矩形，根据，，，求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 依题意，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：树的高度为米． 21. 如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． （1）求证：通过尺规作图，； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图可得垂直平分，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角以及已知条件得出，，进而即可得证； （2）根据（1）的结论可得得出，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，又，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正切的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程（）与时间（）的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题： （1）分别求小轿车和大客车的速度； （2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由； （3）求出发后经过多少小时两车相距？ 【答案】（1）小轿车的速度为，大客车的速度为 （2）能再次相遇，两车出发小时后相遇，此时距离甲地 （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度； （2）先确定与所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程； （3）分三种情况，分别列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知： 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：， ∴小轿车的速度为，大客车的速度为； 【小问2详解】 设交于点， 由图像可知：，，， ∵小轿车往返的速度相同， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴点的坐标为，即两车出发小时后相遇，此时距离甲地； 【小问3详解】 设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时， 得：，解得：； 当时，则， 得：， 此时，两车相距超过； 当时， 得：， 解得：或； 综上所述，出发后经过小时或小时或小时两车相距． 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式； （3）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】（1）或 （2） （3） 解：∵， 其中，对称轴为直线， ∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； ∴当时函数取得最小值； 当时函数取得最大值； ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）代入，求解一元二次方程即可； （2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在轴上，求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【小问1详解】 解：∵点在该二次函数的图象上， ∴将代入， 得：， 解得：或； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵该二次函数图象的顶点在轴上， ∴， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问3详解】 略 24. 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． （1）求的度数； （2）当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 【答案】（1） （2）①证明：连接， ∵，是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形； ②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴是直径． ∵是圆的切线， ∴． ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 ①略 ②解：延长相较于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $