精品解析：2025年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（一）

2025年苏州市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（共8小题，24分） 1. 下列各选项中，结果是负数的为（ ） A. B. C. D. 2. 风能一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某初中男子篮球队队员身高数据是：186，175，187，186，184．这组数据的众数是（　　） A. 175 B. 186 C. 184 D. 187 4. 如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A. B. C. D. 6. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 二、填空题（共8小题，24分） 9. 因式分解：x2+x=_____． 10. 分式方程的解是____． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 12. 在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_________． 13. 已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若，则∠BOD的度数为______． 14. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 15. 经过点，，的圆的周长为_________． 16. 如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为_________． 三、计算题（共11题，82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． （1）证明：； （2）若，，平分，求的长． 21. 某校在举行运动会时成立了志愿者服务队，设立四个服务监督岗：．安全监督岗；．卫生监督岗；．文明监督岗；．检录服务岗．小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）小明被分配到文明监督岗的概率为___________； （2）用列表法或画树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监督岗的概率． 22. 为了解学生的科技知识情况，某校在七、八年级学生中举行了科技知识竞赛（七、八年级各有300名学生）．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 七年级 0 1 0 11 7 1 八年级 1 0 0 7 a 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 81 80.5 应用数据： （1）由上表填空：______，______； （2）估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生科技知识的总体水平较好，请说明理由． 23. 【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 24. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 25. （本题满分10分）如图l，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心、OA为半径作圆交AE于点G． (1)求证：直线PE是⊙O的切线； (2)在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上的一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为8，． ① 　　　； ②求EH的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为__________； （3）为抛物线对称轴上一动点，连接，若不小于，求t的取值范围． 27. 【模型初探】如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．求证：； 【初步探究】如图2，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．连接交于点H，连接，，若，求证：点是的中点． 【深入探究】如图3，菱形的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．连接交于点H，连接，，且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年苏州市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（共8小题，24分） 1. 下列各选项中，结果是负数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘法运算，化简绝对值，化简多重符号，根据有理数乘法运算，化简绝对值，化简多重符号，逐项进行计算判断即可 【详解】解：A、，结果为正数，不符合题意； B、，结果为负数，符合题意； C、，结果为正数，不符合题意； D、，结果为0，不符合题意， 故选：B． 2. 风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 某初中男子篮球队队员的身高数据是：186，175，187，186，184．这组数据的众数是（　　） A. 175 B. 186 C. 184 D. 187 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，在一组数据中，众数可能不止一个．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得186出现的次数最多，所以该组数据的众数是186； 故选B． 4. 如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由圆周角定理得，即得，然后根据同弧所对圆周角相等即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， 是圆的直径， ， ， ， ， 故选：． 5. 已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 6. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，由“少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费”，可得出一株椽的价格为文，结合单价总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意得一株椽的价格：文， 则． 故选：A． 7. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 8. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】先求出AB，OA1，再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC和A1C，即可求解． 【详解】解:如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0）， ∴OB=1，OA=2， ∴， ∵∠AOB=90°， ∴∠A1OB1=90°， ∴O A1⊥OB1， 又∵AB⊥OB1， ∴O A1∥AB， ∴∠1=∠2， 过A1点作A1C⊥x轴， ∴∠A1CO=∠AOB， ∴， ∴， ∵O A1=OA=2， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 二、填空题（共8小题，24分） 9. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 10. 分式方程的解是____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解． 考点：解分式方程 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 12. 在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： ∵共有6种等可能的情况，其中和为偶数的有2种情况， ∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是． 故答案为：． 13. 已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若，则∠BOD的度数为______． 【答案】36° 【解析】 【分析】先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，根据角平分线定义得到∠AOC∠EOC72°＝36°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝36°． 【详解】解：设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠EOC＝2x＝72°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC∠EOC72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 故答案为：36° 【点睛】考查了角的计算，角平分线的定义和对顶角的性质．解题的关键是明确：直角＝90°；平角＝180°，以及对顶角相等． 14. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【详解】解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点M，，如图所示， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 经过点，，的圆的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解三角形的外接圆的半径，勾股定理的应用，先画图，判断圆心在的垂直平分线上，即在轴上，设，再利用勾股定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，记圆心为， ∵，， ∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上， 设， ∴， 解得：； ∴半径为：， ∴圆的周长为， 故答案为： 16. 如图，在四边形中，，，，．若，且，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理；添加辅助线，证明是解题的关键；首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【详解】解：延长，交于点， ， ， ，， ，即， ， ，， 为中点， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 三、计算题（共11题，82分） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可； 【详解】解：原式． 18. 解不等式组：． 【答案】-2.5≤x＜1 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-2.5， 故不等式组的解集为-2.5≤x＜1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键． 20. 在中，是的中点，是上一点，连接并延长使． （1）证明：； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质可得，然后证明结论即可； （2）证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵是的中点，，， ∴，， ∴中，． 21. 某校在举行运动会时成立了志愿者服务队，设立四个服务监督岗：．安全监督岗；．卫生监督岗；．文明监督岗；．检录服务岗．小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）小明被分配到文明监督岗的概率为___________； （2）用列表法或画树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监督岗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一， ∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为． 【小问2详解】 根据题意列表如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为4， 所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗概率是：． 【点睛】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，理清题意，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 22. 为了解学生的科技知识情况，某校在七、八年级学生中举行了科技知识竞赛（七、八年级各有300名学生）．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 七年级 0 1 0 11 7 1 八年级 1 0 0 7 a 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 81 80.5 应用数据： （1）由上表填空：______，______； （2）估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生科技知识的总体水平较好，请说明理由． 【答案】（1）10，78 （2）45人； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知数据及中位数的概念求解可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，合理均可． 【小问1详解】 解：由题意知八年级80≤x＜90共10人， ∴a=10， 将七年级成绩重新排列为：94，87，86，85，83，81，80，80，79，79，77，76，75，75，75，75，73，71，70，59． 中位数为=78． 故答案为：10，78； 【小问2详解】 解：估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有600×=45（人）； 【小问3详解】 解：八年级的总体水平较好， ∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的众数、中位数均大于七年级的众数、中位数，八年级得分高的人数相对较多， ∴八年级的学生科技知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． 23. 【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子，组成，入射光线经过镜子，反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于，的夹角时，试说明； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子，的夹角且时，光线在两面镜子之间经过两次反射后，以光线射出，与相交于（点不经过点），请直接写出光线与镜面的夹角的取值范围． （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线与反射光线的夹角的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的度数是固定的，为70° 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定、三角形内角和定理，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三角形内角和定理得出，根据，．得出，进而得出，即可得证； （2）根据三角形内角和定理得出，在中，，在中，．根据题意可得且，解不等式组即可求解． （3）根据三角形内角和定理可得，在中，得出．在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ，， ， ， ． （2）在中，， 所以． 因为，， 所以． 在中，， 中，． 由于光线能在两面镜子之间经过两次反射，所以且． 即， 解得；． 把代入得， 解， ∴． 移项得． 即， 解得． 所以． （3）在中，，所以． 因为，，所以． 在中，． 把代入得，所以的度数是固定的，为70°． 24. 如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足为B，． （1）求k的值： （2）点C在这个反比例函数图像上，且，求OC的长． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义可求出OB的长度，进而根据反比例函数中k值的几何意义可求得k值． （2）连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M，根据（1）中结论利用矩形的性质可求出OH，CH的长度，进而利用勾股定理可得OC长度． 【小问1详解】 解： 根据k值的几何意义可知： 【小问2详解】 解：如图所示，连接OC,过点C作轴于点H，过点A作于点M． 四边形AMHB是矩形 设，则， 解得：（舍去） 则 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，涉及到勾股定理、矩形的判定与性质、以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的k值的几何意义是解决本题的关键． 25. （本题满分10分）如图l，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心、OA为半径作圆交AE于点G． (1)求证：直线PE是⊙O的切线； (2)在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上的一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为8，． ① 　　　； ②求EH的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；② 【解析】 【详解】(1)证明：过O点作OH⊥PE，垂足为H（如图1）……………………………… 又∵OP平分∠APE，∠PAE=90° ∴OA=OH………………………………………………………………… ∴OA为半径 ∴直线PE是⊙O的切线．……………………………………………… (2) ①……………………………………………………………………… 解：② 连结OH、GH（如图2） ∵OA为半径，∠PAE=90° ∴PA切⊙O于A 又∵PH切⊙O于H ∴PA=PH 同理，BA=BD，CD=CH ∴PA+PH=PB+BA+PC+CH=PB+DB+PC+CD=PB+BC+PC= 8 ∴PA=PH=4……………………………………………………………… ∵ OA=OH ∴∠OAH=∠OHA ∵AG为⊙O的直径 ∴∠AHG=∠OHG+∠OHA=∠OHG+∠OAH=90° ∵PE切⊙O于H ∴∠OHE=∠EHG+∠OHG=90° ∴∠EHG=∠OAH ∵∠E=∠E ∴△EGH∽△EHA ∴=………………………………………………………………… ∵tan∠EAH= = ∴= 设EH=x，则AE=2x 在Rt△AEP中，AE2+AP2=PE2 即（2x)2+42=(4+x)2 解得，，（舍去）． ∴………………………………………………………………… 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为__________； （3）为抛物线对称轴上一动点，连接，若不小于，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题． （2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．最小值就线段，求出即可． （3）②作的中垂线与y轴交于点E，连接，则，以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则，从而线段上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标； 【小问2详解】 解：如图1中，连接，作于，交于，此时最小． ，， ， ， ， ． 由垂线段最短可知此时最短． ∵， ∴， 在中，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，中，， ， 作的中垂线与轴交于点，连接， ∴， ∴ ∴， 以为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G，连接， ∴， ∴线段上的点满足题意， 由等腰三角形三线合一得：， ， ，， ， 解得或， 故，， 的取值范围． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，圆周角定理，解直角三角形，两点间距离公式，等腰三角形的性质等知识点，难度大，综合性强． 27. 【模型初探】如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．求证：； 【初步探究】如图2，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．连接交于点H，连接，，若，求证：点是的中点． 【深入探究】如图3，菱形的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．连接交于点H，连接，，且，，求的值． 【答案】模型初探：见解析；初步探究：见解析；深入探究： 【解析】 【分析】模型探究：利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． 初步探究：先证明，进而可证明，得到，从而，证明,可得，证明，，推出，可证，可证结论成立； 深入探究：由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】模型探究：证明：是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中，， ， ； 初步探究：证明：由模型初探知， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴. ∵， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴,即点M是AD的中点． 深入探究：解：为菱形， ， ，， ， ， ，， ，即， ， ， ，，， ，即， ， ， ， 的值是． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$