精品解析：2025年山西中考数学模拟卷（一）

2024—2025学年 山西省中考数学模拟卷（一） 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 3 2. 函数描述了在某变化过程中，两个变量之间的特定对应关系，这种关系可以通过在平面直角坐标系中绘制点来表示，每个点的横坐标代表输入值，纵坐标代表对应的输出值．当这些点连续或按照某种规律分布时，就形成了函数的图像．下列函数图像是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年秋天，山西成为了文旅界的“顶流”，火遍全球的游戏《黑神话：悟空》让山西古建进入了大家的视线．临汾市隰县小西天千佛庵作为《黑神话：悟空》的取景地之一，游客量暴涨．去年一整年接待游客大概是13.5万人次，而今年上半年接待的游客就已经达到了13.57万人次，国庆期间游客最多的一天甚至达到17626人次，创下了新纪录．17626用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯的影子与的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列对于一次函数的描述错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图象不经过第一象限 C. 图象经过点 D. 图象与x轴交于点 7. 如图，已知是的直径，点C为圆上一点，连接，过点O作，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（ ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A. 0.12 B. 0.15 C. 0.16 D. 0.18 9. 明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ） A. 公平 B. 对明明有利 C. 对亮亮有利 D. 无法判断 10. 如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）） 11. 计算的结果为_________． 12. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有8个小圆圈，第③个图形中一共有15个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为_________． 13. 如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为_________． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为_________． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 15. 如图，正方形的边长为6，点E为的中点，连接，将正方形沿折叠，点C的对应点为G，点D的对应点为M，延长，交于点H，与交于点F，则的长为_________． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 电动垂直起降飞行器（eVTOL）通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机，其优势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤，大大缩短交通时间．例如从浦东机场到上海市中心约50千米，使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70分钟，已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 18. 2025年山西中考体育在原来三项的基础上增加了第四项，即在篮球技能，排球技能，足球技能中必选一项，分值为10分，体育总分由原来的50分增加到60分．思博同学在老师的帮助下对自己的篮球技能，排球技能，足球技能分别进行了测试，并获得了一些数据． 数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 8.375 b 10 排球技能 a 5.5 c 足球技能 8.375 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球技能，排球技能，足球技能中的哪一项作为中考体育项目，②选择该项目的理由（2条即可），③针对该项目后续的努力方向（1条即可）． 19. 小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 20. 阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： （1）直接写出材料中的依据为：_________； （2）写出求解长的解题过程； （3）按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________． 21. 介休张壁古堡入选2024年“最美小镇”．古堡地面整体布局与天上的二十八星宿相对应，其南堡门对应“张宿”，北堡门对应“壁宿”，两者合起来便是“张壁”之名的由来．某“综合与实践”小组把“测量南堡门与北堡门的距离”作为一项课题活动，在老师的帮助下形成了如下活动报告．请根据活动报告计算的长度（结果精确到）． 课题 测量张壁古堡南堡门与北堡门的距离 指导教师 ×××老师 成员 组长：××× 组员×××，×××，××× 测量工具 无人机 测量方案 无人机在A处测得北堡门上方标志物B的俯角为37°，南堡门上方标志物C的俯角为，无人机沿方向继续飞行到D处，此时测得北堡门上方标志物B的俯角为． 示意图及测量数据 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，和均与地面平行，． 参考数据 计算结果 … 22. 综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年 山西省中考数学模拟卷（一） 说明：本卷时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积是1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：的倒数为：， 故选A． 2. 函数描述了在某变化过程中，两个变量之间的特定对应关系，这种关系可以通过在平面直角坐标系中绘制点来表示，每个点的横坐标代表输入值，纵坐标代表对应的输出值．当这些点连续或按照某种规律分布时，就形成了函数的图像．下列函数图像是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，的图像不是中心对称图形，不合题意； B，的图像是中心对称图形，符合题意； C，的图像不是中心对称图形，不合题意； D，的图像不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括整式的加减乘除以及幂的运算和乘法公式的应用．根据对应的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A选项运算错误； ，B选项运算错误； ，C选项运算正确； ，D选项运算错误． 故答案为：C． 4. 2024年秋天，山西成为了文旅界的“顶流”，火遍全球的游戏《黑神话：悟空》让山西古建进入了大家的视线．临汾市隰县小西天千佛庵作为《黑神话：悟空》的取景地之一，游客量暴涨．去年一整年接待游客大概是13.5万人次，而今年上半年接待的游客就已经达到了13.57万人次，国庆期间游客最多的一天甚至达到17626人次，创下了新纪录．17626用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：17626用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯的影子与的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的应用，根据平行线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故选A． 6. 下列对于一次函数的描述错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图象不经过第一象限 C. 图象经过点 D. 图象与x轴交于点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据k，b的值判断图象的增减性及经过的象限，可判断选项A，B，求出时对应的函数值可判断选项C，令求出对应的x的值，可判断选项D． 【详解】解：中，， y随x的增大而减小，故选项A描述正确，不合题意； ，， 图象经过第一、二、四象限，故选项B描述错误，符合题意； 当时，， 图象经过点，故选项C描述正确，不合题意； 令，解得， 图象与x轴交于点，故选项D描述正确，不合题意； 故选B． 7. 如图，已知是的直径，点C为圆上一点，连接，过点O作，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据等边对等角，可得；根据直径所对的圆周角等于90度可得，进而可得；由平行线的性质得；由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而求出，再根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选D． 8. 某学习小组为探究电流与电阻关系设计了如图所示的电路图，通过调节滑动变阻器，实现电阻R两端的电压为定值，并多次更换电阻值不同的电阻R，并测量每次的电流I，获得如表所示的实验数据，若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为（ ） 3600 1800 900 450 0.05 0.1 0.2 0.4 A. 0.12 B. 0.15 C. 0.16 D. 0.18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数应用，首先利用待定系数法得到，然后将代入求解即可． 【详解】根据题意得，电流I和电阻R，成反比例函数关系，即 ∴将，代入得， ∴ ∴将代入得，． ∴若某一次更换的电阻R的电阻为时，电流为． 故选：B． 9. 明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（ ） A. 公平 B. 对明明有利 C. 对亮亮有利 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 10. 如图，在中，，，．以A为圆心，为半径画弧交边于点E，，点D为的中点，以D为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、扇形面积公式，由等腰直角三角形的性质可得，，，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）） 11. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、二次根式的性质，先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个小圆圈，第②个图形中一共有8个小圆圈，第③个图形中一共有15个小圆圈，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆圈的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示数字变化的规律，根据已知图形，找出数字变化的规律，根据规律列出代数式即可． 【详解】解：观察图形得： 第①个图形有个小圆圈， 第②个图形有个小圆圈， 第③个图形有个小圆圈， … 第n个图形有个小圆圈， 故答案为：． 13. 如图，在中，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点E．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及垂直平分线的作图与性质，利用垂直平分线的性质得出, ，并根据勾股定理即可求的值． 【详解】解：由作图可知, ， 在中，根据勾股定理，， ， ． 故答案为：． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻．漏刻主要由漏壶和漏箭组成，漏壶分为泄水壶和受水壶，漏箭是带有刻度的标尺，浮在壶中用来读数，从而指示时间．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，如下表是小明记录的受水壶中水位和时间的部分数据，猜想当时间t为时，受水壶中水位的高度为_________． … 1 2 3 4 5 … … 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．设水位和时间的一次函数解析式为，根据表格代入数据解方程组即可求出解析式，将代入即可求解． 【详解】解：设水位和时间的一次函数解析式为， 根据表格得， 解得， 一次函数解析式为， 当，． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为6，点E为的中点，连接，将正方形沿折叠，点C的对应点为G，点D的对应点为M，延长，交于点H，与交于点F，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由正方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可得 ，从而得出，，，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图：连接， ∵正方形的边长为6，点E为的中点， ∴，，， 由折叠的性质可得：，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先计算二次根式乘法，乘方，再进行加减运算即可； （2）求出两个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故该不等式组无解． 17. 电动垂直起降飞行器（eVTOL）通俗的理解就是电动化且不需要跑道就可垂直起降的飞机，其优势之一是它可以通过空中路线实现更快捷的城市通勤，大大缩短交通时间．例如从浦东机场到上海市中心约50千米，使用电动垂直起降飞行器比汽车减少约70分钟，已知汽车的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 【答案】电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 设电动垂直起降飞行器的速度为x千米/时，则汽车的速度为千米/时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】设电动垂直起降飞行器的速度为x千米/时，则汽车的速度为千米/时， 根据题意得，， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴电动垂直起降飞行器的速度为300千米/时． 18. 2025年山西中考体育在原来三项的基础上增加了第四项，即在篮球技能，排球技能，足球技能中必选一项，分值为10分，体育总分由原来的50分增加到60分．思博同学在老师的帮助下对自己的篮球技能，排球技能，足球技能分别进行了测试，并获得了一些数据． 数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 8.375 b 10 排球技能 a 5.5 c 足球技能 8.375 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球技能，排球技能，足球技能中的哪一项作为中考体育项目，②选择该项目的理由（2条即可），③针对该项目后续的努力方向（1条即可）． 【答案】（1），，和； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查数据的统计与分析，解题的关键在于理解平均数、中位数和众数的意义，通过已知数据推断出未知数据的可能范围，并据此给出合理的建议． （1）结合折线统计图，利用平均数、中位数和众数的定义进行分析计算； （2）根据平均数、中位数和众数进行合理建议和回答． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得： ， ，和； 故答案为：，，和； 【小问2详解】 ①建议选择篮球技能．理由如下： ②篮球技能的平均数和足球技能相同，均为8.375分，但是篮球技能的众数为10分是最高的，并且篮球技能的中位数为分也是最高，表明思博在篮球技能上取得了更高的成绩频率，这可能意味着篮球技能是思博较为擅长的项目，有较高的得分潜力． ③建议思博同学进一步提升自己的篮球技能，特别是在保持高分稳定性的同时，提高中低分的成绩，缩小成绩分布范围，从而在正式考试中取得更稳定、更高的分数． 19. 小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分： 第一组 第二组 回答问题次数 1 2 参与课堂展示次数 7 5 有效质疑次数 2 3 最终分数 35 37 请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？ 【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验． 【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分， 由题意可得：， 解得：， 答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分． 20. 阅读下列材料，并完成相应的任务 数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据） 任务： （1）直接写出材料中的依据为：_________； （2）写出求解长的解题过程； （3）按照材料中例题方法，直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）两点之间线段最短 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点之间线段最短即可得解； （2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）仿照材料给出的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：材料中的依据为：两点之间线段最短； 【小问2详解】 解：如图：作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长， 作交的延长线于， 则， ∴四边形矩形， ∴，E ∵，，， ∴，， ∴； ∴的最小值为． 21. 介休张壁古堡入选2024年“最美小镇”．古堡地面整体布局与天上的二十八星宿相对应，其南堡门对应“张宿”，北堡门对应“壁宿”，两者合起来便是“张壁”之名的由来．某“综合与实践”小组把“测量南堡门与北堡门的距离”作为一项课题活动，在老师的帮助下形成了如下活动报告．请根据活动报告计算的长度（结果精确到）． 课题 测量张壁古堡南堡门与北堡门的距离 指导教师 ×××老师 成员 组长：××× 组员×××，×××，××× 测量工具 无人机 测量方案 无人机在A处测得北堡门上方标志物B的俯角为37°，南堡门上方标志物C的俯角为，无人机沿方向继续飞行到D处，此时测得北堡门上方标志物B的俯角为． 示意图及测量数据 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，和均与地面平行，． 参考数据 计算结果 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，学会理解题意构建直角模型是解题的关键．先作交于点，作交于点，利用锐角三角函数分别得出和，进而即可得出的长度． 【详解】解：由题意作交于点，作交于点， ， 又，设， 在中，， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 可得， ． 22. 综合与实践 问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部设计窗棂，已知圆窗的跨度，高． 设计效果1：如图1，四边形，四边形，四边形为正方形，且点I，C，D，L在上，点H，F，E，K在 抛物线上，点G在上，点J在上，整体图形关于抛物线的对称轴直线成轴对称图形． 问题解决1：以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）分别求出线段，的长； 设计效果2：在正方形内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形， 问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值． 【答案】问题解决1：（1）画图见解析，；（2），；问题解决2： 【解析】 【分析】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由题意可得，，，，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）设，，由正方形的性质结合对称性可得则，，，，再代入抛物线的解析式计算即可得解； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为，设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为，由题意可得它们是全等的正方形，边长为，这里，从而得出，再由一次函数的性质即可得解． 【详解】问题解决1：（1）以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： ， ∵圆窗的跨度，高， ∴，，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵四边形、为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点， ∴设，，则，，，， ∵、在抛物线上， ∴，， 解得：或（不符合题意，舍去）；或（不符合题意，舍去） ∴，； 问题解决2：由（2）可得正方形的边长为， 设已知图2中最小正方形的边长为（为整数），中间一个较大的正方形的边长为，条窗棂长度和为， ∵在正方形内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形， ∴它们是全等的正方形，边长为，这里， ∴， ∵，为正整数， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为， 即条窗棂长度和的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折得到，则由平行四边形，根据平行线+角平分线得到等腰三角形，那么，则，结合平行，先证明为平行四边形，再根据一组邻边相等即可证明； （2）先证明四边形为平行四边形，结合翻折可得，那么为等边三角形，即可求解； （3）过点O作于点N，过点M作于点K，四边形为菱形，可得为等边三角形，则设，可证明，那么，，则，用勾股定理表示，，，最后由建立方程求解，再由平行四边形的性质结合翻折即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 由翻折得：， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由翻折得，而 ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：过点O作于点N，过点M作于点K， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，翻折得： ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 解得：或（舍）， ∴， 由上知四边形为平行四边形， ∴， ∴由翻折得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，正确和合理添加垂线解直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$