精品解析：广东省广州市南沙区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市南沙区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数，既是分数又是负数的是（　　） A. B. C. D. 0 2. 2024年广州南沙湾区半程马拉松在广州南沙国际邮轮母港鸣枪开跑，本届赛事规模约达15000人．下面用科学记数法表示15000正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组式子属于同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列运算正确是（　　） A. B. C. D. 5. 下列相关量不成反比例关系的是（　　） A. 圆柱的体积一定，它的底面积和高 B. 长方形的面积一定，它的长和宽 C. 正方形的边长和它的周长 D. 工作总量一定，工作效率与工作时间 6. 某校七年级（5）班准备开展户外拓展活动，需要制作正方体纸盒多个．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列等式的变形正确的是（　　） A. 由可得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 8. 深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为，乙车速度为，甲车出发千米后乙车才出发，设乙车出发小时后两车相遇，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 9. 一副三角板按如图的方式摆放，则的补角的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，已知，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 一个长方形绕着它的一边旋转一周，所得到的立体图形是________． 12. 已知，则值为____． 13. 用a元购买5件单价为x元的文具，如果还有剩余，应找回_____元． 14. 如图，射线表示北偏东方向，平分，则_____． 15. 若关于的方程中，互为相反数（均不为），则的值为______． 16. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． （1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是_____； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知，． （1）化简； （2）当时，求的值． 20. 如图，已知线段． （1）尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得； （2）在（1）的条件下，若点是的中点，求出与的数量关系． 21. 如图，射线在的内部． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若射线在的内部，，，求的度数． 22. 某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） （1）第二档电价比第一档多 元； （2）已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． （3）已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 23. 在小学，我们知道像12，237，36，45，108，…这样自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 （填序号）； ①13；②45；③525；④2024． （2）设是一个三位数，试探究这个数能被3整除的条件； （3）若能被11整除，试判断能否被11整除，并加以说明． 24. 如图，数轴上A，B，C三点分别表示数a，数b，数3，且a、b满足． （1） ， ； （2）数轴上有一动点P，表示的数为x，则当x取何值时，； （3）数轴上点M沿方向以2个单位/秒的速度运动，同时点N沿的方向以3个单位/秒的速度运动，当点N到达点B时，M，N都停止运动．设运动的时间为t秒，当时，求t的值． 25. 如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． （1）当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． （2）将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市南沙区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数，既是分数又是负数的是（　　） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键，根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：分数，但它不是负数，则A不符合题意； 不是分数，但它是负数，则B不符合题意； 既是分数又是负数，则C符合题意； 0不是负数，也不是分数，则D不符合题意； 故选：C． 2. 2024年广州南沙湾区半程马拉松在广州南沙国际邮轮母港鸣枪开跑，本届赛事规模约达15000人．下面用科学记数法表示15000正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列各组式子属于同类项的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项的定义． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据同类项定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，符合同类项的定义，是同类项，符合题意； 选项，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 选项，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； 选项，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意． 故选：． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，根据合并同类项法则，去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 5. 下列相关量不成反比例关系的是（　　） A. 圆柱的体积一定，它的底面积和高 B. 长方形的面积一定，它的长和宽 C. 正方形的边长和它的周长 D. 工作总量一定，工作效率与工作时间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例的定义，反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系，据此进行判断即可． 【详解】解：圆柱的体积一定，它的底面积和高的积为定值，则A不符合题意； 长方形的面积一定，它的长和宽的积为定值，则B不符合题意； 正方形的边长和它的周长的商为定值，则C符合题意； 工作总量一定，工作效率与工作时间的积为定值，则D不符合题意； 故选：C． 6. 某校七年级（5）班准备开展户外拓展活动，需要制作正方体纸盒多个．下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案． 【详解】解：A，B，D是正方体的展开图，C不是正方体的展开图． 故选：C． 7. 下列等式的变形正确的是（　　） A. 由可得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．利用等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，由，利用等式的性质1，两边都减去，得，故选项错误，故不符合题意； B中，由，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项正确，故符合题意； C中，由，先利用等式的性质1，两边都加，得，故选项错误，故不符合题意； D中，由，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项错误，故不符合题意； 故选：B． 8. 深中通道于2024年6月30日正式通车试运营，该通道全长千米，这一里程碑式的交通项目为粤港澳大湾区带来了前所未有的便捷和机遇．已知甲、乙两车分别从该通道的起点和终点相向而行，已知甲车速度为，乙车速度为，甲车出发千米后乙车才出发，设乙车出发小时后两车相遇，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设乙车出发小时后两车相遇，根据该通道全长千米，列方程即可得到结论． 【详解】解：设乙车出发小时后两车相遇，根据题意得，， 故选：D． 9. 一副三角板按如图方式摆放，则的补角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形板中角度计算、补角，熟练掌握补角的计算是解题关键．先利用角的和差可得，然后利用补角的定义求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的补角的度数是， 故选：D． 10. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，已知，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，表示a，b互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得，，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上的原点在表示a，b两点的中间，a，b互为相反数， ∴，， ∴，结论①错误，不符合题意； ∴，结论②错误，不符合题意； ∴，结论③正确，符合题意； ∴，结论④正确，符合题意， 则正确的结论有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 一个长方形绕着它的一边旋转一周，所得到的立体图形是________． 【答案】圆柱体 【解析】 【分析】根据面动成体的原理和圆柱体的形成即可得到答案． 【详解】解：以长方形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体． 故答案为：圆柱体． 【点睛】本题考查圆柱的定义，熟练掌握平面图形和立体图形的联系，了解点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键． 12. 已知，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式的值，解题关键是将所给式子整体代入要求解的代数式中． 将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 用a元购买5件单价为x元的文具，如果还有剩余，应找回_____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据剩余应找回的钱数为总钱数减去花费列式即可． 【详解】解：购买5件单价为x元的文具，总花费为元． 用a元购买，剩余应找回的钱数为总钱数减去花费即元． 故答案为：． 14. 如图，射线表示北偏东方向，平分，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是方位角、角的计算、角平分线的定义，解题关键是正确理解方位角． 根据方位角，得到，求得的度数，结合角平分线的定义即可得解． 【详解】解：如图，射线表示北偏东方向， ， ， 平分， ． 故答案为：． 15. 若关于的方程中，互为相反数（均不为），则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了相反数的定义，解一元一次方程，根据相反数的定义得出，然后代入方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵互为相反数（均不为）， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． （1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是_____； （2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是_____． 【答案】 ①. 10 ②. 105 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，理解进制的定义成为解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，把二进制数转换为十进制数即可； （2）采取“除8取余数法”，把十进制数转换为八进制数即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）69转换为八进制数采取除8取余数法， ， 故答案为：105． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算， 先算乘方，再算乘法，最后算加法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的方法． 方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】解：去括号得：， 移项合并得：， 将系数化为：． 19. 已知，． （1）化简； （2）当时，求值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是先把整式化简，然后再把字母的值代入化简后的整式中求值即可． 把，代入中，根据去括号法则去括号，根据合并同类项法则合并同类项即可； 把代入化简后的整式中计算求值即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：当时， ． 20. 如图，已知线段． （1）尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得； （2）在（1）的条件下，若点是的中点，求出与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的作法，中线的性质，线段的和差计算，作出图形是解答关键． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）由题意得，，进而得到即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求． 【小问2详解】 解：∵点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 如图，射线在的内部． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若射线在的内部，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了查角的计算，灵活应用角的和差关系是解题的关键． （1）根据题意，，，可得，即可得出的度数； （2）根据题意，，可得，再根据已知，即可得出，从而求出的度数，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） （1）第二档电价比第一档多 元； （2）已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． （3）已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【答案】（1）0.05 （2）李乐家需要缴纳的电费为179元 （3）陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度 【解析】 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电量电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用第二档电价减去第一档电价，即可解题； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为x度，列出方程计算． 【小问1详解】 解：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（元）， 答：李乐家需要缴纳的电费为179元； 【小问3详解】 解：（元）， （元）， ， 陈阳家该月份用电收费属于第二档， 设该月用电量为x度， ， ， 答：陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度． 23. 在小学，我们知道像12，237，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是．显然，9a能被3整除，因此，若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 （填序号）； ①13；②45；③525；④2024． （2）设是一个三位数，试探究这个数能被3整除的条件； （3）若能被11整除，试判断能否被11整除，并加以说明． 【答案】（1）②③ （2）能被3整除的条件为能被3整除 （3）能被11整除，见解析 【解析】 【分析】（1）仿照示例，所有数位上的数字之和能否被3整除，来判断各数能否被3整除，得到结果； （2）先表示出这个三位数，化简整理为，从而得到结果； （3）根据题意，把三位数表示为，从而得到结果． 本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：①，4不能被3整除，故13不能被3整除， ②，9能被3整除，故45能被3整除， ③，12能被3整除，故525能被3整除， ④，8不能被3整除，故2024不能被3整除， 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：设是一个三位数， ∴， ∵能被3整除， ∴若能被3整除，那么就能被3整除， 即能被3整除的条件为能被3整除； 【小问3详解】 解：若能被11整除，能否被11整除，理由如下： ∵ 又∵和都能被11整除， ∴能被11整除． 24. 如图，数轴上A，B，C三点分别表示数a，数b，数3，且a、b满足． （1） ， ； （2）数轴上有一动点P，表示的数为x，则当x取何值时，； （3）数轴上点M沿的方向以2个单位/秒的速度运动，同时点N沿的方向以3个单位/秒的速度运动，当点N到达点B时，M，N都停止运动．设运动的时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】（1），12 （2）x为9或21 （3）t的值为2或 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的非负性，可求出a，b的值； （2）首先表示出，，根据，可列出关于x的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点N到达点C及点N到达点B所需时间，当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可；当时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，点A表示的数为，点B表示的数为12， ∵数轴上有一动点P，表示的数为x， ∴，， ∵， ∴ 解得：或， 答：当x为9或21时，； 【小问3详解】 解：（秒），（秒）． 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或． 答：t的值为2或． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，掌握相关知识是解决本题的关键． 25. 如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． （1）当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． （2）将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 【答案】（1）①；②存在，值为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键； （1）①旋转了，利用余角性质、平角定义求出，，进而可求出； ②根据题意分三种情况讨论，用含的代数式表示出各个角，再利用角平分线的定义列方程求解； （2）分别用、、的代数式表示，再列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意得，①时，， ， ， 故答案为：； ②存在， 分三种情况： Ⅰ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅱ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅲ．是与组成夹角的角平分线， ， ， ， 解得； 旋转角度小于 ， 故舍去， 答：满足条件的值为或； 【小问2详解】 由题意得，， ， ， ， ， 答：、、三者之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $