8,2 立体图形的直观图讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.2 立体图形的直观图 目录 知识点一：立体图形的直观图与斜二测画法 2 题型1：斜二测画法的概念辨析 2 题型2： 画平面图形的直观图 3 题型3： 画立体图形的直观图 4 知识点二：直观图的还原及直观图的计算问题 5 题型4：与直观图有关的计算问题 6 知识点一：立体图形的直观图与斜二测画法 1. 立体图形的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画出的平面图形是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. 2. 斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 水平放置的平面图形的画法： （1） 在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）. （2） 已知图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴、轴的线段（平行关系不变）. （3） 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 立体图形的直观图的画法： （1） 在已知图中取互相垂直的轴、轴、轴，画直观图时，把它们画成对应的轴轴、轴，且使（或），. （2） 已知图形中平行于轴、轴、轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴、轴、轴的线段. （3） 已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 题型1：斜二测画法的概念辨析 【例1.1.】 关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【例1.2.】 （多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．相等的角在直观图中仍然相等 【例1.3.】 （多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 题型2： 画平面图形的直观图 【例2.1.】 用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【例2.2.】 画水平放置的正六边形的直观图． 【例2.3.】 如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例2.4.】 图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【例2.5.】 画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    题型3： 画立体图形的直观图 方法提炼 （1） 画立体图形的直观图，要注意选取适当的原点建系画轴. （2） 画法规则可简记为：两轴夹角为，竖轴垂直仍不变；平行不变，长度变；横竖不变，纵折半. （3） 为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示. 【例3.1.】 画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【例3.2.】 已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【例3.3.】 画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【例3.4.】 画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图． 【例3.5.】 画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 知识点二：直观图的还原及直观图的计算问题 1. 由直观图还原平面图形 (1) 直观图中轴与轴的夹角为（或），还原为平面图形时，则需还原成，与轴平行的线段还原时应为原线段长的2倍，且保持与轴平行，与轴平行的线段的长度不变. (2) 直观图中任何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的. 2. 斜二测画法中的直观图与原图的面积关系 一个平面多边形的面积为，它由斜二测画法所画的直观图的面积为，则有，. 题型4：与直观图有关的计算问题 【例4.1.】 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为 ． 【例4.2.】 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【例4.4.】 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 立体图形的直观图 目录 知识点一：立体图形的直观图与斜二测画法 2 题型1：斜二测画法的概念辨析 2 题型2： 画平面图形的直观图 4 题型3： 画立体图形的直观图 7 知识点二：直观图的还原及直观图的计算问题 11 题型4：与直观图有关的计算问题 12 知识点一：立体图形的直观图与斜二测画法 1. 立体图形的直观图的概念 直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画出的平面图形是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. 2. 斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 水平放置的平面图形的画法： （1） 在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于，且使（或）. （2） 已知图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴、轴的线段（平行关系不变）. （3） 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 立体图形的直观图的画法： （1） 在已知图中取互相垂直的轴、轴、轴，画直观图时，把它们画成对应的轴轴、轴，且使（或），. （2） 已知图形中平行于轴、轴、轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴、轴、轴的线段. （3） 已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。 题型1：斜二测画法的概念辨析 【例1.1.】 关于斜二测画法，下列说法错误的是（    ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 【答案】B 【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确； 对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误； 对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确； 对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确. 故选：B. 【例1.2.】 （多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】BC 【详解】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变， 平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误； 平行线段在直观图中仍然平行，B正确； 一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确； 如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误. 故选：BC 【例1.3.】 （多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 题型2： 画平面图形的直观图 【例2.1.】 用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【解析】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图. （2）取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为. 【例2.2.】 画水平放置的正六边形的直观图． 【解析】（1）如图1，在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取与AD垂直的对称轴GH为y轴，x轴与y轴相交于点O．任取点，画出对应的轴，轴，使； （2）以点为中点，在轴上取，在轴上取；以点为中点画轴，并使；再以为中点画轴，并使； （3）顺次连接，，，，，，，所得到的六边形就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图，如图2； （4）擦去辅助线，整理得图3． 【例2.3.】 如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示：    A选项满足要求. 故选：A. 【例2.4.】 图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形， 且在直观图中平行于轴的边与底边垂直， 原图形如图所示： 此平面图形可能是C. 故选：C. 【例2.5.】 画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    【答案】答案见解析，的面积为 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为.    题型3： 画立体图形的直观图 方法提炼 （1） 画立体图形的直观图，要注意选取适当的原点建系画轴. （2） 画法规则可简记为：两轴夹角为，竖轴垂直仍不变；平行不变，长度变；横竖不变，纵折半. （3） 为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示. 【例3.1.】 画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 【例3.2.】 已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【答案】作图见解析 【详解】如图所示．    【例3.3.】 画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【答案】(1)画法见解析， ； (2)画法见解析， 【详解】（1）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD， 第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接， 第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图. （2）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm. 第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，. 第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图. 【例3.4.】 画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】画法：（1）画轴，画轴、轴、轴，它们交于点， 使. （2）画底面，按轴、轴画正方形的直观图，取边长等于， 使正方形的中心对应于点，在轴上分别取点、、、，且使，，分别过、、、作平行于轴的直线，分别交于、、、四点. （3）画高（线），在轴上取 （4）成图，连结、、、，并加以整理，就得到所要画的正四棱雉的直观图.    【例3.5.】 画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【答案】详见解析 【详解】如图所示： 知识点二：直观图的还原及直观图的计算问题 1. 由直观图还原平面图形 (1) 直观图中轴与轴的夹角为（或），还原为平面图形时，则需还原成，与轴平行的线段还原时应为原线段长的2倍，且保持与轴平行，与轴平行的线段的长度不变. (2) 直观图中任何一点距轴的距离都为原图中相应点距轴距离的. 2. 斜二测画法中的直观图与原图的面积关系 一个平面多边形的面积为，它由斜二测画法所画的直观图的面积为，则有，. 题型4：与直观图有关的计算问题 【例4.1.】 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为 ． 【答案】 【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形， ，可得，． 还原原图形如图： 则， 则， 故答案为：. 【例4.2.】 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正三角形的高为， 根据斜二测画法的知识可知， 直观图的面积为. 故选：B 【例4.3.】 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】画出原平面图形，如下： 其中，故，， 设，则，， 平面图形的面积为， 故，解得， 故. 故选：B 【例4.4.】 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 【例4.5.】 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 【例4.6.】 如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，则即为原来的图形，如图②所示： 原图形中，于点， 则BD为原图形中边上的高，且， 在直观图③中作于点，则的面积， 在直角三角形中，， 所以， 故原图形中AC边上的高为． 故选：D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$