8.1 基本立体图形讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.1 基本立体图形 目录 知识点一：空间几何体的定义 2 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 2 题型1：棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断与识别 4 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 6 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的判断与识别 7 知识点四：简单组合体的结构特征 9 题型3：简单的组合体问题 9 题型4： 几何体中的基本计算 13 题型5： 空间几何体的展开图及最短距离问题 15 知识点一：空间几何体的定义 1. 空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 2. 多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 (1) 多面体的面：围成多面体的各个多边形。 (2) 多面体的棱：两个面的公共边。 (3) 多面体的顶点：棱与棱的公共点。 【特别提醒】①多面体至少有四个面。②连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线。 3. 旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1. 棱柱 (1) 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 (2) 相关概念：两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 (3) 棱柱的表示：可以用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图所示的棱柱记作棱柱。 (4) 棱柱的分类 1　 按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱； 2　 按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱. 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱. 2. 棱锥 (1) 定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (2) 相关概念：多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 (3) 棱锥的表示：可以用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥，如上图所示的棱锥记作棱锥。 (4) 棱锥的分类 按底面多边形的边数：可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥. 其中三棱锥又叫四面体。底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥。 3. 棱台 (1) 定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台. (2) 相关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，它们是互相平行且相似的多边形；其他各面叫做棱台的侧面，侧面均为梯形；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点. (3) 棱台的表示：可以用表示底面各顶点的字母表示棱台，如上图所示的棱台记作棱台。 (4) 棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 题型1：棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断与识别 方法提炼 (1) 棱柱的结构特征：①两个底面互相平行；②其余各面是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行. (2) 判断棱锥、棱台形状的两个方法 1　 举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. 2　 直接法：根据棱锥的判定方法，只有一个面是多边形，其余各面相交于一点。根据棱台的判定方法，有两个互相平行的面，其余各面延长后交于一点. 【例1.1.】 以下说法正确的是（    ） ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 【例1.2.】 下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【例1.3.】 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　） A．①是棱台 B．②是棱锥 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 【例1.4.】 下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【例1.5.】 （多选）下列命题中正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 【例1.6.】 （多选）下列结论中正确的是（    ） A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体 C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 1. 圆柱 (1) 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱。 (2) 相关概念：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (3) 圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆柱记作圆柱。 2. 圆锥 (1) 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. (2) 相关概念：旋转轴叫作圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线. (3) 圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆柱记作圆锥。 3. 圆台 (1) 定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. (2) 相关概念：旋转轴叫作圆台的轴；截面和原圆锥的底面分别叫做圆台的上底面和下底面；直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边的腰都叫做圆台的母线. (3) 圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆台记作圆台。 4. 球 (1) 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. (2) 相关概念：半圆的圆心叫做球的球心；连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. (3) 球的表示：常用表示球心的字母来表示，如上图所示的球记作球. 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的判断与识别 【例2.1.】 给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2.2.】 有下列命题： ① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等； ④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2.3.】 下列几何体是台体的是 A． B． C． D． 【例2.4.】 以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【例2.5.】 （多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【例2.6.】 下列说法，正确的是（    ） A．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 知识点四：简单组合体的结构特征 1. 简单组合体的概念 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体. 2. 两种基本构成形式 一种是由简单几何体拼接而成，如图⑴⑵⑶⑷；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图⑸⑹⑺⑻. 题型3：简单的组合体问题 方法提炼 (1) 简单组合体的识别方法： 根据简单组合体构成的两种基本形式，弄清楚它是由哪些简单几何体（柱、锥、台、球）构成.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或截面）. (2) 分析不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征 1　 分割：将原图形适当地分割成常见的矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形. 2　 定形：根据圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 【例3.1.】 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【例3.2.】 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（    ）． A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【例3.3.】 如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ）    A．   B．   C．   D．   【例3.4.】 如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【例3.6.】 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【例3.7.】 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【例3.8.】 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【例3.9.】 如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 【例3.10.】 指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      题型4： 几何体中的基本计算 方法提炼 (1) 正棱锥（以正四棱锥为例）中要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高的概念，以及高与侧棱、高与斜高所构成的两个直角三角形（和），有关证明及计算往往与这两者有关。 (2) ①正四棱台中要掌握轴截面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中。②将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来. (3) 研究圆柱、圆锥、圆台等相关问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. (4) 圆台问题有时还需要还原为圆锥问题来解决 【例4.1.】 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【例4.2.】 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【例4.5.】 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（    ） A． B． C．4 D． 题型5： 空间几何体的展开图及最短距离问题 方法提炼 (1) 常见几何体的侧面展开图： 　 (2) 求基本立体图形表面上两点间的最短距离时，一般是沿某棱将侧面展开，画出其展开图，转化为求平面上线段的长度. 【例5.1.】 若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【例5.2.】 如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 【例5.3.】 如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【例5.4.】 如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【例5.5.】 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 【例5.7.】 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【例5.8.】 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【例5.9.】 半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为 .    ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 基本立体图形 目录 知识点一：空间几何体的定义 2 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 2 题型1：棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断与识别 4 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 7 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的判断与识别 9 知识点四：简单组合体的结构特征 12 题型3：简单的组合体问题 13 题型4： 几何体中的基本计算 19 题型5： 空间几何体的展开图及最短距离问题 23 知识点一：空间几何体的定义 1. 空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 2. 多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 (1) 多面体的面：围成多面体的各个多边形。 (2) 多面体的棱：两个面的公共边。 (3) 多面体的顶点：棱与棱的公共点。 【特别提醒】①多面体至少有四个面。②连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线。 3. 旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴. 知识点二：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1. 棱柱 (1) 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 (2) 相关概念：两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 (3) 棱柱的表示：可以用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如上图所示的棱柱记作棱柱。 (4) 棱柱的分类 1　 按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱； 2　 按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱. 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱. 2. 棱锥 (1) 定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (2) 相关概念：多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 (3) 棱锥的表示：可以用表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥，如上图所示的棱锥记作棱锥。 (4) 棱锥的分类 按底面多边形的边数：可以把棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥. 其中三棱锥又叫四面体。底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥。 3. 棱台 (1) 定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台. (2) 相关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，它们是互相平行且相似的多边形；其他各面叫做棱台的侧面，侧面均为梯形；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱台的顶点. (3) 棱台的表示：可以用表示底面各顶点的字母表示棱台，如上图所示的棱台记作棱台。 (4) 棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 题型1：棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断与识别 方法提炼 (1) 棱柱的结构特征：①两个底面互相平行；②其余各面是四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行. (2) 判断棱锥、棱台形状的两个方法 1　 举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. 2　 直接法：根据棱锥的判定方法，只有一个面是多边形，其余各面相交于一点。根据棱台的判定方法，有两个互相平行的面，其余各面延长后交于一点. 【例1.1.】 以下说法正确的是（    ） ①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确； ②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确； ③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确； ④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； ⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误； ⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确. 故选：C 【例1.2.】 下列说法不正确的是（   ） A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形 B．棱台的各侧棱延长线必交于一点 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 【答案】C 【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确； 对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确； 对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误； 对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确； 故选：C. 【例1.3.】 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　） A．①是棱台 B．②是棱锥 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 【答案】B 【详解】对于A ，不是由棱锥截来的，所以①不是棱台，故A错误； 对于B，底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以②是棱锥；故B正确； 对于C，底面是多边形，其余各面不是有一个公共顶点的三角形，所以③不是棱锥，故C错误. 对于D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故D错误. 故选：B． 【例1.4.】 下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【答案】D 【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误； 选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误； 选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 故选：D 【例1.5.】 （多选）下列命题中正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 【答案】BC 【详解】 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱. 而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误； 由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确； 一个棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥,故D错误. 故选：BC. 【例1.6.】 （多选）下列结论中正确的是（    ） A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体 C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 【答案】ABC 【详解】A选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确； B选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B选项正确； C选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C选项正确； D选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D选项错误； 故选：ABC. 知识点三：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 1. 圆柱 (1) 定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱。 (2) 相关概念：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (3) 圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆柱记作圆柱。 2. 圆锥 (1) 定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. (2) 相关概念：旋转轴叫作圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线. (3) 圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆柱记作圆锥。 3. 圆台 (1) 定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. (2) 相关概念：旋转轴叫作圆台的轴；截面和原圆锥的底面分别叫做圆台的上底面和下底面；直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于底边的腰都叫做圆台的母线. (3) 圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如上图所示的圆台记作圆台。 4. 球 (1) 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. (2) 相关概念：半圆的圆心叫做球的球心；连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. (3) 球的表示：常用表示球心的字母来表示，如上图所示的球记作球. 题型2：圆柱、圆锥、圆台、球结构特征的判断与识别 【例2.1.】 给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 【例2.2.】 有下列命题： ① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等； ④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥． 其中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥． 【例2.3.】 下列几何体是台体的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台； B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台； C中几何体是棱锥，不是棱台； D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台． 故选D． 【例2.4.】 以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 【例2.5.】 （多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【答案】AB 【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确； B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确； C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误； D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.    故选：AB 【例2.6.】 下列说法，正确的是（    ） A．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 【答案】BD 【详解】对于A：用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆,故A错； 对于B：圆锥的顶点与底面圆的圆心连线垂直于底面，所以锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形,故B对; 对于C：根据母线的定义：圆台侧面上各个位置的直角梯形的腰 称为圆台的母线，故C错； 对于D：圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,故D对; 故选：BD. 知识点四：简单组合体的结构特征 1. 简单组合体的概念 现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体. 2. 两种基本构成形式 一种是由简单几何体拼接而成，如图⑴⑵⑶⑷；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图⑸⑹⑺⑻. 题型3：简单的组合体问题 方法提炼 (1) 简单组合体的识别方法： 根据简单组合体构成的两种基本形式，弄清楚它是由哪些简单几何体（柱、锥、台、球）构成.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或截面）. (2) 分析不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征 1　 分割：将原图形适当地分割成常见的矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形. 2　 定形：根据圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析. 【例3.1.】 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【详解】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 【例3.2.】 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（    ）． A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 【答案】B 【详解】中间轴是圆的直径所在直线，且是中间矩形的对称轴，绕它旋转一周，中间矩形形成圆柱，圆形成球，所以几何体是一个球体中间挖去一个圆柱． 故选：B． 【例3.3.】 如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意； C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意； D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意. 故选：D. 【例3.4.】 如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正方体的棱长等于， 的中点到旋转轴的距离等于，而、两点到旋转轴的距离等于， 的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大． 由此可得A、C项不符合题意，舍去． 又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面， B项不符合题意，只有D项符合题意． 故选：D． 【例3.5.】 能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成， 是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 【例3.6.】 如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【例3.7.】 如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C 【例3.8.】 某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 【例3.9.】 如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征. 【答案】见解析 【详解】这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体. 【例3.10.】 指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【答案】答案见解析 【详解】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的． 右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的， 也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的． 实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．              题型4： 几何体中的基本计算 方法提炼 (1) 正棱锥（以正四棱锥为例）中要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高的概念，以及高与侧棱、高与斜高所构成的两个直角三角形（和），有关证明及计算往往与这两者有关。 (2) ①正四棱台中要掌握轴截面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中。②将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来. (3) 研究圆柱、圆锥、圆台等相关问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. (4) 圆台问题有时还需要还原为圆锥问题来解决 【例4.1.】 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】连接， 在中，， 在中，. 故选：D.    【例4.2.】 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【例4.3.】 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长均为6， 如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高， 所以根据三棱锥的棱长均为6，三棱锥的棱长均为12， 可知相似比为，通过相似关系可知，三棱台的高也为； 故选：C. 【例4.4.】 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 . 【答案】 【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以，过点作，垂足为，则易知且， 在Rt中，，，所以，故正四棱台的高为.    故答案为：. 【例4.5.】 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 【例4.6.】 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，所以圆锥的母线长为， 故圆锥的高. 故选：C. 【例4.7.】 已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】如图，将圆台还原为圆锥， 上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，底面圆周长为， 因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2， 则圆台所在圆锥的母线长为6， 因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以，得， 如图，圆台的高 故选：B 题型5： 空间几何体的展开图及最短距离问题 方法提炼 (1) 常见几何体的侧面展开图： 　 (2) 求基本立体图形表面上两点间的最短距离时，一般是沿某棱将侧面展开，画出其展开图，转化为求平面上线段的长度. 【例5.1.】 若一个几何体的平面展开图如图所示．    （1）该几何体是 ； （2）该几何体中与“祝”字相对的是 ，与“你”字相对的是 ． 【答案】 四棱台 前 程 【详解】还原几何体如图：棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似， 右侧面为锦，前面为程，后面为你.    故答案为：①四棱台；②前；③程. 【例5.2.】 如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ 【答案】①是五棱柱；②是五棱锥；③是三棱台 【详解】解：如图所示. 由图可知①是五棱柱；②是五棱锥；③是三棱台. 故图中几何体形状为①五棱柱；②五棱锥；③三棱台. 【例5.3.】 如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开 由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短． 所以最短路线长为. 故选：B. 【例5.4.】 如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据勾股定理，，∴. 故选：A   . 【例5.5.】 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，， 问题转化为在上找一点，使最短， 作关于的对称点，连接，令与交于点， 则得的最小值就是为． 故选：A 【例5.6.】 如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图. 则从点A到点B的最短路径为线段，，所以. 过S作，则公路距山顶的最近距离为， 因为，所以， 故选:D. 【例5.7.】 已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 【例5.8.】 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得，    所以的周长的最小值为． 故选：B． 【例5.9.】 半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，点M，N分别在线段，上，则的最小值为 .    【答案】 【详解】由题设，该半正多面体的展开图如下图示，    根据已知及几何体结构知：，，且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$