6.2.2反比例函数的图像和性质(2) 学案2024-2025学年北师大版数学九年级上册

6.2.2反比例函数的图像和性质(2) 【学习目标】 1.通过画图推导出与双曲线有关的三角形，矩形面积计算公式； 2.会根据公式计算与双曲线有关的面积问题； 3.会通过设参数求与双曲线有关的面积问题； 4.会求以面积为条件的反比例函数解析式 【知识回顾】 1.反比例函数y=的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为　　　　. 2.反比例函数的图象位于第 象限. 3.已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内. 4.反比例函数y= (k≠0)的图象和性质. （1）当k>0时，图象的两个分支分别在第_______象限，在每个象限内，图象自左向右下降， 函数y随着 x的增大而 ． （2）当k<0 时，图象的两个分支分别在第 象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数y 随着 x的增大而 . 【预习探究】 探索活动一 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为，和有什么关系？为什么？ 反比例函数的几何意义： 反比例函数y= (k≠0)中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数y= (k≠0)图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|. 所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数.从而有.在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便. 【典例精析】 题型一：反比例函数k的几何意义 例1：如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在 C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为　 　． 针对训练： 1.如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，k＝　 ． 1题 2题 2.如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 　 　． 3.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　 　． 题型二：反比例函数与一次函数的综合 例2：如图,一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由； （3）直接写出不等式k1x+b≥的解集． 针对训练： 4.已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝ax（a≠0）的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，1） 5.如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数y2＝（k2＜0）的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜0或x＞2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 6.如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）． （1）求k的值； （2）求AB所在直线的解析式． 【拓展培优】 例3.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（　　） A． B． C． D．12 针对训练： 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD中，顶点A（2，0）、D（0，3），对角线AC、BD交于点E，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点E，则k的值（　　） A．8 B．8 C．6 D． 8．如图，点P是函数y＝（k1＞0，x＞0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y＝（k2＞0，x＞0）的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1＞k2．下列结论：①CD∥AB；②S△OCD＝；③S△DCP＝，其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【思维特训】 9.如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$