模型7 “角平分线”模型 2025年中考数学几何模型专题复习

模型7 “角平分线”模型 基础模型 图示 条件 OP 平分∠MON,点 A 为OM上一点,PA⊥OM OP 平分∠MON,点 A 为OM上一点 OP 平分 ∠MON,点 A 为OM 上一点,AP⊥OP 作法 过点P作PB⊥ON于点B 在ON上截取 OB=OA,连接 PB 延长AP交ON于点B 结论 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB 结论分析 作法1 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB 证明:如图①,过点 P作 PB⊥ON于点 B, ∴ ∠OAP=∠OBP=90°. ∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP, 在△AOP 和△BOP中, ∴△AOP≌△BOP(AAS)(结论1),∴PA=PB(结论2),OA=OB(结论3). 作法2 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB 自主证明:如图②,在ON上截取OB=OA,连接PB. 作法3 结论:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB 自主证明:如图③,延长AP 交 ON 于点 B. 模型拓展 拓展方向：角平分线+平行线构造等腰三角形 图示 条件 OP平分∠MON 作法 过点 P作PQ∥ON交OM于点Q 过点 Q作OP的平行线交NO 的延长线于点 R 结论 1. OQ=PQ;2. ∠QOP=∠QPO 1. 模型解题三步法 例1 如图,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,过点 D作DE⊥AC于点 E.若BD=3,CD=5,则△CDE的面积为 . 例2 如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,则BD 的长为 . 题以类解 1. 如图,BH 是∠ABC 的平分线,BD 和 CD 是△ABC 两个外角的平分线,延长 DC 与 BH交于点 H,若∠D = 60°,∠ACB = 65°,则∠HBC的度数为 ( ) A. 27.5° B. 30° C. 32.5° D. 35° 2. 一题多解 如图,∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC,作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 AC 于 点 F,连接 DF,DF 恰好平分∠EFC,过点 D 作 DG⊥AC 于点 G,若 EF=5，则DG的长为 ( ) A. C. 2 D. 6 3. 如图,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点 A₁,∠A₁BC 的平分线与∠A₁CD 的平分线交于点 A₂，得∠A₂,…,∠A₂₀₂₃BC的平分线与∠A₂₀₂₃CD 的平分线交于点 A₂₀₂₄,则. 4. 如图,在△ABC 中, 若∠AED = 35°,则∠C 的度数为 . 5. 如图,在△ABC中,∠A =120°,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC= ,若BG,CG分别是∠ABC,∠ACB 的外角平分线,则∠G= 模型7 “角平分线”模型 模型展现 作法2 自主证明： 初高教辅站 如图②,∵OP 平分∠MON, ∴∠AOP=∠BOP. 在△AOP 和△BOP中, ∴△AOP≌△BOP(SAS)(结论1), ∴ PA=PB(结论2). 作法3 自主证明： 如图③,∵OP 平分∠MON, ∴∠AOP=∠BOP, ∵AP⊥OP,∴ ∠APO=∠BPO=90°. 在△AOP 和△BOP 中, ∴ △AOP≌△BOP(ASA)(结论1), ∴ PA=PB(结论2),OA=OB(结论3). 模型解题三步法 例 1 6 【解析】∵ AD 平分∠BAC,∠B =∠DEA=90°,根据“角平分线”模型可得:BD = DE = 3, 在 Rt△CDE 中, CE = 3×4=6. 例2 CD ∠ACB BD CD 2 【解析】如解图，延长BD交AC于点E,根据“角平分线”模型得 BC=CE,BD=DE,∵AC=9,BC=5,∴CE=5,∴AE=AC-EC=9-5=4,∵ ∠A=∠ABD, 题以类解 1. B 一题多解 解法一：找模型：是否存在角平分线：BD 平分∠ABC；缺少：过角平分线上一点平行于角一边的线段.构造模型：如解图①，过点 D 作DE∥AB,交 BC 于点 E. 用模型:根据“角平分线”模型可得:BE=DE.设 BE=a,则DE=a, 即 解得 解法二：如解图②，过点 A 作 BD 的平行线交CB的延长线于点 E.∴ ∠CBD=∠E,∠ABD= ∠BAE.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD =∠CBD,∴∠BAE=∠E,∴BE=BA=3(“角平分线”模型)， 2. B 【解析】找模型：是否存在角平分线：BD平分∠ABC.是否存在过角的一边上一点垂直于角平分线的线段.线段 CE.抽离模型：如解图，用模型：延长CE，BA 交于点 F.根据“角平分线”模型可得:CE=EF,∵CE⊥BD,∴ ∠FEB = ∠CEB = 90°. ∵ ∠BAC = 90°,∴∠BAD = ∠CEB, ∵ ∠ADB = ∠EDC,∴∠ABD=∠ACF.又∵ AB =AC,∠BAD =∠CAF=90°,∴ △ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF.∵CE=4,∴BD=2CE=8. 3. B 【解析】如解图,过点 G 作GE⊥AD 于点E,过点 G 作 GF⊥BC 于点 F,∵AD∥BC,∴E,G,F 三点共线,∵ BG,AG 分别平分∠ABC,∠BAD,GH⊥AB,∴GE=GH=5,GF=GH=5(“角平分线”模型),∴EF=5+5=10,即AD 与 BC 之间的距离为10. 4. 【解析】如解图,过点 E作 EF⊥AB 于点F,∵ AE 平分∠DAC,AD⊥CD,∴ ∠DAE =∠FAE, ∠D = ∠AFE = 90°,∵ AE = AE,∴△ADE≌△AFE(AAS)(“角平分线”模型), 【解析】如解图，在AC上截取AD，使AD=AB,连接DI.∵点I是△ABC 的角平分线的交点,∴ ∠BAI = ∠DAI, ∠ABI =∠CBI,∠ACI=∠BCI.在△BAI 和△DAI中, ∴ BI=DI,∠ABI=∠ADI. ∵AB+BI=AC=AD+DC,∴ DC =BI= DI, ∴ ∠ACI=∠DIC.设∠ACI=β,则∠ACB=2β, ∠ABC= 2∠ABI = 2∠ADI = 4∠ACI = 4β. ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=α, 6.【问题解决】 证明:∵OC平分∠AOB,∴∠POD=∠POE, ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠ODP=∠OEP, 在△OPD 和△OPE中, ∴△OPD≌△OPE(AAS), ∴PD=PE; 【类比探究】 解:如解图,过点 P 作 PF⊥OA 于点 F,作 PG⊥OB于点 G, ∵ OC 是∠AOB 的平分线,PF⊥OA,PG⊥OB, ∴ PG=PF(“角平分线”模型),∠PGN =∠PFM=90°, ∵ ∠PNO+∠PNG=180°,∠PMO+∠PNO=180°, ∴∠PNG=∠PMO(等角代换),在△PNG和△PMF中, ∴△PNG≌△PMF(AAS), ∴ PN=PM=3. 学科网（北京）股份有限公司 $$