精品解析：2025年中考数学模拟卷三

2024－2025学年人教版九年级数学中考模拟卷三 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 3月，云南省盈江县发生5.8级地震，日本发生9.0级强烈地震，并引发大规模海啸．灾情发生后，中国银联迅速决定，通过中国红十字会，向地震灾区捐款150万元人民币，用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某企业月份利润变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 月份利润的增长快于月分利润的增长 B. 月份利润的极差和月分利润的极差不同 C. 月份利润的的众数是130万元 D. 月份利润的中位数为120万元 8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：__________． 12. 若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 13. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为___． 14. 方程的解昰___________． 15. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm． 16. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________． 17. 中，若，则__________． 18. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是___________ 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，求的最小值． 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 24. 习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的2013-2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图． 请结合统计图解答下列问题： （1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； （4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上，试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标． 25. 某水果种植园，为了吸引更多的顾客组织了观光采摘杏梅、冬枣的游戏活动．每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A（杏梅）、B（冬枣）、C（杏梅）、D（冬枣）四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张． （1）问一次摸到杏梅卡片的概率有多大？ （2）如果抽得的两张卡片是同种水果图片就可获得奖励，请利用画树状图（或列表）的方法分析得到奖励的概率是多少？ 26. 如图，点在直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 27. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 28. 如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与直线相交于点B、点C，直线与y轴交于点E． （1）写出直线的解析式． （2）求的面积． （3）若点M在线段上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年人教版九年级数学中考模拟卷三 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； 故选D. 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 2. 3月，云南省盈江县发生5.8级地震，日本发生9.0级强烈地震，并引发大规模海啸．灾情发生后，中国银联迅速决定，通过中国红十字会，向地震灾区捐款150万元人民币，用科学记数法表示（保留两个有效数字）为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了近似数，正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：150万元元． 故选D． 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形.故选A. 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查不等式组解集的表示方法，熟练掌握实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右、向左是解题的关键．根据数轴可知的取值为：，将再对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知的取值为：， 故只有选项B中的符合， 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D． 6. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求解，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 7. 某企业月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 月份利润的增长快于月分利润的增长 B. 月份利润的极差和月分利润的极差不同 C. 月份利润的的众数是130万元 D. 月份利润的中位数为120万元 【答案】C 【解析】 分析】从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果． 【详解】解：A．因为月份利润增长了万元，月份利润增长了万元，所以月份利润的增长慢于月份利润的增长，故不正确； B．因为月份利润的极差是，月份利润的极差是，所以月份利润的极差和月份利润的极差相同，故不正确； C．因为130出现了2次，出现的次数最多，所以月份利润的的众数是130万元，故正确； D．月份利润的的中位数为115万元，故不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了折线统计图，主要利用了方差的定义，众数的定义，中位数的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键． 8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 9. 给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意当0≤x≤4时， y＝×AD×AB＝×3×4＝6， 当4＜x＜7时， y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12. 若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 13. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为___． 【答案】4． 【解析】 【详解】试题分析：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R， ∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0， 解得，m=4． 故答案是4． 考点：1.直线与圆的位置关系2.根的判别式． 14. 方程的解昰___________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解： 去分母得： 整理得： 解得： 经检验：是原方程的根， ∴ 原方程的根为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键. 15. 用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm． 【答案】3． 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查圆锥的计算． 16. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增长率问题的列式方法进行列式，前年(1+增长率)2=今年． 【详解】解：根据题意，2007年的投入(1+增长率)2=2009年的投入， 列式． 故答案是：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法． 17. 中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶数次幂和绝对值的非负性得出sinA和cosB的值，再根据特殊角三角函数值得出角度即可． 【详解】解：∵， ∴sinA=，∠A=30°， cosB=，∠B=30°， ∴∠C=180°-30°-30°=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和偶数次幂和绝对值的非负性，掌握知识点是解题关键． 18. 如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是___________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；先根据抛物线的对称轴判断当x=2时y的正负，进一步即可判断③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知：，∴，故②正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴当x=2时y＞0，把代入，得，故③错误； ∵二次函数图象的对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故④正确． 综上，说法正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的意义，实数的混合运算．先算绝对值、负整数指数幂和零指数幂、特殊角的三角函数值，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行分式的混合运算，得到化简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可； （2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD． 【详解】（1）作图如下： （2）连接AD，OD，如图所示 由（1）知：平分，且° ∴° ∴° 在中，， ∴，即 在中， 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，求的最小值． 【答案】（1），B坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值． （1）把点代入一次函数，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标； （2）作点B作关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：把点代入一次函数， 得， 解得， ∴， 点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数的表达式, 两个函数解析式联立列方程组得， 解得， ∴点B坐标． 【小问2详解】 解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P， 此时的值最小， ∴， ∵, ∴ ∴最小值为． 23. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）4.2米；（2）14米 【解析】 【分析】（1）可得，在中由即可求AG； （2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，， ∴，，． 在中，，， ∵，，． ∴（米） 答：屋顶到横梁的距离约是4.2米． （2）过点作于点，设， 在中，，， ∵，∴， 在中，，， ∵，∴． ∵， ∴， ∵，， 解得． ∴（米） 答：房屋的高约是14米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 24. 习近平总书记于2019年8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的2013-2019年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图． 请结合统计图解答下列问题： （1）2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； （4）《兰州市“十三五”质量发展规划》中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达80%以上，试计算2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标． 【答案】(1)26;（2）254；（3）261；（4）293. 【解析】 【分析】（1）用2019年全年空气质量优良天数减去2013年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解． （4）用366乘以80%，即可解答． 【详解】解：（1）由折线图可知2019年全年空气质量优良天数为296，2013年全年空气质量优良天数为270， 296-270=26， 故2019年比2013年的全年空气质量优良天数增加了26天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313， 所以中位数是254； 故答案为：254； （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数=261天； （4）36680%=292.8(天). 所以2020年（共366天）兰州市空气质量优良天数至少需要293天才能达标. 【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键． 25. 某水果种植园，为了吸引更多的顾客组织了观光采摘杏梅、冬枣的游戏活动．每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A（杏梅）、B（冬枣）、C（杏梅）、D（冬枣）四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张． （1）问一次摸到杏梅卡片的概率有多大？ （2）如果抽得的两张卡片是同种水果图片就可获得奖励，请利用画树状图（或列表）的方法分析得到奖励的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出可获得奖励的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵共有4种等可能情况，一次摸到杏梅卡片的有2种等可能情况， ∴一次摸到杏梅卡片的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如解图： ∵由树状图知，共有12种等可能情况，抽出同种水果图片的可能情况有4种， ∴得到奖励的概率是． 26. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）见解析 （2）图中阴影部分的面积为－． 【解析】 【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD，然后根据勾股定理求出CD，则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积． 【详解】（1）证明：连接OC． ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠A＝∠D＝30°． ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠A＝30°． ∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°． ∴S扇形BOC＝＝． 在Rt△OCD中，∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝4， ∴CD＝＝． ∴SRt△OCD＝OC×CD＝×2×＝． ∴图中阴影部分的面积为：－． 27. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF=2－2 【解析】 【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等； （2）根据菱形性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，最后根据BF=BD－DF求出答案． 【详解】解析：（1）∵△ABC≌△ADE且AB=AC， ∴AE=AD，AB=AC， ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE， ∴∠CAE=∠DAB， ∴△AEC≌△ADB． （3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°， ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45° ， ∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴BD=2， 又∵四边形ADFC是菱形， ∴AD=DF=FC=AC=AB=2， ∴BF=BD－DF=2－2． 考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质 【点睛】本题主要考查了旋转性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出△ABD为直角边为2的等腰直角三角形是解题的关键． 28. 如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与直线相交于点B、点C，直线与y轴交于点E． （1）写出直线的解析式． （2）求的面积． （3）若点M在线段上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3），当点M运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求出的解析式； （2）令代入求出点A，B的坐标．把B点坐标代入求出的解析式，联立方程组求出B、C的坐标．求出，的长后可求出的面积． （3）过N点作，证明，由已知令求出点E的坐标，利用线段比求出，的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值． 【小问1详解】 解：在中，令， ∴， ，， ，， 又∵点B在上， ∴， ， 的解析式为； 【小问2详解】 解：由 得 ； ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点N作于点P， ， ， ， ∴， 由直线可得： ， ∴在中，， ，则， ∴， ， ， ， ， ， ∴当时， ∴当点M运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与应用相结合的综合题，以及三角形面积的计算方法，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$