2025年中考数学解答题复习《解答题之二次函数》

中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之二次函数 解答题： 1．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 2．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3． （1）求当x＝﹣2时，y的值． （2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向． 3．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围． 4．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（4，2）． （1）抛物线必经过的定点是 　 　，　 　． （2）若抛物线过点A，当0≤x≤3时函数的最大值为p，最小值为q，求p+q的值． （3）若抛物线与线段OA只有一个交点，求a的取值范围． 5．如图，抛物线顶点坐标为（1，4），交y轴于点C（0，3），交x轴于A、B两点连接AC，BC． （1）求此抛物线的解析式； （2）点M为抛物线在x轴下方上一点，若△MAB与△CBA面积相等，请求出点M的坐标． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（﹣2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）连接AC，M是AC中点，连接OM，则线段OM的长度是 　 　． 注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）． 7．如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C恰好落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的解析式及顶点C的坐标； （2）求线段CD的长． 8．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 9．如图，以P为顶点的抛物线y（x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点B． （1）用关于m的代数式表示k． （2）若点A在B的下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B． （1）求M点的坐标及a，b的值； （2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，当m为多少时，s． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式． （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值． 12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过点M（2，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式； （3）将二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m＞n，结合图象求x0的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC＝2S△ACP，求点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），OC＝4OA，连接BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，P为线段OC上一点，连接AC，BP，当∠BPO+∠ACO＝90°时，求点P的坐标； （3）如图2，若点M、N在抛物线上，点M的横坐标为m（0＜m＜3），点N的横坐标为m+1．过点M作y轴的平行线交线段BC于点D，过点N作y轴的平行线交线段BC于点H，连接MN．当四边形MNHD的面积最大时，求证：四边形MNHD是平行四边形． 15．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知OB＝OC． （1）求a，b的值； （2）若点P是第一象限抛物线上一点． （Ⅰ）如图2，连接BC，PB，PC，若△PBC的面积为3，求点P的坐标； （Ⅱ）如图3，DE是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线BP与直线DE交于点G，△AEF的面积为S1，△BEG的面积为S2，判断S1+S2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标． 17．抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c与直线L′：y2＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）． （1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）； （2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C． ①求△ABC的面积； ②当﹣1≤x≤5时，则y1的取值范围是 　 　． （3）抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高． （4）在抛物线L和直线L′所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　 　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C，M是直线AC上一动点（不与点A，C重合）． （1）求b，c的值． （2）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． （3）将点M向上平移个单位长度，得到点N．若抛物线与线段MN有公共点，求点M横坐标xM的取值范围． 20．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且与y轴交于点B（0，﹣3），与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求此抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点A的坐标； （2）点P是直线AB下方，直线x＝1左侧的抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，作PF⊥y轴，交直线x＝1右侧的抛物线于点F，若4PE+PF＝6，求点F的坐标． 21．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接AC，BC，RD，CD． （1）求A，B，C三点的坐标，并求直线BC的函数表达式． （2）当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值． 22．如图1，抛物线经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），直线与抛物线交于P，Q两点，与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一点，过点E作EF∥y轴交直线PQ于点F，连接BE，当BE＝DF时，求点E的坐标； （3）如图2，C为平面内一点，直线CQ，CP分别交抛物线于另一点M，N，连接MN，若MN∥PQ，求点C的横坐标． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）与点B（点B在A的右边），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：2． （1）求抛物线表达式． （2）若此时正比例函数y＝x与抛物线交于D，E两点，动点F在抛物线上，且在直线DE的上方，若以点F作⊙F，⊙F始终与直线DE相切，求⊙F的最大面积及此时点F的坐标． 24．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6的顶点坐标为（2，﹣8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式； （3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E．若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标． 26．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）与x轴交于点A、B（7，0），且点P（3，﹣8）在该抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，点M是直线AP下方抛物线上一动点，过点M作MN⊥AP于点N，求MN的最大值； （3）将原抛物线向左平移6个单位后得到新抛物线y'，K是新抛物线对称轴上一点，点Q是原抛物线与新抛物线的交点，将点Q向上平移个单位得点Q'，若，问：平面内是否存在点G，使得四边形Q′HGK是菱形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线BC，连接AC，CO＝4AO． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上直线BC上方的一动点，过点P作PD⊥x轴于D，交BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F．点N是线段DE上一动点，作NM⊥y轴于点M，取AC的中点G，连接GM，BN．当△PEF的周长取得最大值时，求点E的坐标和GM+MN+BN的最小值； （3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线BC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠BKQ＝∠BCA时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 28．已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为m． ①如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转90°时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为n（n＞0），求n﹣m的值． 29．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BCP的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其对称轴为x＝﹣1，点A的坐标为（2，0），点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点P在y轴上，且点P在C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标； （3）如图2，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求当取最大值时，点A，D，N围成的三角形的面积． 31．如图1，平面直角坐标系中，有抛物线G1：y＝a（x+1）（x﹣3）．设抛物线G1与x轴相交于点A，B，与y轴正半轴相交于点C，且OC＝3． （1）求a的值． （2）如图2，将抛物线G1平移得到抛物线G2，使G2过点C和（﹣1，6），求抛物线G2的解析式． （3）设（2）中G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G．过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点，如图3． ①过G1的最高点H作直线m∥l交G2于点M，N（点M在点N左侧），求MN﹣NH的值； ②P是图象G上一个动点，当点P与直线l的距离小于4时，直接写出点P横坐标m的取值范围． 32．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2x+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），过点P分别作x轴和对称轴的垂线，垂足为D，G． ①如图，若点P在第三象限，求PDPG的最大值； ②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE′的周长． 33．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．直线y＝﹣x+3与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接OD，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE，过点E作EF∥x轴交直线BC于F．求线段EF的最大值； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx+3在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象．若直线y＝5x+n与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 34．如图1，抛物线过点A（4，0），点B（1，﹣6）． （1）求抛物线M1的表达式； （2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值； （3）如图2，点E（0，﹣4），连接AE，将抛物线M1的图象向上平移m（m＞1）个单位得到抛物线M2，当时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，直接写出m的取值范围． 35．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标． 37．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（，0），tan∠ACO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 38．已知抛物线y＝ax2+bx关于直线x＝2对称，且经过点A（3，3）． （1）求a，b的值； （2）若两点B（t，y1），C（t+1，y2）都在抛物线上，分别过点B，C作x轴的垂线，分别与直线OA交于点D，E． ①如图1，当0＜t＜2时，连接AC，求△OBD与△ACE的面积之和； ②如图2，当t＞3时，试说明四边形BCED的面积不可能等于． 39．如图（1），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P． （1）①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段BC有交点，点B，C到直线l的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值，并说明理由； （2）如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作PH⊥AB于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作QM⊥AP于M，△PQM与△APH相似，求点Q的坐标． （3）直线l与AC的夹角为α（α为锐角），若tanα，直接写出点P的坐标． 40．如图1，已知抛物线y1＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣3），其对称轴为直线l1：x＝1，顶点为D，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点E，对称轴为直线l2，y2与x轴在对称轴左侧的交点为F． （1）试求抛物线y1和抛物线y2的解析式； （2）在图1中，点P的坐标为（5，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接PM、EN，求PM+MN+EN的最小值； （3）如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段CE上运动（包括端点），△QDF的面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y1或抛物线y2交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为　 　． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 66页） 解析答案 解答题 1．已知函数 y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当 m为何值时： （1）y是 x的一次函数？ （2）y是 x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【解答】解：（1）由 y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是 x的一次函数，得 �2 − 2 = 1 � + 2 ≠ 0 ， 解得 m=± 3， 当 m=± 3时，y是 x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 �2 − 2 = 2 � + 2 ≠ 0 ， 解得 m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当 m＝2时，y是 x的二次函数， 当 y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得 x=± 2， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（± 2，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不 能为零． 2．已知二次函数 y＝ax2，当 x＝3时，y＝3． （1）求当 x＝﹣2时，y的值． （2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向． 【解答】解：（1）把 x＝3，y＝3代入 y＝ax2得， a•32＝3，解得 a= 13， 所以这个二次函数的表达式为 y= 13x 2； 当 x＝﹣2时，y= 13 ×（﹣2） 2= 43； 第 2页（共 66页） （2）∵y= 13x 2，a= 13＞0， ∴图象开口向上； 对称轴是直线 x＝0，顶点坐标是（0，0）． 【点评】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，考查了求顶点坐标，对称轴， 开口方向，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 3．已知抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在 x轴上，求 a的值； （2）设点 P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若 y1＜y2，求 m的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1． 若抛物线的顶点在 x轴上， 则 a2﹣a﹣2＝0， ∴a＝2或﹣1． （2）∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， 则 Q（4，y2）关于直线 x＝1对称点的坐标为（﹣2，y2）， ∴当 a＞0时，若 y1＜y2，m的取值范围为：﹣2＜m＜4； 当 a＜0时，若 y1＜y2，m的取值范围为：m＜﹣2或 m＞4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题 的关键． 4．已知抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣2，点 O为平面直角坐标系原点，点 A坐标为（4，2）． （1）抛物线必经过的定点是 （0，﹣2） ， （2，﹣2） ． （2）若抛物线过点 A，当 0≤x≤3时函数的最大值为 p，最小值为 q，求 p+q的值． （3）若抛物线与线段 OA只有一个交点，求 a的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣2＝ax（x﹣2）﹣2， ∴当 x＝0时，y＝﹣2，当 x＝2时，y＝﹣2， ∴抛物线必经过定点（0，﹣2）和（2，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2），（2，﹣2）； （2）将 A（4，2）代入 y＝ax2﹣2ax﹣2，得 16a﹣8a﹣2＝2，解得� = 12， 即：抛物线的解析式为：� = 12 � 2 − � − 2 = 12 (� − 1) 2 − 52， 第 3页（共 66页） 当 0≤x≤1时，y随 x增大而减小，当 1＜x≤3时，y随 x增大而增大， 当 x＝3时，� =− 12，当 x＝0时，y＝﹣2， 则当 0≤x≤3时函数的最大值为− 12，最小值为− 5 2，即：� =− 1 2，� =− 5 2， ∴� + � =− 12− 5 2 =− 3； （3）∵点 A坐标为（4，2）， ∴OA的解析式为� = 12 �， y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣2﹣a，则顶点为（1，﹣2﹣a）， 若 x＝0，则 y＝﹣2，若 x＝4，则 y＝8a﹣2， 当 a＞0时，原点在（0，﹣2）上方，顶点（1，﹣2﹣a）在线段 OA下方， 要使抛物线与线段 OA只有一个交点，需使得（4，8a﹣2）在 A（4，2）上方， ∴8a﹣2＞2，解得�＞ 12； 当 a＜0时，原点在（0，﹣2）上方，（4，8a﹣2）在 A（4，2）下方， 要使抛物线与线段 OA只有一个交点，只需要使得��2 − 2�� − 2 = 12 �有两个相等的解， 即：��2 − (2� + 12 )� − 2 = 0有两个相等的解，且该解 x1＝x2在 0到 4之间， ∴� = [ − (2� + 12 )] 2 − 4� × ( − 2) = 0， 解得：� = −5±2 64 ， 又∵�1 + �2 = 2�+12 � ＞0，则 2� + 1 2＜0， ∴�＜ − 14， ∴� = −5−2 64 ； 综上，抛物线与线段 OA只有一个交点时，� ≥ 12或� = −5−2 6 4 ． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二 次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的 根据． 5．如图，抛物线顶点坐标为（1，4），交 y轴于点 C（0，3），交 x轴于 A、B两点连接 AC，BC． （1）求此抛物线的解析式； 第 4页（共 66页） （2）点 M为抛物线在 x轴下方上一点，若△MAB与△CBA面积相等，请求出点 M的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，4）， ∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+4， 把 C（0，3）代入得 a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）令 y＝0， 则﹣（x﹣1）2+4＝0， 解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴�△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 [3 − ( − 1)] × 3 = 6， ∴�△��� = 1 2�� ⋅ |��| = 6， 解得 yM＝±3， ∵点 M在 x轴下方， ∴yM＝﹣3， ∴﹣（x﹣1）2+4＝﹣3， 解得�1 = 1 + 7，�2 = 1 − 7， ∴满足条件的点 M的坐标为(1 + 7， − 3)，(1 − 7， − 3)． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在于明确题意，利用 二次函数性质和数形结合思想解答问题． 6．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与 x轴交于点 A（1，0），B（﹣2，0），与 y轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D的坐标； （2）连接 AC，M是 AC中点，连接 OM，则线段 OM的长度是 17 2 ． 注：抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线 x=− �2�，顶点坐标是（− � 2�， 4��−�2 4� ）． 第 5页（共 66页） 【解答】解：（1）把 A（1，0），B（﹣2，0）代入 y＝ax2+bx﹣4， 得 � + � − 4 = 0 4� − 2� − 4 = 0，解得 � = 2 � = 2． ∴抛物线解析式为 y＝2x2+2x﹣4，顶点�( − 12， − 9 2 )； （2）∵抛物线解析式为 y＝2x2+2x﹣4， ∴当 x＝0时，y＝﹣4， ∴C的坐标为（0，﹣4）， ∴M的坐标为（ 1 2 ，﹣2）， ∴OM= ( 12 ) 2 + 22 = 172 ． 故答案为： 17 2 ． 【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，顶点坐标公式，中点坐标公式，勾股定理等，关键是熟练 应用这些公式． 7．如图，已知抛物线 y=− 12x 2+bx+c经过点 A（﹣1，0）和点 B（0， 5 2 ），顶点为 C，点 D在对称轴上且位 于点 C下方，将线段 DC绕点 D按顺时针方向旋转 90°，点 C恰好落在抛物线上的点 P处． （1）求这条抛物线的解析式及顶点 C的坐标； （2）求线段 CD的长． 【解答】解：（1）把 A（﹣1，0）和 B（0， 5 2 ）代入 y=− 12 � 2 + �� + �， 得 − 12− � + � = 0 � = 52 ， 解得： � = 2 � = 52 ， 第 6页（共 66页） ∴抛物线的解析式：y=− 12 � 2 + 2� + 52， 配成顶点式为：y=− 12 (� − 2) 2 + 92， ∴顶点 C的坐标为：（2， 9 2 ）， （2）由（1）知：抛物线的对称轴为直线 x＝2， 设 CD＝t，则 D（2， 9 2 − �）， ∵线段 DC绕点 D按顺时针方向旋转 90°，点 C恰好落在抛物线上的点 P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t， ∴P（2+t， 9 2 − �）， 将 P（2+t， 9 2 − �）代入 y=− 12 � 2 + 2� + 52得 − 12 (2 + �) 2 + 2(2 + �) + 52 = 9 2− �， 整理得：t2﹣2t＝0， 解得：t1＝2，t2＝0（舍去） ∴线段 CD的长为 2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式，掌握旋转的性质． 8．已知关于 x的一元二次方程 x2+x﹣m＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围； （2）二次函数 y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程 x2+x﹣m＝0的解． 【解答】解：（1）∵一元二次方程 x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即 1+4m＞0， ∴m＞ − 14， ∴m的取值范围为 m＞ − 14； 第 7页（共 66页） （2）二次函数 y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线 x=− 12， ∴抛物线与 x轴两个交点关于直线 x=− 12对称， 由图可知抛物线与 x轴一个交点为（1，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴一元二次方程 x2+x﹣m＝0的解为 x1＝1，x2＝﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性． 9．如图，以 P为顶点的抛物线 y= 12（x﹣m） 2+k交 y轴于点 A，经过点 P的直线 y＝﹣2x+3交 y轴于点 B． （1）用关于 m的代数式表示 k． （2）若点 A在 B的下方，且 AB＝2，求该抛物线的函数表达式． 【解答】解：（1）∵抛物线 y= 12（x﹣m） 2+k， ∴P（m，k）， ∵经过点 P的直线 y＝﹣2x+3交 y轴于点 B， ∴k＝﹣2m+3． （2）∵y＝﹣2x+3交 y轴于点 B， ∴y＝﹣2×0+3， ∴B（0，3）， ∵AB＝2， ∴A（0，1）， 把（0，1）代入 y= 12（x﹣m） 2+k得， 1= 12m 2+k， ∵k＝﹣2m+3， ∴1= 12m 2﹣2m+3， ∴m＝2， 第 8页（共 66页） 代入 k＝﹣2m+3得，k＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为：y= 12（x﹣2） 2﹣1． 【点评】此题考查的是待定系数法求函数解析式，能够正确分析图象是解决此题关键． 10．如图，抛物线 y＝ax2+bx（a≠0）交 x轴正半轴于点 A，直线 y＝2x经过抛物线的顶点 M．已知该抛物 线的对称轴为直线 x＝2，交 x轴于点 B． （1）求 M点的坐标及 a，b的值； （2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP．设点 P的横坐标为 m，△ OBP的面积为 S，当 m为多少时，s= 74． 【解答】解：（1）将 x＝2代入 y＝2x得 y＝4 ∴M（2，4）， 根据题意得 − � 2� = 2 4� + 2� = 4 ，解得 � =− 1 � = 4 ； （2）抛物线解析式为 y＝﹣x2+4x， 设 P（m，﹣m2+4m），B（2，0） ∵ 1 2 ×2×（﹣m2+4m）= 74， m2﹣4m=− 74， 解得 m1= 1 2，m2= 7 2， ∵P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧， ∴m的值为 7 2 ． 【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 12x+2与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C，抛物线 y=− 1 2x 2+bx+c 经过 A，C两点，与 x轴的另一个交点为点 B． 第 9页（共 66页） （1）求抛物线的函数表达式． （2）点 D为直线 AC上方抛物线上一动点，连接 BC，CD，设直线 BD交线段 AC于点 E，△CDE的 面积为 S1，△BCE的面积为 S2，求 �1 �2 的最大值． 【解答】解：（1）∵直线 y= 12x+2与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 C， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线 y=− 12x 2+bx+c经过 A，C两点， ∴ − 1 2 × 16 − 4� + � = 0 � = 2 ， 解得 � =− 3 2 � = 2 ． ∴抛物线的解析式为：y=− 12x 2− 32x+2． （2）令 y＝0， ∴− 12x 2− 32x+2＝0， 解得 x＝﹣4或 x＝1， ∴B（1，0）． 如图，过点 D作 DM⊥x轴交 AC于点 M，过点 B作 BN⊥x轴交 AC于点 N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴ �� �� = �� �� ， ∴ �1 �2 = �� �� = �� �� ． 第 10页（共 66页） 设点 D的横坐标为 a， ∴D（a，− 12a 2− 32a+2）， ∴M（a， 1 2 a+2）， ∵B（1，0）， ∴N（1， 5 2 ）， ∴ �1 �2 = �� �� = −12� 2−2� 5 2 =− 1 5 （a+2）2+ 45， ∴当 a＝﹣2时， �1 �2 的最大值为 4 5 ． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质等相关内 容，关键是将三角形的面积比转化为线段比． 12．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+ax+2a+1的图象经过点 M（2，﹣3）． （1）求二次函数的表达式； （2）若一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数 y＝x2+ax+2a+1的图象经过 x轴上同一点，探究实 数 k，b满足的关系式； （3）将二次函数 y＝x2+ax+2a+1的图象向右平移 2个单位，若点 P（x0，m）和 Q（2，n）在平移后的 图象上，且 m＞n，结合图象求 x0的取值范围． 【解答】解：（1）把 M（2，﹣3）代入 y＝x2+ax+2a+1，可以得到 4+2a+2a+1＝﹣3， a＝﹣2 因此，二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）y＝x2﹣2x﹣3与 x轴的交点是：（3，0），（﹣1，0）． 当 y＝kx+b（k≠0）经过（3，0）时，3k+b＝0； 第 11页（共 66页） 当 y＝kx+b（k≠0）经过（﹣1，0）时，k＝b． （3）将二次函数 y＝x2﹣2x﹣3的图象向右平移 2个单位得到 y＝x2﹣6x+5，对称轴是直线 x＝3， 因此 Q（2，n）在图象上的对称点是（4，n）， 若点 P（x0，m）使得 m＞n，结合图象可以得出 x0＜2或 x0＞4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键 是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3交 y轴于点 A，且过点 B（﹣1，2），C（3，0）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移 m（m＞0）个单位，当抛物线经过点 B时，求 m的值； （3）若 P是抛物线上位于第一象限内的一点，且 S△ABC＝2S△ACP，求点 P的坐标． 【解答】解：（1）把 B（﹣1，2），C（3，0）代入 y＝ax2+bx+3， 则 9� + 3� + 3 = 0 � − � + 3 = 2 ， 解得 � =− 12 � = 12 ， ∴抛物线的函数解析式为 y=− 12x 2+ 12x+3； （2）∵y=− 12x 2+ 12x+3， ∴对称轴为直线 x=− �2� = 1 2， 令 B点关于对称轴的对称点为 B′， ∴B′（2，2）， ∴BB′＝3， ∵抛物线向左平移 m（m＞0）个单位经过点 B， ∴m＝3； （3）设直线 AC的解析式为 y＝kx+n， 第 12页（共 66页） 把 A（0，3），C（3，0）代入 y＝kx+n得： � = 30 = 3� + �， 解得 � =− 1 � = 3 ， ∴直线 AC的解析式为 y＝﹣x+3， 过点 B作 BD⊥y轴交 AC于点 D，如图： 则点 D的纵坐标为 2， 把 y＝2代入 y＝﹣x+3得，﹣x+3＝2， 解得 x＝1， ∴D（1，2）， ∴BD＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD= 1 2 ×1•BD+ 1 2 ×2•BD＝1+2＝3， 过点 P作 PE⊥x轴交 AC于点 E， 设点 P（x，− 12x 2+ 12x+3），则 E（x，﹣x+3）， ∴PE=− 12x 2+ 12x+3﹣（﹣x+3）=− 1 2x 2+ 32x， ∵S△ABC＝2S△ACP＝3， ∴S△ACP= 3 2， ∵S△ACP= 1 2 ×3•PE= 3 2． ∴PE＝1， 令− 12x 2+ 32x＝1， 解得 x＝1或 2， ∴当 x＝1时，y=− 12 + 1 2 +3＝3； 当 x＝2时，y=− 12 ×4+ 1 2 ×2+3＝2， ∴P（1，3）或（2，2）． 第 13页（共 66页） 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、解析式的求法等知识，关键是掌握 二次函数的性质和平移的性质． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y 轴负半轴交于点 C，点 A的坐标为（﹣1，0），OC＝4OA，连接 BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 1，P为线段 OC上一点，连接 AC，BP，当∠BPO+∠ACO＝90°时，求点 P的坐标； （3）如图 2，若点 M、N在抛物线上，点 M的横坐标为 m（0＜m＜3），点 N的横坐标为 m+1．过点 M 作 y轴的平行线交线段 BC于点 D，过点 N作 y轴的平行线交线段 BC于点 H，连接MN．当四边形MNHD 的面积最大时，求证：四边形 MNHD是平行四边形． 【解答】（1）解：∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵OC＝4OA， ∴OC＝4， ∴C（0，﹣4）． 将 A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入 y＝x2+bx+c， 得 1 − �� + � = 0 � =− 4 ， 解得 � =− 3 � =− 4， ∴该抛物线的解析式为 y＝x2﹣3x﹣4； （2）解：当 y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得 x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝OC＝4， ∵∠AOC＝90°， ∴∠ACO+∠CAO＝90°， 第 14页（共 66页） ∵∠BPO+∠ACO＝90°， ∴∠BPO＝∠CAO， 在△BPO和△CAO中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BPO≌△CAO（AAS）． ∴PO＝AO＝1， ∴点 P的坐标为 P（0．﹣1）； （3）证明：设直线 BC的解析式为 y＝kx+b1， 将 B（4，0），C（0，﹣4）代入， 得 4� + �1 = 0 �1 =− 4 ， 解得 � = 1 �1 =− 4 ， ∴直线 BC的解析式为 y＝x﹣4， ∵点 M的横坐标为 m， ∴M（m，m2﹣3m﹣4），D（m，m﹣4）， ∵点 N的横坐标为 m+1， ∴N（m+1，（m+1）2﹣3（m+1）﹣4），H（m+1，（m+1）﹣4）， ∴DM＝﹣m2+4m，HN＝﹣（m+1）2+4（m+1）＝﹣m2+2m+3， S 四边形MNHD= 1 2 (�� + ��) × 1 = 1 2 × ( − � 2 + 4� −�2 + 2� + 3) = 12 × ( − 2� 2 + 6� + 3) =−�2 + 3� + 32 =− (� − 32 ) 2 + 154 ． ∵﹣1＜0， ∴当� = 32时，四边形 MNHD的面积最大， 此时�� =−�2 + 4� =− ( 32 ) 2 + 4 × 32 = 15 4 ， �� =−�2 + 2� + 3 =− ( 32 ) 2 + 2 × 32 + 3 = 15 4 ， ∵DM与 HN都与 y轴平行， 第 15页（共 66页） ∴DM∥HN， ∴四边形 MNHD是平行四边形． 【点评】本题考查了二次函数综合，考查了待定系数法求函数，全等三角形的判定和性质，平行四边形 的判定，熟练表示出所需的点的坐标是解题的关键． 15．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且 a＜0）与 x轴交于点 A（﹣1，0）和点 B，与 y轴交 于点 C，已知 OB＝OC． （1）求 a，b的值； （2）若点 P是第一象限抛物线上一点． （Ⅰ）如图 2，连接 BC，PB，PC，若△PBC的面积为 3，求点 P的坐标； （Ⅱ）如图 3，DE是抛物线的对称轴，点 D是顶点，点 E是对称轴与 x轴的交点，直线 BP与直线 DE 交于点 G，△AEF的面积为 S1，△BEG的面积为 S2，判断 S1+S2是否为定值？若是，请求出该定值； 若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）当 x＝0时，y＝3， ∴OB＝OC＝3， ∴点 B（3，0），点 C（0，3）， ∴可设抛物线对应的函数解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点 C（0，3）代入，得 3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∴a＝﹣1，b＝2； （2）设 P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3）， （ⅰ）过点 P作 PQ∥y轴交 BC于点 Q， 由点 B（3，0），C（0，3）， 可知：直线 BC的解析式为 y＝﹣x+3， 则点 Q（t，﹣t+3）， 第 16页（共 66页） ∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴�△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × ( − � 2 + 3�) × 3 = 3， 整理得：t2﹣3t+2＝0， 解得：t1＝1，t2＝2， 当 t1＝1时，﹣t2+2t+3＝4； 当 t2＝2时，﹣t2+2t+3＝3， ∴点 P的坐标为（1，4）或（2，3）； （ⅱ）S1+S2为定值，理由如下： 设直线 AP的解析式为 y＝k1x+b1（k1≠0），代入 A（﹣1，0），P（t，﹣t2+2t+3）， 得： ��1 + �1 =− �2 + 2� + 3， − �1 + �1 = 0， 解得： �1 =− � + 3， �1 =− � + 3， ∴直线 AP的解析式为 y＝（﹣t+3）x﹣t+3， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1， 把 x＝1代入 y＝（﹣t+3）x﹣t+3， 得：y＝﹣2t+6， ∴点 F的坐标为（1，﹣2t+6）， ∴EF＝﹣2t+6， 设直线 BG的解析式为 y＝k2x+b2（k2≠0）， 代入 B（3，0），P（t，﹣t2+2t+3）， 得： ��2 + �2 =− �2 + 2� + 3， 3�2 + �2 = 0， 解得： �2 =− � − 1， �2 = 3� + 3， ∴直线 BG的解析式为 y＝（﹣t﹣1）x+3t+3， 把 x＝1代入 y＝（﹣t﹣1）x+3t+3， 得：y＝2t+2， ∴点 G的坐标为（1，2t+2）， 第 17页（共 66页） ∴EG＝2t+2， ∴�1 + �2 = 1 2�� ⋅ �� + 1 2�� ⋅ �� = �� + �� = ( − 2� + 6) + (2� + 2) = 8， 即 S1+S2为定值，该定值为 8． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的 面积等知识，解题关键是掌握学会用转化思想求三边均不与坐标轴平行的三角形的面积的方法． 16．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+3与 x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与 y轴交于点 C，连接 BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P为线段 BC上的一动点（不与 B、C重合），PM∥y轴，且 PM交抛物线于点 M，交 x轴于 点 N，当△BCM的面积最大时，求点 P的坐标． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+3与 x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴ � − � + 3 = 0 9� + 3� + 3 = 0， 解得 � =− 1 � = 2 ， ∴抛物线的解析式 y＝﹣x2+2x+3； （2）令 x＝0，则 y＝3， ∴C（0，3）， 设点 M的坐标为（a，﹣a2+2a+3）， 则有 OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝﹣a2+2a+3，BN＝3﹣a， 根据题意，S△BCM＝S 梯形OCMN+S△MNB﹣S△COB = 12 (�� + ��) ⋅ �� + 1 2�� ⋅ �� − 1 2�� ⋅ �� 第 18页（共 66页） = 12 [3 + ( − � 2 + 2� + 3)]� + 12 ( − � 2 + 2� + 3)(3 − �) − 12 × 3 × 3 =− 32� 2 + 92� =− 32 (� − 3 2 ) 2 + 278 ， ∵− 32＜0， ∴当� = 32时，S△BCM有最大值， 此时，�� = � = 32，�� = 3 − � = 3 2， ∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°， ∴∠PBN＝45°． ∴�� = �� = �� = 32， ∴点 P的坐标为( 32， 3 2 )． 【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数 的性质、勾股定理、方程思想等知识． 17．抛物线 L：y1＝x2﹣2bx+c与直线 L′：y2＝kx+2交于 A、B两点，且 A（2，0）． （1）求 k和 c的值（用含 b的代数式表示 c）； （2）当 b＝0时，抛物线 L与 x轴的另一个交点为 C． ①求△ABC的面积； ②当﹣1≤x≤5时，则 y1的取值范围是 ﹣4≤y1≤21 ． （3）抛物线 L：y1＝x2﹣2bx+c的顶点 M（b，n），求出 n与 b的函数关系式；当 b为何值时，点 M达 到最高． （4）在抛物线 L和直线 L′所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当 b ＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 90 ． 【解答】解：（1）将点 A（2，0）代入直线 L′：y＝kx+2， 第 19页（共 66页） ∴2k+2＝0， ∴k＝﹣1， 将点 A（2，0）代入抛物线 L：y＝x2﹣2bx+c， ∴4﹣4b+c＝0， ∴c＝4b﹣4， 综上，k＝﹣1，c＝4b﹣4． （2）①当 b＝0时，c＝﹣4， ∴抛物线 L的解析式为：�1 = �2 − 4， 令 y1＝0，则 x＝﹣2或 x＝2， ∴C（﹣2，0）， 令 x2﹣4＝﹣x+2，解得：x＝﹣3或 x＝2， ∴B（﹣3，5）， ∴�△��� = 1 2 ⋅ �� ⋅ �� = 1 2 × 4 × 5 = 10． ②当﹣1≤x≤5时， 当 x＝0时，y1＝﹣4， 当 x＝5时，y1＝21， ∴当﹣1≤x≤5时，y的取值范围为：﹣4≤y1≤21． （3）∵抛物线 L：y＝x2﹣2bx+4b﹣4＝（x﹣b）2﹣b2+4b﹣4， ∴抛物线的顶点为 M（b，n）， ∴n＝﹣b2+4b﹣4＝﹣（b﹣2）2， ∵﹣1＜0， ∴当 b＝2时，n的最大值为 0，此时点 M达到最高． （4）当 b＝﹣20时，抛物线 L：y＝x2+40x﹣84，直线 L′：y＝﹣x+2， 由 x2+40x﹣84＝﹣x+2得，x1＝2，x2＝﹣43， ∴抛物线 L和直线 L′的交点是（2，0）和（﹣43，45）， 当﹣43≤x≤2时，在 L和 L′上的边界上，当横坐标 x是整数时，纵坐标 y也是整数， ∴“美点”共有：46×2﹣2＝90个． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应 用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第 20页（共 66页） 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 y=− 49（x﹣1） 2+4的图象与 x轴交于 A、B两 点（点 A在点 B的左侧），顶点为 C． （1）求 A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过 B、C、M（t，4）三点，其中 t≠1，该函数图象与 x轴交于另一点 D， 点 D在线段 OB上（与点 O、B不重合）． ①若 D点的坐标为（3，0），则 t＝ 6 ； ②求 t的取值范围； ③求 OD•DB的最大值． 【解答】解：（1）∵二次函数 y=− 49（x﹣1） 2+4的图象的顶点为 C， ∴C（1，4）； 令 y=− 49（x﹣1） 2+4＝0，解得 x＝﹣2或 x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； （2）①由题知，该函数过点 B（4，0），C（1，4），D（3，0）， ∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3）， ∴函数的对称轴为直线 x= 72， ∵C（1，4），M（t，4）， ∴点 C，M关于对称轴对称， ∴ 1+� 2 = 7 2 ， ∴t＝6， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 将 M（t，4），C（1，4）两点代入，得 �� 2 + �� + � = 4 � + � + � = 4 ， 第 21页（共 66页） ∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0， ∵t≠1， ∴− �2� = �+1 2 ， ∴二次函数图象的对称轴与 x轴的交点坐标为（ �+1 2 ，0）， ∵B，D两点关于对称轴对称，点 B（4，0）， ∴D（t﹣3，0）， ∵点 D在线段 OB上，且与端点不重合， ∴ � − 3＞0 � − 3＜4 ，即 3＜t＜7， ∵t＝4时，过点 B，C，M三点的二次函数不存在， ∴3＜t＜7且 t≠4； ③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t， ∴OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）． ∴OD•DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4， ∵3＜t＜7且 t≠4， ∴t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为 4． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关 知识，熟练掌握相关知识是解题基础． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线� =− 12 � 2 + �� + �与 x轴交于点 A（﹣4，0），B（2，0）， 与 y轴交于点 C，M是直线 AC上一动点（不与点 A，C重合）． （1）求 b，c的值． （2）当﹣3＜x＜1时，直接写出 y的取值范围． （3）将点 M向上平移 3 2 个单位长度，得到点 N．若抛物线与线段 MN有公共点，求点 M横坐标 xM的 取值范围． 【解答】解：（1）分别把点 A（﹣4，0），B（2，0）的坐标代入抛物线� =− 12 � 2 + �� + �， 第 22页（共 66页） 得： 0 =− 12 × ( − 4) 2 − 4� + � 0 =− 12 × 2 2 + 2� + � ， 解得： � =− 1 � = 4 ， ∴b＝﹣1，c＝4； （2）由（1）可知抛物线解析式为：� =− 12 � 2 − � + 4， ∵y=− 12 � 2 − � + 4 =− 12 (� + 1) + 9 2， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1， 9 2 ）， ∴当 x＝﹣1时，y有最大值 9 2 ， 当 x＝﹣3时，y= 52；当 x＝1时，y= 5 2， ∴当﹣3＜x＜1时，y的取值范围为 5 2 ＜� ≤ 9 2 ； （3）把 x＝0代入� =− 12 � 2 − � + 4，得：y＝4， ∴点 C坐标为（0，4）， 设直线 AC的解析式为 y＝kx+b， 分别把点 A（﹣4，0），C（0，4）代入 y＝kx+b， 得： 0 =− 4� + � 4 = � ， 解得： � = 1 � = 4， ∴直线 AC的解析式为 y＝x+4， 设点 M的横坐标为 m，则 M的纵坐标为 m+4， 过点 M作 x轴的垂线，交抛物线于点 P， 则点 P的坐标为（m，− 12� 2 −�+ 4）， ∴PM=− 12� 2 −�+ 4 −m﹣4=− 12� 2 − 2�， 当点 P与点 N重合时，− 12� 2 − 2� = 32， 解得：m1＝﹣3，m2＝﹣1， ∴抛物线与线段 MN有公共点时，点 M横坐标 xM的取值范围为﹣4＜x≤﹣3或﹣1≤x＜0． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及二次函数的 第 23页（共 66页） 最值，熟练掌握二次函数的有关知识是解决问题的关键． 20．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴为直线 x＝1，且与 y轴交于点 B（0， ﹣3），与 x轴交于点 C（﹣1，0）． （1）求此抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线与 x轴的另一个交点 A的坐标； （2）点 P是直线 AB下方，直线 x＝1左侧的抛物线上一点，过点 P作 PE⊥x轴，交 AB于点 E，作 PF ⊥y轴，交直线 x＝1右侧的抛物线于点 F，若 4PE+PF＝6，求点 F的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴为直线 x＝1， ∴− �2� = 1， 把 B（0，﹣3），C（﹣1，0）代入 y＝ax2+bx+c得： � =− 3 � − � + � = 0 − �2� = 1 ， 解得 � = 1 � =− 2 � =− 3 ， ∴抛物线的函数表达式为 y＝x2﹣2x﹣3； 令 y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（3，0）； （2）设直线 AB解析式为 y＝kx+t， 把 A（3，0），B（0，﹣3）代入 y＝kx+t得： � =− 3 3� + � = 0， 解得 � = 1 � =− 3， ∴直线 AB解析式为 y＝x﹣3， 设 P（m，m2﹣2m﹣3），则 E（m，m﹣3），F（2﹣m，m2﹣2m﹣3）， ∴PE＝﹣m2+3m，PF＝2（1﹣m）， 第 24页（共 66页） ∵点 P是直线 AB下方，直线 x＝1左侧的抛物线上一点， ∴0＜m＜1， ∵4PE+PF＝6， ∴4（﹣m2+3m）+2（1﹣m）＝6， 整理得 2m2﹣5m+2＝0， 解得�1 = 1 2，�2 = 2（舍）， ∴当� = 12时，2 − � = 3 2，� 2 − 2� − 3 =− 154， 此时点 F坐标为( 32， − 15 4 )． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与 x轴的交点，二次函数与几何图形的综合 等问题，关键是利用二次函数的性质求解． 21．综合与探究 如图，抛物线� =− 34 � 2 + 32 � + 6 与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C，D是 第一象限抛物线上的一个动点，若点 D的横坐标为 m，连接 AC，BC，RD，CD． （1）求 A，B，C三点的坐标，并求直线 BC的函数表达式． （2）当四边形 ACDB的面积有最大值时，求出 m的值． 【解答】解：（1）对于� =− 34 � 2 + 32 � + 6，当 x＝0时，y＝0，令 y＝0，则 x＝﹣2或 4， 即 A（﹣2，0），B（4，0），C（0，6）； 设直线 BC的解析式为 y＝kx+6， 将点 B的坐标代入上式得：0＝4k+6，则 k=− 32， 即直线 BC的解析式为 y=− 32x+6； （2）如图，过 D作 x轴的垂线交 BC于 P， 第 25页（共 66页） 设 D（m，− 34m 2+ 32m+6），则点 P（m，− 3 2m+6）， ∴四边形 ACDB的面积＝S△ABC+S△BCD= 1 2 ×AB•CO+ 1 2 ×PD×OB= 1 2 ×[− 3 4m 2+ 32m+6﹣（− 3 2m+6）]× 4=− 32m 2+6m+28， ∵− 32＜0，故函数有最大值，此时，m＝2， 即当 m＝2时，当四边形 ACDB的面积最大． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合 的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 22．如图 1，抛物线� = ��2 + 53 � + �经过点（3，1），与 y轴交于点 B（0，5），直线� = 2 3 � − 4与抛物线 交于 P，Q两点，与 y轴交于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一点，过点 E作 EF∥y轴交直线 PQ于点 F，连接 BE，当 BE＝DF时，求点 E的坐 标； （3）如图 2，C为平面内一点，直线 CQ，CP分别交抛物线于另一点 M，N，连接 MN，若 MN∥PQ， 求点 C的横坐标． 【解答】解：（1）将点（3，1）和点 B（0，5）代入抛物线� = ��2 + 53 � + �， ∴ 9� + 5 + � = 1 � = 5 ， 解得 � =− 1 � = 5 ， 第 26页（共 66页） ∴抛物线的解析式为� =− �2 + 53 � + 5； （2）设 E（t，﹣t2+ 53t+5）， ∵EF∥y轴， ∴F（t， 2 3 t﹣4）， ∴BE= �2 + (�2 − 53 �) 2，DF= �2 + ( 23 �) 2， ∵BE＝DF， ∴ �2 + (�2 − 53 �) 2 = �2 + ( 23 �) 2， 解得 t＝0（舍）或 t＝1或 t= 73， ∴E点坐标为（1， 17 3 ）或（ 7 3 ， 31 9 ）； （3）∵MN∥PQ， 设直线 MN的解析式为 y= 23x+m， 当 2 3 x﹣4＝﹣x2+ 53x+5时，xP+xQ＝1， 当 2 3 x+m＝﹣x2+ 53x+5时，xM+xN＝1， ∴线段 PQ与线段 MN的中点的连线与 y轴平行， ∵MN∥PQ， ∴△CMN∽△CQP， ∴两个三角形的中线经过点 C， ∴C点的横坐标为 1 2 ． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相 似的性质，两点间距离公式是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与 x轴交于 A（﹣2，0）与点 B（点 B在 A的 右边），与 y轴交于点 C，且 OA：OB＝1：2． （1）求抛物线表达式． （2）若此时正比例函数 y＝x与抛物线交于 D，E两点，动点 F在抛物线上，且在直线 DE的上方，若 以点 F作⊙F，⊙F始终与直线 DE相切，求⊙F的最大面积及此时点 F的坐标． 第 27页（共 66页） 【解答】解：（1）A（﹣2，0），OA：OB＝1：2， 则点 B（4，0）， 则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+2x+8； （2）过 F点作 FN⊥DE，过点 F作 y轴的平行线交 y＝x于点 H， ∵⊙F始终与直线 DE相切，即点 N为切点，FN为圆的半径， 由 y＝x知，函数和 x轴的夹角为 45°，则∠FHN＝∠CON＝45°， 则 FN= 22 FH， 故当 FH取得最大值时，FN为最大， 设点 F（x，﹣x2+2x+8），则点 H（x，x）， 则 FH＝﹣x2+x+8＝﹣（x− 12）2+ 33 4 ≤ 33 4 ， 则 FH的最大值为 33 4 ，此时，点 F（ 1 2 ， 35 4 ）， 则 FN的最大值为 33 2 8 ， 则圆的面积最大值为：π×（ 33 2 8 ）= 1089�32 ． 【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，确定 FN= 22 FH是解题的 关键． 24．如图，抛物线 y=− 12x 2+mx+n与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x轴于点 D， 已知 A（﹣1，0），C（0，2）． 第 28页（共 66页） （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PCD是以 CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点 E是线段 BC上的一个动点，过点 E作 x轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E运动到什么位 置时，四边形 CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E点的坐标． 【解答】解：（1）把 A（﹣1，0），C（0，2）代入 y=− 12x 2+mx+n得 − 1 2−�+ � = 0 � = 2 ，解得 � = 3 2 � = 2 ， ∴抛物线解析式为 y=− 12x 2+ 32x+2； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线 x=− 3 2 2×(−12) = 32， 则 D（ 3 2 ，0）， ∴CD= ��2 + ��2 = ( 32 ) 2 + 22 = 52， 如图 1，当 CP＝CD时，则 P1（ 3 2 ，4）； 当 DP＝DC时，则 P2（ 3 2 ， 5 2 ），P3（ 3 2 ，− 52）， 综上所述，满足条件的 P点坐标为（ 3 2 ，4）或（ 3 2 ， 5 2 ）或（ 3 2 ，− 52）； （3）当 y＝0时，− 12x 2+ 32x+2＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝4，则 B（4，0）， 设直线 BC的解析式为 y＝kx+b， 把 B（4，0），C（0，2）代入得 4� + � = 0� = 2 ，解得 � =− 12 � = 2 ， ∴直线 BC的解析式为 y=− 12x+2， 设 E（x，− 12x+2）（0≤x≤4），则 F（x，− 1 2x 2+ 32x+2）， 第 29页（共 66页） ∴FE=− 12x 2+ 32x+2﹣（− 1 2x+2）=− 1 2x 2+2x， ∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF= 1 2 ×4×EF＝2（− 1 2x 2+2x）＝﹣x2+4x， 而 S△BCD= 1 2 ×2×（4− 3 2）= 5 2， ∴S 四边形 CDBF＝S△BCF+S△BCD ＝﹣x2+4x+ 52（0≤x≤4）， ＝﹣（x﹣2）2+ 132 当 x＝2时，S 四边形CDBF有最大值，最大值为 13 2 ，此时 E点坐标为（2，1）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的 坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形性质；灵活应用三角 形的面积公式；学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 25．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣6的顶点坐标为（2，﹣8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图 1，点 E为线段 BC上一点，过点 E作 EM∥y轴，交 x轴于点 M，当 AE平分∠CEM时，求 直线 AE的解析式； （3）如图 2，点 F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线 AF分别与 y轴、直线 BC交于点 D， E．若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为 S1，S2，S3，且满足 S1+S3＝2S2，求点 F的坐标． 第 30页（共 66页） 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2﹣8＝ax2﹣4ax+4a﹣8＝ax2+bx﹣6， 则 4a﹣8＝﹣6，则 a= 12， 则抛物线的表达式为：y= 12x 2﹣2x﹣6； （2）∵ME∥y轴，AE平分∠CEM， 故∠DEC＝∠AEM＝∠CDE，即 DC＝CE， 由抛物线的表达式知，点 B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣6）， 由点 B、C的坐标得，直线 BC的表达式为：y＝x﹣6，设点 E（m，m﹣6）， 由点 A、E的坐标得，直线 AE的表达式为：y= �−6�+2（x+2），则点 D（0， 2�−12 �+2 ）， 由点 C、D、E的坐标得：CD= 8��+2，CE= 2m＝CD= 8� �+2， 解得：m＝4 2 −2， 则直线 AE的表达式为：y＝（1− 2）x+2﹣2 2； （3）∵S1+S3＝2S2，则 AD+EF＝2DE， 则 xD﹣xA+xF﹣xE＝2（xE﹣xD），即 3xE﹣xF＝2， 设点 F（m， 1 2 m2﹣2m﹣6）， 由点 A、F的坐标得，直线 AF的表达式为：y= 12（m﹣6）（x+2）， 联立上式和直线 BC的表达式得：x﹣6= 12（m﹣6）（x+2）， 解得：xE= 2� 8−�， 则 3× 2�8−�−m＝2， 解得：m＝4， 则点 F（4，﹣6）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合