精品解析：湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

颐华高级中学高二年级第一次大练习 数学学科试题卷 （本试卷共6页，19题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故选：C 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模的公式即可求解. 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，，则，解得. 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 则. 故选：B 5. 已知，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 必要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念直接判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立， 当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A 6. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 7. 小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（ ） A. 132种 B. 114种 C. 96种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】法一：按3:1:1分组、2:2:1分组报名，应用排列组合、间接法求小明和小红不报同一类选修课的情况数；法二：按3:1:1分组、2:2:1分组报名分别求出小明和小红不报同一类选修课的情况数，即可结果. 【详解】法一：总的情况有种， 若小明和小红报同一类选修课有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 法二：若按照3:1:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 若按照2:2:1报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有种， 故小明和小红不报同一类选修课的情况有种. 故选：B 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全题选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若，，则； B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间中线面的位置关系逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，若，，则平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则相交或平行，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，m的取值范围为 D. 当只有1个零点时，m的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论的取值范围，通过求导分析函数的单调区间，可得选项A错误，选项B正确；把函数零点问题转化为的图象与直线的交点个数问题，作出函数图象，数形结合可得选项C正确，选项D错误. 【详解】由得或；由得. 当或时，，则， ∴当或时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减. 当时，则， ∴当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，在处取得极小值，故有2个极小值点，故A错误. ∵，∴曲线在点处的切线斜率为9，故B正确. 由得，函数的零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题. 根据函数单调性分析，作出函数的图象，如图所示， 由图1可得，当函数的图象与直线有3个交点时，m的取值范围为，故C正确. 由图2可得，当函数的图象与直线有1个交点时，m的取值范围为，故D错误． 故选：BC. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A. 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D. 【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 取等号时，所以最大距离为，正确； 对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确； 对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若是公比为的等比数列，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为是公比为等比数列，，可得， 所以，. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线的倾斜角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在1处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线的倾斜角. 【详解】设曲线在点处的切线的倾斜角为，则该切线的斜率， 由求导得，则有，即，而， 所以， 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为， 如图：由抛物线定义可知：， 圆心，半径为， 当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值， 所以最小值为：． 故答案为：3． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. （1）求的值. （2）若是锐角三角形，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得出的值； （2）解法一：利用同角三角函数的基本关系求出、，由结合两角和的正弦公式可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【小问1详解】 因为的内角、、的对边分别为、、，，，， 由正弦定理的得. 【小问2详解】 解法一：因为为锐角三角形，由得， 同理可得， 所以，， 所以，. 解法二：因为为锐角三角形，由可得， 由余弦定理得，即，整理可得， 因为，解得，故. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 【小问2详解】 由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，，点是的中点，，且面. （1）证明：面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，利用线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接，因为是等腰直角三角形斜边的中线，所以，， 因为面，面，则， 因为，、平面，所以，平面. 【小问2详解】 因为面，， 以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，. 则、、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以，. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii），，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上 【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华高级中学高二年级第一次大练习 数学学科试题卷 （本试卷共6页，19题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 已知向量，，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列前项和为，若，则 （ ） A. 30 B. 55 C. 80 D. 110 5. 已知，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 必要条件 D. 既不充分也不必要 6. 已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明、小红等5人报名学校的三类选修课(球类、武术类、田径类)，规定每个人只能报其中的一类选修课，且每类选修课至少一人报名，则小明和小红不报同一类选修课的情况有（ ） A. 132种 B. 114种 C. 96种 D. 84种 8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全题选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题是真命题的是（ ） A. 若，，则； B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，m的取值范围为 D. 当只有1个零点时，m取值范围为 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A. 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若是公比为的等比数列，且，则_________. 13. 曲线在点处切线的倾斜角为_______． 14. 已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. （1）求的值. （2）若是锐角三角形，求的面积. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，，点是的中点，，且面. （1）证明：面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 已知A，B分别是双曲线左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $