3.2～3.3 单项式的乘法、多项式的乘法-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

3.2—3.3 单项式的乘法、多项式的乘法 一、单项式的乘法 1 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。 计算过程中需要注意： 积的系数是所有系数的积，应注意符号。 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，要防止遗漏。 单项式必须乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项。 计算过程中不要忽略各项的符号。 二、多项式的乘法 多项式的乘法是在单项式的乘法的基础上进行教学的。只要掌握了单项式的乘法，那么单项式与多项式相乘，以及多项式与多项式相乘就不难。其中，多项式乘多项式时，一定要避免“漏乘”。 多项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式或单项式乘多项式，结果是一个多项式，其项数与两个因式的项数之积相同。 在计算过程中，同样需要注意符号，以及运算顺序。最后有同类项的，必须合并同类项从而得到最简结果。 巩固课内例1:计算——单项式与单项式相乘 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例2:计算——单项式与多项式相乘 1．计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：（1） ；（2） ． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例3:计算——多项式与多项式相乘 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例4:化简求值 1．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果为 ．． 3．先化简，再求值：，其中． 巩固课内例5:计算——结果为多次项 1．计算（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： 巩固课内例6:代数式的值与字母的取值无关 1．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为 ． 3．已知的算术平方根是2，的立方根是． (1)求的平方根； (2)若代数式中不含项和项，且，求的值． 巩固课内例7:解方程——多项式乘多项式 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程： 类型一、单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： （1） ； （2） ． 类型二、单项式乘多项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 类型三、多项式乘多项式 1．的运算的结果是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算：． 类型四、根据图形列出等式 1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（　　）    A． B． C． D． 2．我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算它的面积时，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到数学等式．请写出图2所表示的数学等式： ． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 类型一、单项式和单项式的实际应用 1．在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 2．如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 3．小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 类型二、单项式和多项式的实际应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．已知一个长方形的周长为100，一边的长为x，则这个长方形的面积为 ． 3．如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 类型三、多项式和多项式的实际应用 1．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ． 3．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 类型四、等式恒成立 1．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 2．若，则的值是 ． 3．计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 类型五、不含某项、与某项无关 1．如果计算的结果不含项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 3．若的积中不含项与项，求： (1)的值； (2)代数式的值． 类型一、杨辉三角 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 2．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中所有项的系数和为 ； 3．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；. (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二,再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 类型二、规律问题 1．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（　　　） A．20181 B．20191 C．20201 D．20211 2．观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 3．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 类型三、新定义问题 1．定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 2．由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么 . 3．观察下列两个等式：，给出定义如下： 若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”， 如：，所以数对是“4相关数对”． (1)数对中是“4相关数对”的是______； (2)一名同学，在数对和都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 类型四、图形问题 1．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 2．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 3．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 1．计算结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 4．计算 ． 5．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 6．已知是彼此互不相等的负数，且，，则与的大小关系是 ． 7．计算： 8．已知，求的值． 9．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 10．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：_______． (2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2—3.3 单项式的乘法、多项式的乘法 一、单项式的乘法 1 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。 计算过程中需要注意： 积的系数是所有系数的积，应注意符号。 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，要防止遗漏。 单项式必须乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项。 计算过程中不要忽略各项的符号。 二、多项式的乘法 多项式的乘法是在单项式的乘法的基础上进行教学的。只要掌握了单项式的乘法，那么单项式与多项式相乘，以及多项式与多项式相乘就不难。其中，多项式乘多项式时，一定要避免“漏乘”。 多项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式或单项式乘多项式，结果是一个多项式，其项数与两个因式的项数之积相同。 在计算过程中，同样需要注意符号，以及运算顺序。最后有同类项的，必须合并同类项从而得到最简结果。 巩固课内例1:计算——单项式与单项式相乘 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，直接根据积的乘方运算和单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，根据积的乘方，单项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． （2）先运算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （3）先运算单项式乘单项式，再合并同类项，即可作答． 本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 巩固课内例2:计算——单项式与多项式相乘 1．计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到答案． 【详解】解：； ； 故答案为：； 3．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （2）根据单项式乘多项式，幂的乘方的法则进行计算，再合并同类项，即可作答． （3）根据单项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 巩固课内例3:计算——多项式与多项式相乘 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握法则． 根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项等知识． （1）按照多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． （2）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． （3）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 巩固课内例4:化简求值 1．对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 2．化简的结果为 ．． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，多项式乘以多项式，整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】本题考查整式运算中的化简求值，熟练掌握运算法则且正确求解是解答的关键．先根据单项式乘以多项式法则去括号，然后合并同类项化简，最后把代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 巩固课内例5:计算——结果为多次项 1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式与多项式相乘等于单项式与多项式的每一个项相乘是解题的关键． 根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式知识点，解题的关键是运用乘法分配律将单项式与多项式的每一项相乘． 根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而得出结果． 【详解】 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 【详解】解： ， 巩固课内例6:代数式的值与字母的取值无关 1．若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 2．已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 3．已知的算术平方根是2，的立方根是． (1)求的平方根； (2)若代数式中不含项和项，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根与平方根、立方根、多项式乘以多项式等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． （1）先根据算术平方根和立方根可求出的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先将，代入计算多项式乘以多项式，再根据不含项和项可得含项和项的系数等于0，据此求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． （2）解：由（1）已得：，， ∴ ， ∵代数式中不含项和项， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固课内例7:解方程——多项式乘多项式 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先计算多项式乘以多项式，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 故选：B． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，解一元一次方程，先根据整式乘法运算法则化简方程，然后再解一元一次方程即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即． 故答案为：． 3．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先根据多项式乘以多项式化简方程的两边，再解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 解得： 类型一、单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，根据单项式乘法法则即可计算，掌握单项式乘法法则是解题的关键． （1）先去括号，再计算； （2）先提取公因式，再计算． 【详解】解：（1）； （2）原式； ； 故答案为：；． 类型二、单项式乘多项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键．先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，熟练掌握单项式乘以多项式法则：单项式分别乘以多项式的每一项，再将乘积相加，是解题的关键． 【详解】解：原式． 类型三、多项式乘多项式 1．的运算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键. 根据多项式乘多项式的法则计算即可. 【详解】 故选：D. 2． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．根据多项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解∶ 故答答为∶． 3．计算：． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 类型四、根据图形列出等式 1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图的长方形，可以得到的因式分解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据大长方形的面积等于每一个图形的面积和列式可求解． 【详解】解：由图可知：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握面积法是解题的关键． 2．我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算它的面积时，可以得到一个数学等式．例如：图1可以得到数学等式．请写出图2所表示的数学等式： ． 【答案】 【解析】略 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．例如图1，利用面积的不同表示方法可以用来解释代数恒等式． (1)根据图2，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它能解释恒等式． (3)小明制作了图3所示的正方形和长方形硬纸片，其中A类纸片3张，B类纸片若干张，C类纸片4张，小明用这些硬纸片刚好拼成了一个长方形（纸片不重叠），请问B类纸片有多少张？并写出利用所拼的图形可解释的代数恒等式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①B类纸片有7张，；②B类纸片有13张，；③B类纸片有8张， 【分析】此题考查了多项式乘法与几何图形． （1）根据图形，可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的图形； （3）根据多项式乘法即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，大长方形的面积可表示或， 即 （2）解：如图，即为所求， （3）由题意可得，①B类纸片有7张，； ②B类纸片有13张，； ③B类纸片有8张，． 类型一、单项式和单项式的实际应用 1．在计算整式的值过程中，的取值比原来扩大，的取值比原来缩小，则该整式的值（    ） A．比原来扩大 B．比原来缩小 C．比原来扩大 D．比原来缩小 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴该整式的值比原来缩小． 故选：． 2．如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式及整式加减运算的应用，用代数式表示出大长方形和两个小长方形的面积，则阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积． 【详解】解：观察图形可知：大长方形的长，宽， 上面小长方形的长，宽， 下面小长方形的长，宽， 因此大长方形的面积为：， 上面小长方形的面积为， 下面小长方形的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 3．小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 【答案】(1)小明至少需要买平方米的木制地板 (2)他至少需要准备11400元钱 【分析】本题考查的是代数式的知识，根据长方形的面积公式正确的写出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式用字母列式即可得到答案； （2）由（1）可得需要木地板的代数式，将代入之后再乘以190计算即可． 【详解】（1）解：由图中可知，卧室的宽为，长为，客厅的长为，宽为， 所以小李至少需要买木地板：平方米， 答：小明至少需要买平方米的木制地板． （2）解：由（1）可知小李需要买平方米的地板， 当时，平方米， 元， 答：他至少需要准备11400元钱． 类型二、单项式和多项式的实际应用 1．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，由题意，可知，拼成的长方形的长为，宽为，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知：拼成的长方形的面积是； 故选D． 2．已知一个长方形的周长为100，一边的长为x，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是先根据周长公式求出长方形另一边的长，再根据面积公式计算面积． 先利用长方形周长公式求出另一边的长度表达式，再根据长方形面积公式得到面积关于的表达式． 【详解】已知长方形周长公式为长 + 宽）（表示周长）， 该长方形周长，一边长为，设另一边长为， 则可列出， 移项化简得到， 根据长方形面积公式长宽（表示面积）， 长，宽代入面积公式， 可得长方形面积． 3．如图，正方形的边长为a，点E在边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、、． (1)用含a，b的代数式表示的面积； (2)的面积为，的面积为，当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式，单项式乘多项式与几何图形的面积，化简求值． （1）利用即可求解； （2）根据三角形面积公式分别表示出，，代入中，化简后，由，求出，即，再求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为a，正方形的边长为b（）， ∴ ； （2）解：根据题意：，， 由（1）知， ∴ ； ∵， ∴，即， ∴， ∴． 类型三、多项式和多项式的实际应用 1．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到花园的长为，宽为，根据公式计算即可． 本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得花园的长为，宽为， 故面积为． 故选：D． 2．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 【详解】解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：8， 故答案为：8． 3．图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【分析】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 类型四、等式恒成立 1．已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 2．若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 类型五、不含某项、与某项无关 1．如果计算的结果不含项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，根据结果不含项，得出，即可求解． 【详解】解： ； ∵计算的结果不含项， ∴， 解得：， 故选：D． 2．要使的展开式中不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 3．若的积中不含项与项，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出的值． （1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项，可知项与项的系数均等于0，可得关于的方程，解方程即可； （2）由（1）中的值得，代入原式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x项与项， ∴，解得． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 类型一、杨辉三角 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，将变形为，利用“杨辉三角”展开，得出的余数，即可求解． 【详解】解：， 可有， 的余数为1，即的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选D． 2．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中所有项的系数和为 ； 【答案】/512 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数和的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得，共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； ……； 共项，所有项系数的和为， ∴共10项，所有项系数的和为； 故答案为：512． 3．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如；. (1)请你写出和的展开式： (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二,再过7天还是星期二，则再过天是星期 ． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3)能，++++………++++－，过程见解析 (4)能，的值为－1，过程见解析 【分析】本题考查本题考查了规律探究，已知字母的值求代数式的值，幂的乘方运算； （1）根据题干和图形规律求解即可； （2），再根据题干规律得到除以余数为，即可求解； （3）分别把，代入计算即可； （4）把代入，再结合（3）中式子计算即可． 【详解】（1）解：由已知可得， 由规律可得的系数分别为，，，，，， ∴； （2）解∵，而， ∴除以余数为， ∴今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：∵， ∴当时，，即， 当时，， ∴， ∴； （4）解：当时，， ∴ ， ∴， ∴． 类型二、规律问题 1．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（　　　） A．20181 B．20191 C．20201 D．20211 【答案】B 【分析】根据题目提供的算式找到规律：第n个数为：9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1，进而即可求解． 【详解】解：由上述等式可得，当其为第n个数时， 即9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1， ∴9×2019+2020＝10×2019+1＝20191． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律性问题的一般知识，能够从中找出其内在之间的联系，进而熟练求解． 2．观察下列等式：，，，，利用你发现的规律回答：若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，观察题目给出的一系列等式得到一般性规律，化简已知等式左边求出的值，代入原式计算即可得到结果，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 3．【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 类型三、新定义问题 1．定义：表示，表示，则的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，读懂题意，列式，即可作答 ． 【详解】解：依题意，表示，表示， 则， 故选：B ． 2．由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么 . 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据已知条件，分别比较等式两边、、的系数以及常数项，求得、、、的值即可． 【详解】解：∵， ∴比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的系数得，则， 比较等式两边的常数项得，则， ∴， 故答案为：． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下： 若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”， 如：，所以数对是“4相关数对”． (1)数对中是“4相关数对”的是______； (2)一名同学，在数对和都是“4相关数对”的条件下，得到下面两条结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，两条结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)结论一正确，结论二错误；理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，倒数定义，相反数定义； （1）根据“4相关数对”的定义进行判断即可； （2）根据数对和都是“4相关数对”，得出，，求出，得出，即可得出结论． 解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴中是“4相关数对”； ∵，， 又∵， ∴中不是“4相关数对”； 故答案为：． （2）解：结论一正确，结论二错误；理由如下： ∵数对和都是“4相关数对”， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴和互为相反数， ∴结论一正确，结论二错误． 类型四、图形问题 1．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，，由图2所表示的数学等式，则的值为（    ） A．1 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解． 【详解】解：由图2可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 2．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为 ．（用a、b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故答案为：． 3．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 1．计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是合并同类项、单项式乘多项式、含乘方的有理数混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据合并同类项、单项式乘多项式、含乘方的有理数混合运算对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，和不是同类项，无法合并，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，符合题意，选项正确； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 3．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键． 根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可． 【详解】解：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数． 例如系数为第1行的1； 系数为第2行的1、1； 系数为第3行的1、2、1等等． 每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）； 根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）； 同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）． ∴在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6． 故选：D． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 直接利用单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．某地计划扩建一块边长为米的正方形林地，将一边增加了7米，另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，理解题意，正确列出算式并化简是解题关键．根据题意，可知扩建后增加的面积为，化简即可获得答案． 【详解】解：根据题意，原林地为边长为米的正方形，现将一边增加了7米，另一边增加了4米，则扩建后增加的面积为平方米． 故答案为：． 6．已知是彼此互不相等的负数，且，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与整式的减法，运用整体思想并正确计算是解题的关键； 利用与0大小的比较来比较M、N的大小． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式四则混合运算，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键：先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 8．已知，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，以及同底数幂的乘法法则．已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 9．一个长方体的包装箱，长为米，宽为米，高为米． (1)该包装箱的体积为 　　立方米． (2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？ 【答案】(1) (2)共需喷上平方米的油漆 【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式． （1）根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵长方体的长为米，宽为米，高为米， ∴该长方体的体积为立方米， 故答案为：； （2）解：长方体的表面积为： 平方米， 答：共需喷上平方米的油漆． 10．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：． (1)由图2可以得到：_______． (2)利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘法与几何图形的面积： （1）根据面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积，即可得出等式； （2）利用（1）中结论变形求值即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积为：； 故答案为：． （2）由（1）可知：， ∵，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$