切线与公切线问题课件-2025届高三数学二轮复习

切线与公切线问题 高考定位 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大. 【 真题体验 】 √ 4 2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. ln 2 5 3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________. (－∞，－4)∪(0，＋∞) 6 4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________， ___________. 7 精准强化练 热点一　曲线的切线 热点二　曲线的公切线 热点突破 热点一　曲线的切线 导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上，又在曲线上. 9 例1 √ 由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)， 可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)， 把原点(0，0)代入切线方程， 可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)， 即(t－1)et－2＝1，解得t＝2， 所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 10 √ 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程. 规律方法 (1)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝ A.－1 B.－2 C.－3 D.0 训练1 √ 14 2x－y－1＝0 15 热点二　曲线的公切线 导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养. 16 例2 √ 考向1　切点相同的公切线问题 17 √ (2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝ A.－3 B.1 C.2 D.5 设曲线f(x)＝x2－2m和g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)， 18 例3 √ 因为函数f(x)＝ln x与g(x)的图象关于直线y＝x对称， 所以f(x)＝ln x与g(x)互为反函数， 所以g(x)＝ex，则g′(x)＝ex. 考向2　切点不同的公切线问题 19 由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1， 设直线l与函数g(x)＝ex的图象的切点坐标为(x1，ex1)，与函数h(x)＝ex＋1－1的图象的切点坐标为(x2，ex2＋1－1)， 则直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2， √ (2)(2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝ A.－30 B.－25 C.26 D.28 21 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 规律方法 训练2 (1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为 A.3 B.2 C.1 D.0 训练2 √ 24 (2)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________________________. 26 【精准强化练】 √ 1.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为 A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0 C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0 函数f(x)＝2x，求导得f′(x)＝2xln 2，则f′(0)＝ln 2，而f(0)＝1， 所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)， 即x·ln 2－y＋1＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、单选题 √ 2.(2024·茂名模拟)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行， 故曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2， 因为f′(x)＝ex＋a， 所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 设切点为(x0，ln x0)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 5.已知直线l为曲线y＝x＋1＋ln x在A(1，2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于 A.0 B.－4 C.4 D.0或4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 则两切点重合，即f(a)＝g(a)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9.已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是 A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 √ √ 对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0， 所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确； 对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解， 所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 二、多选题 对于C，因为点(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1， 所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1， 所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于D，因为点(0，0)不在曲线上，所以设切点(x0，ex0)， 则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 因为点(0，0)在切线上， 所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1， 所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10.(2024·温州适考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是 A.f(x)＝sin x＋cos x B.f(x)＝sin(cos x) C.f(x)＝x＋sin x D.f(x)＝x2＋sin x √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 显然当m∈(－4e－2，0)时，g(x)＝－m有三个解， 即有三条切线，n＝3； 当m＝0时，g(x)＝－m有一个解， 即有且仅有一条切线，n＝1； 当m>0时，g(x)＝－m无解，即不存在切线，不符合题意； 当m＝－4e－2时，g(x)＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2； 当m<－4e－2时，g(x)＝－m有一个解，即有一条切线，n＝1； 所以A，B，D正确，C错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12.过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线方程为________________ ___________. 2x－y＋2＝0(答 案不唯一) 三、填空题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14.若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是_____________. (－∞，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 依题意知y＝a与y＝2x－ex2－1的图象有两个不同的交点. 令φ(x)＝2x－ex2－1， ∵φ′(x)＝2－2xex2－1，令φ′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ∴φ(x)max＝φ(1)＝1， 又x→－∞时，φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→－∞， 故a<1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)， 即3x－y＋1＝0， 切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. B. C. D. f′(x)＝， 令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝， 设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2， 得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0， 所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 由题意，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1， 所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1. 依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝， 化简得x＋ax0－a＝0. 因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根， 所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex. 设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点， 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)， 则由y′＝，得切线斜率为， 又切线的斜率为，所以＝， 解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e， 所以切线斜率为，切线方程为y＝x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x. 综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x. y＝x y＝－x (1)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为 A.y＝x B.y＝2x C.y＝x D.y＝ex 可设切点坐标为(t>0)， 易知切线的斜率存在， 由f′(x)＝－3x2＋3ax－6，可得切线的斜率k＝－3t2＋3at－6， 从而切线方程为y＝－t3＋t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(x－t)， (2)(2024·兰州调研)已知过点(0，－1)且与曲线f(x)＝－x3＋x2－6x(x>0)相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是 A.(2，＋∞) B.(0，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，0) 由曲线f(x)＝－x3＋x2－6x(x>0)， 由题意可知方程有两个不相等的正实数解. 令h(t)＝4t3－3at2＋2， 则函数h(t)在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令h′(t)＝12t2－6at＝0，可得t＝0或t＝. 又h(0)＝2，结合h(t)的图象(如图)特征可知， 要满足题意，需使a>0且h＝－a3＋2<0， 从而可得a>2.所以实数a的取值范围是(2，＋∞).故选A. 又切线过点(0，－1)，所以－1＝－t3＋t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(0－t)， 整理得4t3－3at2＋2＝0， 解得a＝－e. 所以切点为(1，－1)， 代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3. 由题意可得y′＝ln x＋1－ae－x， 根据导数的几何意义可知，在点x＝1处的切线斜率为1－＝2， 所以切线斜率k＝f′(0)＝2，又f(0)＝－1， 即切线方程为y－(－1)＝2(x－0)， 即2x－y－1＝0. (2)(2024·泸州模拟)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为______________. 由题意可知f′(x)＝＝， (1)(2024·济南质检)已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝ A.1 B. C.－ D.－1 因为(ln x)′＝，′＝a，曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点 (1，0)处有相同的切线，所以2a＝1，a＝.故选B. 解得x0＝m＝1. 则即 (1)已知函数f(x)＝ln x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，直线l与g(x)，h(x)＝ex＋1－1的图象均相切，则l的倾斜角为 A. B. C. D. 故k＝＝＝1， 所以直线l的倾斜角为，故选B. 则直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x2－3ln x的切点为(1，1)， 代入x＋y＋m＝0，得m＝－2； 由以上可知公切线方程为x＋y－2＝0， 由f(x)＝x3＋nx－52，得f′(x)＝3x2＋n. 由g(x)＝x2－3ln x，得g′(x)＝2x－， 令2x－＝－1，解得x＝1(x>0). 解得 所以m－n＝26，故选C. 设直线x＋y－2＝0与曲线f(x)＝x3＋nx－52切于点(t，t3＋nt－52)， 则 解得m＝－＋2， 代入化简得8n3－8n2＋1＝0， 构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)， 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4， g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝， 故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解， 故公切线有3条. 所以h(x)在(－∞，0)，上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)>0，极小值h<0， 则f′(x)＝2x，g′(x)＝， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即解得a＝2e，x0＝， 故切点为(，e)，切线斜率k＝f′(x0)＝2， 所以切线方程为y－e＝2(x－)，即2x－y－e＝0. 2x－y－e＝0 设曲线g(x)＝aln x和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则由题意可知f′(x)＝，∴f′(x0)＝＝k， ∴ 3.(2024·遂宁模拟)若直线y＝kx与曲线y＝ln x相切，则k＝ A. B. C. D. 设点P(x0，y0)， 求导得f′(x)＝ ＝－＝－， 4.(2024·银川调研)若点P是函数f(x)＝图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 函数f(x)＝中，sin x＋cos x≠0，即sin 2x>－1， 因此函数f(x)的图象在点P处的切线l斜率f′(x0)＝－≤－， 显然直线l的倾斜角为钝角，所以直线l的倾斜角的取值范围是. 由－1<sin 2x≤1，得0<1＋sin 2x≤2， 即≥， 所以曲线y＝x＋1＋ln x在A(1，2)处的切线方程为y－2＝2x－2，即y＝2x. 由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 由得ax2＋ax＋1＝0， 当a＝0时，1＝0，不成立. 又a≠0，两线相切有一切点，所以Δ＝a2－4a＝0， 解得a＝4或a＝0(舍去). 因为y＝x＋1＋ln x，所以y′＝1＋，所以y′|x＝1＝2， 设切点为(x0，y0)，因为y′＝2ln x＋2， 所以所求切线的斜率k＝2ln x0＋2＝＝， 所以y0＝2x0ln x0＋2x0＋ln x0＋1. 因为点(x0，y0)是切点，所以y0＝2x0ln x0＋3， 所以2x0ln x0＋2x0＋ln x0＋1＝2x0ln x0＋3， 即2x0＋ln x0－2＝0. 6.过点且与曲线y＝2xln x＋3相切的切线方程是 A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.2x＋4y＋1＝0 D.2x－4y＋1＝0 由题意可得点不在曲线y＝2xln x＋3上， 则所求切线的斜率k＝2， 故所求切线方程为y＝2＝2x＋1， 即2x－y＋1＝0. 设f(x)＝2x＋ln x－2(x>0)，显然f(x)在(0，＋∞ )上单调递增，且f(1)＝0， 所以2x0＋ln x0－2＝0有唯一解x0＝1， 则k＝1＋＝＝， 化简得(a－b)x－2x0＋a＝0，① 则Δ＝4－4a(a－b). ∵过点(a，b)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线， 7.(2024·杭州质检)若过点(a，b)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则 A.b>a>0 B.a>b>a－ C.0<a－<b<a D.a－<b<0<a 设切点为(x0，y0)，则x0>0，由题知y′＝1＋(x>0)，设切线的斜率为k， 其中a>0，b与a－的符号不能确定，故选B. ∴方程①有两个不同的正解，∴ ∴a>b>a－. 因为f(x)＝x2＋2ax－2b，g(x)＝3a2·ln x， 所以f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， 因为直线l与f(x)，g(x)都相切， 所以x1＋2a＝＝3a，解得x1＝x2＝a， 8.若存在斜率为3a(a>0)的直线l与曲线f(x)＝x2＋2ax－2b，g(x)＝3a2·ln x都相切，则实数b的取值范围为 A. B. C. D. 设直线l与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当0<a<e时，h′(a)>0，h(a)单调递增； 当a>e时，h′(a)<0，h(a)单调递减， 则h(a)max＝h＝e－3e·ln e＝e， 因为当a→＋∞时，h(a)→－∞，所以2b≤e，即b≤e， 所以实数b的取值范围为. a2＋2a2－2b＝3a2·ln a，2b＝a2－3a2·ln a. 设h(a)＝a2－3a2·ln a(a>0)，则h′(a)＝2a－6aln a＝2a(1－3ln a)， 对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝sin，则f′(x)＝cos， 当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值， 直线y＝是函数图象的切线，且过点，k∈Z，故A正确； 对于B，f(x)＝sin(cos x)，则f′(x)＝－sin xcos(cos x)， 过点，k∈Z的切线方程是y－ ＝x－，k∈Z，即y＝x＋1， 因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，故C正确； 对于D，f(x)＝x2＋sin x，则f′(x)＝2x＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋cos x， 则g′(x)＝2－sin x>0在R上恒成立，所以g(x)即f′(x)是R上的增函数，因此函数f(x)图象上不存在两点，使它们的切线斜率相等，故D错误. 对于C，f(x)＝x＋sin x，则f′(x)＝1＋cos x， 当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝1，f(x)＝2kπ＋＋1，k∈Z， 设切点为(x0，x0ex0)，f′(x)＝(x＋1)ex， 则＝(x0＋1)ex0，所以－m＝xex0. 令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝(x2＋2x)ex， 易得g(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减. 11.(2024·昭通诊断)若过y轴上一点P(0，m)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数f(x)＝xex的图象相切，则 A.n可以取到3 B.m＋n<3 C.当n＝1时，m的取值范围是 D.当n＝2时，m存在且唯一 极大值为g(－2)＝4e－2，极小值为g(0)＝0， 当x→－∞时，g(x)→0，作出g(x)的图象如图所示， 得方程y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)， 代入点(－1，0)，得2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0， 解得x0＝－1或x0＝， 当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0； 当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0. y＝x3－x，y′＝3x2－1， 设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线斜率为3x－1， 设C1，C2上的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则有2x1＝＝＝，解得 故l：y＝4x－4与坐标轴的交点坐标分别为(1，0)，(0，－4)，围成的三角形 面积为×1×4＝2. 13.已知直线l与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________. 由已知得C1，C2的导函数分别为y′＝2x，y′＝， 则有 由ln x1－1＝－x得x1＝e1－x， 代入＋a＝2x2得a＝2x2－ex－1， 设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则过A，B的切线分别为y＝x＋ln x1－1，y＝2x2x－x， $$