7.3复数的三角表示导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3* 复数的三角表示 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，复数可以用的形式来表示，复数与复平面内的点一一对应，与平面向量也是一一对应的. 思考 你能用向量的模和以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线）为终边的角 来表示复数吗？ 一 复数的三角形式 1．定义：一般地，任何一个复数都可以表示成①____________________________的形式.其中，是复数的模； 是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的②____.③____________________________叫做复数的三角表示式，简称三角形式. 2.辐角的主值：规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作,即 . 角度1 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式. （1） ； （2） . 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）判断辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 角度2 复数的三角形式化成代数形式 例2 把下列复数的三角形式化成代数形式. （1） ； （2） . 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式，代数形式为，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即,. ［跟踪训练1］． （1） 下列复数中是三角形式的是（ ） A. B. C. D. （2） 复数表示成代数形式为____________. 二 复数的三角形式的乘、除法运算 1．乘法运算法则 设,，则①__________________________________________________. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的②__，积的辐角等于各复数的辐角的③__. 2．除法运算法则 设，,且,则④____________________________________________________. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的⑤__，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的⑥__. 例3 计算下列各式，并把结果化为代数形式： （1） ; （2） . 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. ［跟踪训练2］． （1） 若 ，则（ ） A. B. C. D. （2） 计算____________.（用代数形式表示） 三 复数三角形式乘、除法运算的几何意义 例4 （对接教材例4）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. （1） 求实数的取值范围； （2） 当时，求复数的三角形式； （3） 若在复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点按顺时针方向旋转 得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）. 两个复数,相乘时，如图，先分别画出与,对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，即,当,相除时,. ［跟踪训练3］． （1） （ ） A. B. C. D. （2） 已知,将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点对应的复数为__________________. 课堂巩固 自测 1．（教材P89习题T 1改编）复数为虚数单位的三角形式为（ ） A. B. C. D. 2．（教材P89练习T1改编） （ ） A. B. C. D. 3．若,,则复数__________.（用代数形式表示） 4．把复数与对应的向量,分别绕原点按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知,求复数的代数形式和它的辐角的主值. 1.已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义. 2.须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系. 3.应注意：（1）复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； （2）利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ） A. B. C. D. 2．若复数的辐角的主值是，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3． （ ） A. B. C. D. 4．设，，是的内角，是一个实数，则是（ ） A. 不等边的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5．[2024·吉林长春模拟]已知复数对应的向量为为坐标原点，与实轴正向的夹角为 ，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 6．（多选）已知单位向量,分别对应复数,,且，则可能为（ ） A. B. 1 C. D. 7．复数的三角形式为__________________. 8．已知复数满足等式,且,则____________.（用代数形式表示） 9．如图，向量对应的复数为,把绕点按逆时针方向旋转 ,得到，则向量对应的复数为__________________.（用代数形式表示） 10．计算： （1） ; （2） ; （3） . B 能力提升 11．已知,则（ ） A. B. C. D. 12．（多选）已知在正方形中，是坐标原点，且点在轴的上方，向量对应的复数为，则（ ） A. 点对应的复数为 B. 向量对应的复数为 C. 向量对应的复数为 D. 13．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为,,,（其中是原点），已知对应复数.若对应的复数为，则和对应的复数的乘积____________. 14．[2024·安徽合肥月考]如图,若与分别表示复数,,求，并判断的形状. C 素养拓展 15．（多选）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式,为虚数单位，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ） A. B. C. D. 16．设复数,复数满足,且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且,求的代数形式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3* 复数的三角表示 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 新知学习 探究 新课导学 我们知道，复数可以用的形式来表示，复数与复平面内的点一一对应，与平面向量也是一一对应的. 思考 你能用向量的模和以轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线）为终边的角 来表示复数吗？ 提示：可以由复数 的模和复平面内以 轴的非负半轴为始边、向量 所在射线为终边的角来确定. 一 复数的三角形式 1．定义：一般地，任何一个复数都可以表示成①____________________________的形式.其中，是复数的模； 是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的②____.③____________________________叫做复数的三角表示式，简称三角形式. 【答案】； 辐角； 2.辐角的主值：规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作,即 . 角度1 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式. （1） ； （2） . 【答案】 （1） 【解】. 因为与 对应的点在第四象限，所以， 所以. （2） . 因为与 对应的点在第四象限， 所以， 所以. 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）判断辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 角度2 复数的三角形式化成代数形式 例2 把下列复数的三角形式化成代数形式. （1） ； （2） . 【答案】（1） 【解】. （2） . 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式，代数形式为，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即,. ［跟踪训练1］． （1） 下列复数中是三角形式的是（ ） A. B. C. D. （2） 复数表示成代数形式为____________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B.复数的三角形式是，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号. （2） . 二 复数的三角形式的乘、除法运算 1．乘法运算法则 设,，则①__________________________________________________. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的②__，积的辐角等于各复数的辐角的③__. 【答案】； 积； 和 2．除法运算法则 设，,且,则④____________________________________________________. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的⑤__，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的⑥__. 【答案】； 商； 差 例3 计算下列各式，并把结果化为代数形式： （1） ; （2） . 【答案】 （1） 【解】 . （2） . 在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. ［跟踪训练2］． （1） 若 ，则（ ） A. B. C. D. （2） 计算____________.（用代数形式表示） 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选B.由，所以 .故选B. （2） . 三 复数三角形式乘、除法运算的几何意义 例4 （对接教材例4）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. （1） 求实数的取值范围； （2） 当时，求复数的三角形式； （3） 若在复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点按顺时针方向旋转 得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示）. 【答案】 （1） 【解】因为复数 在复平面内对应的点在第一象限， 所以 解得, 所以实数 的取值范围为. （2） 当 时，, 所以, , 所以 ,所以. （3） 方法一（代数运算）：根据题意得 在复平面内对应的向量,将其顺时针旋转 后得到向量， 则 对应的复数 . 方法二（三角运算）：根据题意得 在复平面内对应的向量,将其顺时针旋转 后得到向量， 则. 又因为, , 所以. 两个复数,相乘时，如图，先分别画出与,对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，即,当,相除时,. ［跟踪训练3］． （1） （ ） A. B. C. D. （2） 已知,将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点对应的复数为__________________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C..故选C. （2） 由题意得点 对应的复数为.由复数乘法的几何意义得. 课堂巩固 自测 1．（教材P89习题T 1改编）复数为虚数单位的三角形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.依题意得,复数 在复平面内对应的点在第四象限，且,因此 ，结合选项知D正确.故选D. 2．（教材P89练习T1改编） （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.原式. 3．若,,则复数__________.（用代数形式表示） 【答案】 【解析】因为,, 所以. 4．把复数与对应的向量,分别绕原点按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知,求复数的代数形式和它的辐角的主值. 解：由复数乘法的几何意义得. 又, 所以 , 因此复数 的辐角的主值为. 1.已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义. 2.须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘、除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系. 3.应注意：（1）复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； （2）利用复数三角形式乘、除时，复数必须是三角形式的标准形式. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.复数的三角形式为,,结合选项知B满足.故选B. 2．若复数的辐角的主值是，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.,,所以 所以. 3． （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为,所以.故选B. 4．设，，是的内角，是一个实数，则是（ ） A. 不等边的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】选C.由题意知,则. 5．[2024·吉林长春模拟]已知复数对应的向量为为坐标原点，与实轴正向的夹角为 ，且复数的模为2，则复数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】选D.设复数,因为向量 与实轴正向的夹角为 且复数 的模为2， 所以, , 所以.故选D. 6．（多选）已知单位向量,分别对应复数,,且，则可能为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】AD 【解析】选.因为单位向量,分别对应复数,,设复数,,因为，所以，即,所以.故选. 7．复数的三角形式为__________________. 【答案】 【解析】. 8．已知复数满足等式,且,则____________.（用代数形式表示） 【答案】 【解析】设 , 则 . 即, 所以,所以. 9．如图，向量对应的复数为,把绕点按逆时针方向旋转 ,得到，则向量对应的复数为__________________.（用代数形式表示） 【答案】 【解析】向量 对应的复数为. 10．计算： （1） ; （2） ; （3） . 【答案】 （1） 解： . （2） . （3） . B 能力提升 11．已知,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.,所以.故选B. 12．（多选）已知在正方形中，是坐标原点，且点在轴的上方，向量对应的复数为，则（ ） A. 点对应的复数为 B. 向量对应的复数为 C. 向量对应的复数为 D. 【答案】ABD 【解析】选.把 绕点 按逆时针方向旋转 ，再把模变为原来的 倍即得，故向量 对应的复数为,即点B对应的复数为，选项A正确； 把向量 绕点 按逆时针方向旋转 即得向量，故 对应的复数为,选项B正确； 对应的复数为 对应的复数减去 对应的复数，即, 选项C不正确； ，选项D正确. 13．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为,,,（其中是原点），已知对应复数.若对应的复数为，则和对应的复数的乘积____________. 【答案】 【解析】由题意得, 复平面上线段 与 轴正半轴的夹角为，则线段 与 轴正半轴的夹角为， 所以, 所以. 14．[2024·安徽合肥月考]如图,若与分别表示复数,,求，并判断的形状. 解：欲求，可计算. 因为, 所以 且. 设,, 由余弦定理，得, 所以,又, 所以 为有一锐角为 的直角三角形. C 素养拓展 15．（多选）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式,为虚数单位，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.对于A，当 时，因为,所以,故A正确；对于B，,故B正确；对于C，由,,所以,得出,故C正确； 对于D，由C分析得,推不出,故D错误. 故选. 16．设复数,复数满足,且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且,求的代数形式. 解：因为, 设,, 所以. 由题设知,所以. 又,所以, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$