专题12 复数的四则运算9题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题12 复数的四则运算9题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 五、|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 六、复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ． 2．（2025高二·西藏林芝·期末）若复数，则 （    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（2025高二·广西月考）已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)..． 7．（2025高三·广东月考）设的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 8．（2025高一·全国月考）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·河南郑州月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国月考）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 12．（2025高一·山东日照·期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 13．（2025高一·全国月考）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,. (1)求对应的复数. (2)求对应的复数. (3)求对应的复数. 14．（2025高一·全国月考）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 15．（2025高二·上海月考）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 . 16．（2025高一·全国月考）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 题型3：根据复数的加、减运算结果求参数 17．（2025高三·浙江月考）若，则的实部可能是（    ） A．3 B．1 C． D． 18．（2025·河北石家庄·模拟预测），若，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025高三·安徽月考）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 20．（2025高一·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 21．（2025·云南曲靖·模拟预测）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（2025高一·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2025高二·宁夏银川·期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 24．（2025高一·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（2025高一·上海宝山·期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型4：复数代数形式的乘法运算 26．（2025高二·湖南邵阳月考）若，则（    ） A．-2-4i B．-2+4i C．6-2i D．6+2i 27．（2025高二·青海玉树·期末）若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 28．（2025·四川资阳·模拟预测）已知复数，且，则ab=（    ） A．-9 B．9 C．-3 D．3 题型5：复数的高次运算 29．（2025高三·山东月考）已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 （四） 复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型6：复数代数形式的除法运算 30．（2024·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025高三·江苏镇江月考）设，则（    ） A．2 B．1 C． D． 题型7：根据复数的乘除运算结果求参数 32．（2025·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高二·江西抚州月考）已知为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 34．（2025高二·广西百色·期末）复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（2025高二·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型8：在复数范围内因式分解 37．（2025高一·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 38．（2025高一·全国月考）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 39．（2025高一·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 40．（2025高一·上海普陀月考）在复数范围内分解因式： ． 41．（2025高一·全国月考）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3). 题型9：在复数范围内解方程 42．（2025高一·湖南月考）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 43．（2025高一·河南安阳月考）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 44．（2025高三·河北唐山月考）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 45．（2025高二·陕西西安·期中）已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 46．（2025·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（    ） A． B． C．2 D．1 47．（2025高三·全国月考）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为 . 48．（2025高一·山东青岛·期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 . 一、单选题 1．（2025·四川成都·二模）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·福建莆田·二模）设，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 10．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 11．（2025·河北·模拟预测）若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 13．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）复数z满足，则（   ） A．5 B． C．25 D．32 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 16．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 17．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 18．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 19．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 三、填空题 20．（24-25高三下·上海·阶段练习）若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第 象限． 21．（24-25高二下·上海·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则 ． 22．（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 23．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 24．（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 25．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 四、解答题 26．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 27．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 28．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 29．（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 30．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 31．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 32．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题12 复数的四则运算9题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 五、|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 六、复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的减法可求得复数. 【解析】因为复数，，则. 故答案为：. 2．（2025高二·西藏林芝·期末）若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解. 【解析】由复数，则. 故选：A. 3．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案； 【解析】（1） （2） （3） （4） 4．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)0 (4) (5) (6) 【分析】根据复数的加减运算求解. 【解析】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. （5）由题意可得：. （6）由题意可得：. 5．（2025高二·广西月考）已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的加法运算求解. 【解析】由题意可得：. 故选：D. 6．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)..． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 7．（2025高三·广东月考）设的共轭复数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则由，可得，后由两复数相等可得答案. 【解析】设，，则. 因为，所以， 则，解得，，则． 故选：A. （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 8．（2025高一·全国月考）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解析】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 9．（2025高一·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解析】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 10．（2025高一·河南郑州月考）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【解析】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 11．（2025高一·全国月考）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ） A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0 【答案】D 【分析】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解. 【解析】由题图可知，，， ∴z1＋z2－z3＝0. 故选：D 【点睛】本题考查复数与复平面的对应关系，向量的线性运算，属于中档题 12．（2025高一·山东日照·期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【答案】16 【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，从而可得的周长 【解析】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题 13．（2025高一·全国月考）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,. (1)求对应的复数. (2)求对应的复数. (3)求对应的复数. 【答案】(1).(2).(3) 【解析】根据复数的几何意义及复数的加减运算法则计算可得. 【解析】解：(1)因为,所以表示的复数为. (2)因为,所以表示的复数为. (3),所以对应的复数为. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的加减运算，属于基础题. 14．（2025高一·全国月考）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 15．（2025高二·上海月考）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 . 【答案】 【解析】由，得对应的复数为对应复数的差，即可求解. 【解析】对应的复数分别是， 对应的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数和复数减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题. 16．（2025高一·全国月考）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析. 【分析】先计算z1－z2，表示点和向量，再描点作图即可. 【解析】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示， 根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数. 题型3：根据复数的加、减运算结果求参数 17．（2025高三·浙江月考）若，则的实部可能是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，则由已知可得，则，然后代入中计算可求出其实部，从而可得答案. 【解析】设， 因为， 所以，得， 所以， 所以， 则的实部， 故选：A 18．（2025·河北石家庄·模拟预测），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，化简得到，解得答案. 【解析】设，则，故， 故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 19．（2025高三·安徽月考）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案. 【解析】设， 因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 20．（2025高一·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可. 【解析】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 21．（2025·云南曲靖·模拟预测）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解. 【解析】因为复数（其中）为“等部复数，可得， 即，可得， 则在复平面内对应的点为位于第一象限. 故选：A. 22．（2025高一·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【解析】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 23．（2025高二·宁夏银川·期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，根据复数的线性运算及几何意义可得，，，，进而得到，可得，，，进而求解即可. 【解析】设，， 则， 所以，，，， 所以， 即， 所以， 又，， 在中，过作，垂足为， 则为中点，即， 所以， 所以. 故选：D.      24．（2025高一·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【解析】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： 25．（2025高一·上海宝山·期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义以及复数加减法的几何意义进行求解. 【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型4：复数代数形式的乘法运算 26．（2025高二·湖南邵阳月考）若，则（    ） A．-2-4i B．-2+4i C．6-2i D．6+2i 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【解析】由复数，可得，所以. 故选：C. 27．（2025高二·青海玉树·期末）若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可. 【解析】∵ ∴ 解得 故选：D. 28．（2025·四川资阳·模拟预测）已知复数，且，则ab=（    ） A．-9 B．9 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】由题意可得，化简后利用复数相等即可解得，，从而可解. 【解析】由题意可得，则， 从而，，故． 故选：D 题型5：复数的高次运算 29．（2025高三·山东月考）已知复数z满足，则（    ） A．i B． C． D．1 【答案】A 【分析】先求，再求. 【解析】由已知， 所以. 故选：A. （四） 复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型6：复数代数形式的除法运算 30．（2024·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【解析】由，得，即， 故， 故选:B． 31．（2025高三·江苏镇江月考）设，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法和除法，求出复数，得，再求. 【解析】, ，. 故选：C 题型7：根据复数的乘除运算结果求参数 32．（2025·河南·模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案. 【解析】，所以， 解得， 故选：B. 33．（2025高二·江西抚州月考）已知为虚数单位，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由复数的除法运算公式将其化为可求得a，b的值，再由分数指数幂与根式互化公式 可求得结果. 【解析】∵ ∴ ∴ 故选：B. 34．（2025高二·广西百色·期末）复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的加减运算化简复数，即可得出答案. 【解析】，故虚部为. 故选：D. 35．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可. 【解析】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为， 位于第二象限. 故选：B 36．（2025高二·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的运算公式，以及复数的几何意义，即可求解.S 【解析】由条件可知， 对应的点是，位于第一象限. 故选：A （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型8：在复数范围内因式分解 37．（2025高一·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【解析】令， ，所以， 即. 故答案为: . 38．（2025高一·全国月考）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解析】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 39．（2025高一·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 【答案】 【分析】先求得的根，然后进行因式分解. 【解析】由得， 解得， 所以. 故答案为： 40．（2025高一·上海普陀月考）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【解析】解： 故答案为： 41．（2025高一·全国月考）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. 【解析】（1） （2） （3）∵   ∴   ∴   题型9：在复数范围内解方程 42．（2025高一·湖南月考）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接由求根公式或配方法求解，利用开方即可. 【解析】（1）由求根公式得 （2）由求根公式得 43．（2025高一·河南安阳月考）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【解析】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 44．（2025高三·河北唐山月考）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】由实数系方程中根的性质及根与系数关系有，即可求结果. 【解析】由题意，即. 故选：B 45．（2025高二·陕西西安·期中）已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的特征即可求解， （2）根据复数根的求解，进而由模长公式即可求解. 【解析】（1）为纯虚数，所以 （2）方程变形为，所以， 所以 46．（2025·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据复数系方程求，再结合模长公式运算求解. 【解析】由得，解得或， 若，则；若，则； 综上所述：. 故选：B． 47．（2025高三·全国月考）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为 . 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【解析】因为是关于x的方程的一个根，且， 所以是关于x的方程的另一个根， 而且， 故答案为： 48．（2025高一·山东青岛·期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】把代入方程并化简，利用复数相等的概念得到的值，即得的值． 【解析】把代入方程得， 所以， 所以， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·四川成都·二模）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数模长公式计算可得，再利用共轭复数定义及其几何意义可求得结果. 【详解】设，则，解得， 则， 则在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 4．（2025·福建莆田·二模）设，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出，然后由共轭复数概念和复数模公式可得. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：C 5．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 6．（2025·重庆·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 7．（2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由方程解出,，代入所求式即得. 【详解】由方程得， 由求根公式可得， 不妨设，. 则， 故选：B 8．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设（，），然后由复数除法运算得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 9．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】解：因为， 所以. 故选：A 10．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若复数z满足，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】结合复数运算法则求的代数形式，再求其模. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 11．（2025·河北·模拟预测）若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等求出，再利用复数乘法求解. 【详解】设，则，因此， 则，，即，所以. 故选：A 12．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解； 【详解】由，可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：B 13．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）复数z满足，则（   ） A．5 B． C．25 D．32 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由题意可得，则． 故选：A. 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据纯虚数的定义以及各选项所给条件逐一分析判断. 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则   ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数的一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 二、多选题 15．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知复数，以下说法正确的是（    ） A．的实部是5 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 16．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 17．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 18．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 19．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题 20．（24-25高三下·上海·阶段练习）若复数z满足，则复平面内复数所对应的点Z位于第 象限． 【答案】四 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可利用复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以在复平面内与复数对应的点Z为， 故复数对应的点Z位于第四象限． 故答案为：四 21．（24-25高二下·上海·开学考试）已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，故， 故答案为：． 22．（24-25高三下·上海·阶段练习）设i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据虚数的性质即可求得代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 23．（2025·福建厦门·二模）已知，则 . 【答案】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到向量的模长. 【详解】, 则， 故答案为： 24．（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得，由此计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴的虚部是. 故答案为：. 25．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 四、解答题 26．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的加法运算可得答案； （2）利用复数的加法运算可得答案； （3）利用复数的减法运算可得答案． 【详解】（1）； （2）； （3）． 27．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解. （2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解. 【详解】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 28．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加减法运算计算即可； （2）根据复数的乘法运算计算即可； （3）根据复数的除法运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 29．（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加减运算和乘法运算法则求解即可． （2）利用复数的乘法运算法则和加减运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）． 30．（24-25高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用复数的乘法、乘方及除法运算求解即得. 【详解】（1）． （2）原式． 31．（24-25高一下·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）0；（2）． 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算，结合模长定义即可解. 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 32．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$