7.2.2复数的乘、除运算 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版高一下册数学必修第二册7.2.2复数的乘、除运算 教学设计 课题 7.2.2复数的乘、除运算 课型 概念课 课时 1 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 学习重点 复数的乘、除运算法则 学习难点 复数除法的运算法则 学情分析 本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则． 核心知识 1. 复数的乘法运算 2. 复数的除法运算 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 一．情境引入 我们知道，两个一次式相乘，有，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？ 设计意图：类比多项式的乘法运算，以及复数的加减法运算与多项式加法运算的关系，引导学生思考复数乘除法运算法则． 二．复数乘法的运算法则和运算律 问题1：类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 答案：我们规定 ，复数的乘法法则为：设，是任意两个复数，那么它们的积． 追问1：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？ 答案：通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定． 追问2：当都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？ 答案：根据法则，我们发现，当时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致． 追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？ 答案：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可． 结论：两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘． 设计意图：与实数多项式的乘法进行类比，有利于学生理解复数的乘法法则．同时培养学生类比的核心素养． 问题2 类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想． 答案：猜想：对于任意对于任意，，，有： 交换律：； 结合律：； 分配律：． 证明：设，，． (1)∵ i 又，， ∴． (2)． ， 同理可得： ， ∴． (3) ∴． 设计意图：引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律，大胆尝试推导复数乘法的运算律．培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深． 例1：计算． 解：． 例2：计算：(1)； (2)． 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算． 解：(1)； (2)． 总结：按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算． 追问1：若，是共轭复数，则是一个怎样的数？ 答案：若，是共轭复数，则是一个实数． 三．复数除法的运算法则和运算律 问题3：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则． 答案：设，则． 计算，得到， 即， 由复数相等的定义，得，， 联立以上两个等式，将和作为未知量， 作为常数，解这个二元一次方程组，解得，． 得到． 以上，就是复数除法法则的探究过程． 复数除法的法则是：． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． 说明：在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，即 这里分子分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”． 设计意图：通过将复数的除法转化成分式的除法，再类比实数中的分母有理化，对分母进行实数化，通过该化简的过程，帮助学生理解复数的除法法则．渗透类比和转化的数学思想方法，体会数学知识的紧密联系． 例3：计算． 分析：先将除法化成分式的形式，再进行分母实数化运算． 解： 例4：在复数范围内解下列方程： (1)；(2)，其中，且，． 分析：利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根．对于(2)，当时，一元二次方程无实数根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于(1)，就能在复数范围内求得(2)中方程的根． 解：(1)因为，所以方程的根为． (2)将方程的二次项系数化为1，得． 配方得：． 即． 由，知．类似(1)， 可得． 所以原方程的根为． 总结：在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： (1)当≥0时，； (2)当时，． 设计意图：在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余，进行提升练习。让学生先独立思考，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力．分层教学，让不同能力水平的学生学有所得． 四．归纳总结 （1）复数代数形式的乘法法则： 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可． （2）复数代数形式的除法法则： 在进行复数的除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，将分母“实数化”． 设计意图：通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解．引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华． 板书设计 1. 复数的乘法运算 2. 复数的除法运算 3．例题板书 作业设计 （精准作业）7.2.2复数的乘、除运算 教学反思 1、 拓展的例题不足； 2、学生主体性体现不到位. 　 学科网（北京）股份有限公司 $$