河南省郑州市东区2024-2025学年九年级下学期第一次数学试题试卷

2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 (满分120分，考试时间100分钟) 一 、选择题(每小题3分， 共 3 0 分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 若(-3)×□ 的运算结果为正数，则□ 内的数字可以为 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达20.4亿m³, 数据20.4亿用科学记数法表示为 ( ) A.2.04×1010 B.2.04×109 C.20.4×108 D.0.204×1010 3 . 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°,则∠3的度数为 （ ） A.80° B.90° C.100° D.120° ( 第 3 题 ) (第5题) (第6题) 4.若分是最简分式，则“☆”表示的可以是 ( ) A.2x+2y B.(x-y)² C.x²+2xy+y² D.x²+y² 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图.其成绩的方差分别记为s2甲和s2乙, 则 s2甲和s2乙 的大小关系是 ( ) A.s2甲>s2乙 B.s2甲<s2乙 C.s2甲=s2乙 D. 无法确定 6. 如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 7. 如图，已知点A,B 在⊙0上,∠AOB=720，直线MN与⊙0相切,切点为C, 且 C为AB的中点，则∠ACM等 于 ( ) A.18° B.30° C.36° D.72° 8. 某校九年级学生去距学校20 km 的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min 后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程 ( ) A B C. D 1 学科网（北京）股份有限公司 9.如图，点 E为平行四边形AB C D的对角线AC上 一 点，AC=5,CE=1,连 接DE并延长至点F,使得EF=DE, 连 接BF, 则 BF 为 （ ） A B 3 C D 4 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点E,F分别在边AB,BC上(不与端点重合),且DE⊥DF. 设 AE=x,四边形 DEBF 的面积为y, 则 y 关 于x 的函数图象为 ( ) 0 A B C D 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第一、三象限，则 k 的值可以是 (写出一个即可). 12. 若关于x 的一元二次方程x²-4x+2k=0有两个相等的实数根，则k的值为 13. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈 景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点C,A 分别在x 轴 ，y 轴上，点D为OA的中点，连接BD. 点P为 OC 上一点，连接DP, 先以点P 为圆心，DP 长为半径画弧，交BD于点E, 再分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F,作射线PF交DE于 点C.若 DG=DO,A(0,2), 则 点P 的坐标为 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,6),点C 为 x 轴正半轴上一 动点，以04,0C为边作矩形 OABC, 点 E 为线段AB 的延长线上一 点，且BE=AB,D为OB的中点，连接DE交BC于点F，连接CD，当三角形CDF为等腰三角形时，点B的坐标为 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. (10分)(1)解方程组 (2)先化简，再求值：(x+y)²+x(x-2y), 其 中x=1,y=-2. 17. (9分)为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并 对测试成绩(单位：分)进行了统计分析. 收集数据： 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 整理数据 该校规定：x≤59为不合格，59＜x≤75为合格，75＜x≤89，,89＜x≤100为优秀.(成绩用x表示) 等次 频数(人数) 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82,众数是83,中位数是c. 【解决问题】 (1)填空：a= b= c= ; (2)若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生有多少人； (3)根据上述统计分析情况，写一条你的看法 18 . (9分)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实 践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案 示意图 实施过程 1.选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2.测量D,B两点间的距离； 3.站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树 顶A的仰角∠ACF; 4.测量C到地面的高度CD. 1.选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2.测量E,B两点间的距离； 3.在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退 至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A; 4.测量E,D两点间的距离； 5.测量C到地面的高度CD 测量数据 1.DB=10 m; 2. ∠ACF=32.5°; 3.CD=1.6m. 1.EB=10m; 2.ED=2 m; 3.CD=1.6m. 备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AB,CD均与地面垂直； 3.参考数据：tan 32.5°≈0.64. 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AB,CD均与地面垂直； 3.把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得 ∠CED=∠AEB 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB 的高度. 19. (9分)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点A,C 分别在x 轴、y 轴上，点B的坐标 为(2,2),反比例函数，的图象经过AB上的点D, 已知AD=2 (1)求k 的值. (2)连接OD,以点0为圆心，OD 长为半径画弧，求图中阴影部分的面积. 20. (9分)如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为0,直径AB 是河底线，弦 CD是水位线，CD//AB,AB=20 米，∠BAD=15°. (1)求CD 的长. (2)一艘船要经过该桥洞，矩形MNPQ是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽 NP 为10米，高 PQ 为2米.受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由. 21. (9分)共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享.某天早上王老师想骑共享电动 车去学校，有 A,B 两种品牌的共享电动车可选择.已知：A品牌电动车骑行x min,收费y A元，且B品 牌电动车骑行x min,收费y B元，且A,B 两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x 之间的函数图象如图所示. (1)说明图中函数yA 与yB图象的交点P表示的实际意义. (2)已知王老师家与学校的距离为9km, 且王老师骑电动车的平均速度为300 m/min, 那么王老师选择哪 种品牌的共享电动车会更省钱?请说明理由. (3)请直接写出当x 为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元. 22.(10分)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数y=x²+2ax+a-3 的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. （1）老师给出a=-4，求二次函数y=ax2+2x+a-3的最小值 ①请写出对应的函数关系式 ②求当x 取何值时，函数y 取最小值，并写出此时的y 值 【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值.记录结果，并整理 成下表： a … -4 -2 0 2 4 … x … * 2 0 -2 -4 … y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 … 注：*为②的计算结果. 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现. ” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x=-a, 就能得到y 的最小值. ” 乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜 想y 的最小值中存在最大值. ” (2)请结合函数解析式y=x²+2ax+a-3, 解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. 23. (10分)如图(1),菱形ABCD 中，∠BAD=α, 点 E 为对角线 BD 上一动点，连接AE,将线段 EA 绕点E 逆时针旋转，使点E 的对应点F 落在直线BC 上. 【猜想证明】 (1)问：∠AEF 与∠BAD 有怎样的数量关系?请结合图(1)加以证明. 【探索发现】 (2)当α=90°时，如图(2),延长FE 交 CD的延长线于点G, 求证：DG=BF. 【拓展延伸】 (3)当α=120°时，如图(3),延长AE到点P, 使得 EP=2AE, 连接DP, 若AB=10√3, 直接写出△PAD 的周长最小时线段DE 的长. 图(1) 图(2) 图(3) 备用图 $$