专题11 复数的概念11题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题11 复数的概念11题型分类 一、复数的有关概念 1.复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 2.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 3.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 三、复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 四、复平面 五、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. （一） 复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 题型1：虚数单位及其性质 1．（2025高一·河北张家口月考） . 【答案】0 【分析】利用虚数单位的性质进行计算即可. 【解析】， 故答案为：0. 2．（2025高一·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据的次方运算的周期性可得答案. 【解析】， 故选：A 3．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据的计算公式，即可化简求值. 【解析】（1）原式； （2）原式， . 4．（2025高一·黑龙江牡丹江月考） ． 【答案】/ 【分析】利用的性质计算可得答案. 【解析】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 题型2：复数的实部与虚部 5．（2024高二·广东月考）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【答案】B 【分析】根据复数的概念求出答案. 【解析】的虚部为-5. 故选：B 6．（2025高二·云南·期中）已知，，若，则z的虚部是（    ） A．-2 B．1 C．-2i D．2i 【答案】A 【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解． 【解析】由，可得，所以，所以的虚部是． 故选：A． 7．（2025高一·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部为 (4)实部为，虚部为 (5)实部为，虚部为 (6)实部为，虚部为 (7)实部为，虚部为 (8)实部为，虚部为 (9)实部为，虚部为 (10)实部为，虚部为 (11)实部为，虚部为 (12)实部为，虚部为 【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解. 【解析】（1）的实部为，虚部为 （2）的实部为，虚部为 （3）的实部为，虚部为 （4）实部为，虚部为 （5）的实部为，虚部为 （6）的实部为，虚部为 （7）的实部为，虚部为 （8）的实部为，虚部为 （9）的实部为，虚部为 （10）的实部为，虚部为 （11）的实部为，虚部为 （12）的实部为，虚部为 （二） 复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型3：复数的分类 8．（2025高一·全国月考）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为的虚数； (2)虚部为的虚数； (3)虚部为的纯虚数； (4)实部为的纯虚数． 【答案】(1)存在且不唯一，如（只要符合题意即可）； (2)存在且不唯一，如（只要符合题意即可）； (3)存在且唯一，即； (4)不存在，因为纯虚数的实部为0. 【分析】根据复数的概念直接举例即可说明四个问题. 【解析】（1）依题意只需要实部为，虚部为任意不为的实数即可， 存在且不唯一，如（只要符合题意即可）； （2）依题意只需要虚部为，实部为任意实数即可， 存在且不唯一，如（只要符合题意即可）； （3）依题意，纯虚数实部为，虚部只能是， 存在且唯一，即； （4）不存在，因为纯虚数的实部为0. 9．（2025高一·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【答案】A 【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值． 【解析】解：由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 10．（2025高一·全国月考）向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由复数的几何意义即可得解. 【解析】 由复数的几何意义知：对应的复数为． 故选：A． 11．（2025高一·上海奉贤月考）若复数是实数，则实数 . 【答案】 【分析】复数是实数，则虚部为0，可求实数的值. 【解析】复数是实数，则有，解得. 故答案为：. 12．（2025高一·陕西宝鸡·期中）当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】 （1）令复数虚部等于0，即可求得答案； （2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案； （3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案. 【解析】（1） 由题意复数， 当，即或时，所给复数是实数. （2） 当，即且时，所给复数是虚数. （3） 当，即时，所给复数是纯虚数. 13．（2025高一·天津和平·期末）若是纯虚数，则实数的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C． D．2 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义计算得解. 【解析】因为是纯虚数，所以，解得； 故选：C. 14．（2025高一·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【解析】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. （三） 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 题型4：复数相等的充要条件 15．（2025高一·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【分析】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可 （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【解析】（1）由，可得 （2）由，可得 （3）由，可得，或 （4）由，可得 16．（2025高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数相等即可得到方程组，解出即可. 【解析】（1）由题意得，解得. （2）由题意得，解得. 17．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 【答案】 【分析】利用复数相等的概念求解. 【解析】解根据两个复数相等的充要条件，可得 整理得解得 18．（2025高一·全国月考）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件即可得解. 【解析】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得，解得， 故． 故选：B． 题型5：复数中的比较大小 19．（2025高一·全国月考）已知，且，则 . 【答案】或/或 【分析】 根据题意可得，再结合，即可得解. 【解析】 因为， 所以， 由②解得或， 当时，，解得， 又因，所以或， 当时，，解得， 又，所以不存在这样的， 综上所述，或. 故答案为：或. 20．（2025高一·全国月考）设，，且，若，则 ． 【答案】1 【分析】由不等关系确定两个数是实数，求出参数值，并检验满足题意． 【解析】由于，， 所以且． 所以，解得， 此时，，满足． 故答案为：1． 21．（2025高二·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ． 【答案】－2 【分析】根据可以判断，均为实数得出，再根据不等式限制取值范围即可 【解析】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故． 故答案为：－2 （四） 复数的几何意义 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 题型6：复数的坐标表示 22．（2025高三·河北沧州月考）若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可. 【解析】因为，实部为，虚部为， 因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D 23．（2025高一·新疆哈密·期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解. 【解析】依题意，因为三点对应的复数分别是，，， 所以， 因为是平行四边形，所以，设， 则，故，解得， 所以，则点D对应的复数为. 故答案为: . 24．（2025高一·全国月考）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则 ． 【答案】或或 【分析】根据复数求对应点,再应用构成平行四边形,分情况计算即可. 【解析】因为，，,又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得 当为平行四边形,则; 当为平行四边形,则,即 当为平行四边形,则,即 故答案为: 或或 25．（2025高一·全国·随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点： (1)； (2)； (3)； (4)5． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点的坐标，即可求解. 【解析】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为. （2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得在复平面对应的点为. （3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数 在复平面对应的点为 （4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为    题型7：根据复数坐标特征求参数 26．（2025高一·全国月考）复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可知，解不等式组即可 【解析】解：因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以解得． 故答案为： 27．（2025高一·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【解析】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 28．（2025高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路： (1)不在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在实轴下方（不包括实轴）； (4)在虚轴右侧（不包括虚轴）； (5)第三象限． 【答案】(1)且. (2) (3) (4) (5) 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，以及点所在的位置，列出方程（不等式），即可求解. 【解析】（1）由复数和复平面内的点Z对应， 因为复数不在实轴上，则满足，解得且. （2）因为复数和复平面内的点Z对应， 因为复数在虚轴上，则满足，解得. （3）因为复数和复平面内的点Z对应， 因为复数在实轴下方（不包括实轴），则满足，解得. （4）因为复数和复平面内的点Z对应， 因为复数在虚轴右侧（不包括虚轴），则满足，解得. （5）因为复数和复平面内的点Z对应， 因为复数第三象限，则满足，解得. 29．（2025高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论. 【解析】因为复数对应的点在第四象限，则， 因此，角是第二象限角. 故选：B. 30．（2025高三·全国月考）已知复数，若在复平面内对应的点在第二象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知得出，根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，. 根据复数的几何意义可得，， 解得或， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 31．（2025高一·安徽宿州·期中）在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点在第 象限. 【答案】三 【分析】先由已知条件写出的共轭复数，再根据它所对应的点来判断所在象限即可. 【解析】由复数为虚数单位的共轭复数为： ， 所以对应的点为， 因为， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 故复数的共轭复数对应的点在第三象限， 故答案为：三. 32．（2025高二·广东东莞月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【解析】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 题型8：复数与复平面内的向量 33．（2025高一·全国·课堂例题）写出下列复数对应的向量： ，，， 【答案】；；； 【分析】借助复数的几何意义逐个计算即可得. 【解析】由的实部为，虚部为，故其对应的向量为； 由的实部为，虚部为，故其对应的向量为； 由的实部为，虚部为，故其对应的向量为； 由的实部为，虚部为，故其对应的向量为. 34．（2025高一·全国月考）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义得出向量与的坐标，再由向量的运算得出的坐标，进而得出其复数. 【解析】∵复数与分别表示向量与， ∴ 又， ∴向量表示的复数是 故答案为： 35．（2025高一·河北张家口月考）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量，则对应的复数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，，向量与向量关于轴对称，即可求出的坐标，从而求出，再写出其对应的复数即可. 【解析】依题意可得，，， 由图知，向量与向量关于轴对称，， ， 所以对应的复数为. 故选：. 36．（2025高一·全国月考）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由对称性结合复数的几何意义得出点对应的复数. 【解析】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为. 因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为. 因为与关于轴对称，所以. 即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是. 故选：D 37．（2025·北京东城·模拟预测）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义结合图象可得. 【解析】 如图，由题意可知，与轴夹角为， 绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又， 所以的坐标为，所以对应的复数为. 故选：A. （五） 复数的模及其应用 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 题型9：复数的模 38．（2025·全国·模拟预测）若，z为纯虚数，且，则（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】根据复数相等及复数的模求解即可. 【解析】因为z为纯虚数， 所以设， 由得， 所以，解得， 所以，则， 故选：A． 39．（2025高一·辽宁·期末）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模的计算公式计算即可. 【解析】因为，所以. 故选：B 40．（2025高二·全国月考）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案. 【解析】解：因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， ， 因为，所以，则， 所以复数z的模的取值范围是. 故选：A. 41．（2025高三·安徽月考）若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算. 【解析】若，即， 得，解得， 所以． 故选：B 42．（2025高一·全国·单元测试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接利用复数的求模公式求解即可． 【解析】 复数，则， 故选：B 43．（2025高三·上海虹口·期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ． 【答案】 【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得，结合角的范围可得，再应用倍角正切公式求值即可. 【解析】由题设，则， 所以，又，则，， 所以，则. 故答案为： 44．（2025·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用复数模的定义建立不等式即可求得实数a的值． 【解析】由题意，， 可得，整理得，所以，所以， 故选：D． 题型10：与复数模有关的图形问题 45．（2025高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 46．（2025高一·全国月考）已知复数； (1)若，求实数的值； (2)若复数，且满足，求复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值. 【答案】(1)；或. (2)6 【分析】（1）根据复数相等即可求解； （2）先确定复数在复平面内所对应的点的轨迹，再数形结合即可求解. 【解析】（1）因为，所以， 由解得， 由解得或， 故实数的值为，实数的值为或. （2）因为，所以， 所以， 即复数在复平面内所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 如图所示： 所以复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值为 . 47．（2025高一·广东江门月考）若，为虚数单位，在复平面内所对应的点为，且， （1）求满足上述条件的点的集合是什么图形并且求该图形的方程； （2）的最小值． 【答案】（1）点在以对应的点为圆心，1为半径的圆上；；（2）3. 【分析】（1）由复数的几何意义可得复数对应的点在以对应的点为圆心，1为半径的圆上，从而可写出其方程， （2）由复数的几何意义可知表示点到对应的点的距离，其最小值是 【解析】（1）由得， 因此复数对应的点在以对应的点为圆心，1为半径的圆上， 方程为： 如图所示．    （2）设，则是点到对应的点的距离．又， ∴由图知． 48．（2025高一·广东东莞·期末）设复数i，i，记复数与分别对应复平面内的点和. （1）根据复数及其运算的几何意义，求和两点间的距离； （2）已知（为正实数）表示动点的集合是以点为圆心，为半径的圆.那么满足条件的点的集合是什么图形？并求出该图形的面积. 【答案】（1）；（2）以点（1，1）为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形（含边界）；. 【分析】（1）求出，即得解； （2）表示的动点的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆，方程表示的动点的集合是以点（1，1）为圆心、3为半径的圆，即得解. 【解析】解：（1）复数i，i，分别对应向量，， 所以 （2）由题知方程表示的动点的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆， 方程表示的动点的集合是以点（1，1）为圆心、3为半径的圆， 故不等式表示的动点的集合是以点（1，1）为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形（含边界）， 所以该圆环形图形的面积为. （六） 共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. （2）几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.      （3）性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数. 题型11：共轭复数 49．（2025高一·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【解析】由题意可知，复数的共轭复数为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 50．（2025高三·全国月考）若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的代数运算计算出复数，可得，从而求出其在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】解：，=，在复平面内对应的点为在第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了复数的运算，考查共轭复数问题，是一道基础题． 51．（2025高二·江苏扬州月考）已知复数，那么的虚部是 . 【答案】-4 【分析】首先求，再根据复数的相关定义求复数的虚部. 【解析】,, 的虚部是. 故答案为： 52．（2025高三·北京顺义·期中）在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的几何意义写出复数；再根据共轭复数的定义即可得出结果. 【解析】因为复数对应的点的坐标是 所以 则 故选：B 53．（2025高二·广东江门月考）设，，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则实数复数，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由共轭复数的概念直接求解即可. 【解析】因为复数与互为共轭复数，所以， 故选：B. 54．（2025高一·新疆喀什·期末）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义得出的共轭复数，即可根据复数的模的求法得出答案. 【解析】复数的共轭复数为， 则其模， 故选：C. 55．（2025高二·安徽滁州月考）在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可. 【解析】由题意可得， 设的对角线的交点为，点的坐标为， 由中点坐标公式得， 所以点，即点对应的复数为， 故其共轭复数. 故选：B 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数的坐标表示和模长计算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用指数幂的运算及虚数单位的运算，即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：D. 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若（i为虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】写出复数对应点的坐标即可得到答案. 【详解】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为， 所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 5．（河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试题）已知复数，若为实数，则（    ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据复数为实数计算得出，再计算求出模长即可. 【详解】因为复数为实数， 则，即得， 则. 故选：B. 6．（江西省西路片七校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数得出对应点，再结合旋转得出复数即可求出虚部. 【详解】表示点，顺时针转到第四象限， 对应点为，所以复数的虚部为. 故选：A. 7．（2025·四川南充·二模）已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】通过复数的运算求出，进而根据模长公式计算即可. 【详解】 因为， 所以，所以. 故选：C. 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出，进而求出复数的模. 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 9．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 10．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值. 【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称， 而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称， 因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离， 又圆上的点到的距离最大值为5， 所以的最大值为5. 故选：B 11．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部， 故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 故选：B 12．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得. 【详解】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 13．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 二、多选题 14．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 15．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 16．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，若为纯虚数，则的实部为0，虚部不为0，列出方程求解即可；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0，列出不等式求解即可；对于C，若，求出，进而求其共轭复数；对于D，若，求出，咋求模即可. 【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误； 对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D 错误. 故选：BC. 17．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 18．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 三、填空题 19．（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 【答案】四 【分析】求出复数的共轭复数即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以复数对应的点在第四象限. 故答案为：四 20．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 21．（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【答案】1，2 【分析】根据复数相等列方程组计算求参即可. 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 22．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据复数类型，结合同角三角函数关系，即可求得结果. 【详解】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 23．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，结合向量运算即可得解. 【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得， 因此，所以向量对应的复数是. 故答案为： 24．（2025高三·全国·专题练习）复数z满足，则复数z的模的范围是 【答案】 【分析】利用复数的几何意义得z对应的点的轨迹为以为圆心半径为的圆，将题意转化为圆上的点到原点的距离，进而可得结果. 【详解】表示z对应的点的轨迹为以为圆心半径为的圆， 故复数z的模即圆上的点到原点的距离，则， 故z的模的范围是. 故答案为： 四、解答题 25．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 26．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 27．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 28．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值. (2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值. 【详解】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 29．（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题11 复数的概念11题型分类 一、复数的有关概念 1.复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 2.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 3.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 二、复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系. 三、复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 四、复平面 五、复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 六、复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. （一） 复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 题型1：虚数单位及其性质 1．（2025高一·河北张家口月考） . 2．（2025高一·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2025高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 4．（2025高一·黑龙江牡丹江月考） ． 题型2：复数的实部与虚部 5．（2024高二·广东月考）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 6．（2025高二·云南·期中）已知，，若，则z的虚部是（    ） A．-2 B．1 C．-2i D．2i 7．（2025高一·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． （二） 复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 题型3：复数的分类 8．（2025高一·全国月考）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为的虚数； (2)虚部为的虚数； (3)虚部为的纯虚数； (4)实部为的纯虚数． 9．（2025高一·山东青岛·期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 10．（2025高一·全国月考）向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·上海奉贤月考）若复数是实数，则实数 . 12．（2025高一·陕西宝鸡·期中）当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 13．（2025高一·天津和平·期末）若是纯虚数，则实数的值等于（    ） A．0或2 B．2或 C． D．2 14．（2025高一·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． （三） 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 题型4：复数相等的充要条件 15．（2025高一·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 16．（2025高一·全国·随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 17．（2025高一·全国·课堂例题）已知，求实数，的值． 18．（2025高一·全国月考）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 题型5：复数中的比较大小 19．（2025高一·全国月考）已知，且，则 . 20．（2025高一·全国月考）设，，且，若，则 ． 21．（2025高二·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ． （四） 复数的几何意义 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 题型6：复数的坐标表示 22．（2025高三·河北沧州月考）若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2025高一·新疆哈密·期末）四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为 ． 24．（2025高一·全国月考）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则 ． 25．（2025高一·全国·随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点： (1)； (2)； (3)； (4)5． 题型7：根据复数坐标特征求参数 26．（2025高一·全国月考）复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数的取值范围是 ． 27．（2025高一·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 28．（2025高一·全国·随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路： (1)不在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在实轴下方（不包括实轴）； (4)在虚轴右侧（不包括虚轴）； (5)第三象限． 29．（2025高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 30．（2025高三·全国月考）已知复数，若在复平面内对应的点在第二象限，则m的取值范围为 ． 31．（2025高一·安徽宿州·期中）在复平面内，复数为虚数单位的共轭复数对应的点在第 象限. 32．（2025高二·广东东莞月考）已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 题型8：复数与复平面内的向量 33．（2025高一·全国·课堂例题）写出下列复数对应的向量： ，，， 34．（2025高一·全国月考）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ． 35．（2025高一·河北张家口月考）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量，则对应的复数为（    ）    A． B． C． D． 36．（2025高一·全国月考）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 37．（2025·北京东城·模拟预测）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． （五） 复数的模及其应用 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 题型9：复数的模 38．（2025·全国·模拟预测）若，z为纯虚数，且，则（    ） A． B．5 C． D．3 39．（2025高一·辽宁·期末）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 40．（2025高二·全国月考）已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025高三·安徽月考）若，其中a，，是虚数单位，则（    ） A．2 B． C．3 D．5 42．（2025高一·全国·单元测试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 43．（2025高三·上海虹口·期中）设复数（i为虚数单位）且，若，则 ． 44．（2025·全国·模拟预测）已知复数（为虚数单位），若，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型10：与复数模有关的图形问题 45．（2025高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 46．（2025高一·全国月考）已知复数； (1)若，求实数的值； (2)若复数，且满足，求复数在复平面内所对应的点到的距离的最大值. 47．（2025高一·广东江门月考）若，为虚数单位，在复平面内所对应的点为，且， （1）求满足上述条件的点的集合是什么图形并且求该图形的方程； （2）的最小值． 48．（2025高一·广东东莞·期末）设复数i，i，记复数与分别对应复平面内的点和. （1）根据复数及其运算的几何意义，求和两点间的距离； （2）已知（为正实数）表示动点的集合是以点为圆心，为半径的圆.那么满足条件的点的集合是什么图形？并求出该图形的面积. （六） 共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. （2）几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.      （3）性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即，利用这个性质可证明一个复数为实数. 题型11：共轭复数 49．（2025高一·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 50．（2025高三·全国月考）若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 51．（2025高二·江苏扬州月考）已知复数，那么的虚部是 . 52．（2025高三·北京顺义·期中）在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 53．（2025高二·广东江门月考）设，，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则实数复数，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 54．（2025高一·新疆喀什·期末）设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 55．（2025高二·安徽滁州月考）在中，点分别对应复数，则点对应复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若（i为虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试题）已知复数，若为实数，则（    ） A．2 B．5 C．3 D．1 6．（江西省西路片七校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题）在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 7．（2025·四川南充·二模）已知复数，则（   ） A．0 B． C．2 D． 8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 9．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 10．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（24-25高二上·浙江金华·期中）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 15．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 16．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 17．（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 18．（24-25高一下·全国·课后作业）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题 19．（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 20．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 21．（24-25高一下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 22．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 23．（2025高三下·全国·专题练习）在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 24．（2025高三·全国·专题练习）复数z满足，则复数z的模的范围是 四、解答题 25．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 26．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 27．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 28．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 29．（24-25高一下·全国·课后作业）设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$