上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷

2025届复旦附中高三（下）3月月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1.己知集合{a2,a}={a,l},则a= 4-i-2i的虚部为 2.复数=1-i 3.函数y=V+x+n(2-x)的定义域为 4.过点4A(-la,B(a,8)两点的直线与直线4x-2y-5=0平行，则a的值为 5.已知扇形的半径为R,周长为3R,则其面积为 n(ad-bc)2 6.已知某独立性检验中，由Xa+bc+da+e0+dm=a+6+6+d计算出X=术0，若将2x2 列联表中的数据a,b,c,d分别变成4a,4b,4c,4d,计算出的x2=,则x是x的多少倍 7.无穷等比数列a,}满足：4+4=山，4+a=}则{a,}的各项和为 8.已知4,4，，4均为常数，（仁+-龙4对任意的实数x恒成立，则马= 9设=2 +b,若实数a,b满足a+b=0,且函数y=(x)的图像可以无限接近直线y=1但 又永远不相交，则不等式)>三的解集为 10。已知，尽分别为双曲线C:手卡=10>060)的左、右焦点，过R作C的两条新近钱的平行 线，与渐近线交于M.N两点若os∠MFV=},则C的离心率为 1l.对于任意b∈R,函数(x)=e-(2x+b)e-a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是 2已阳面前量a6瑞腿a163,者5=0-2a+36a,且语高，则m6-司胸 最小值为 第1页共5页 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13.日日新学习频道对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图.则其相关系数最大的是( 35 30 25 20 15 0 5 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为片 样本相关系数为r 35 30. 25 25 20 20 10H 10 5 5 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为3 样本相关系数为4 A. B.5 C.n D. 14.已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=1a+b(入，μeR),“1>0,且4>0"是“c(a+)>0” 的( )条件 A,充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 15、己知c-1-B是直二面角，直线a在平面a上，直线b在平面B上.若a、b均与1既不平行，也不垂直， 则a与b的位置关系是( ) A.可能垂直，也可能平行 B.可能垂直，但不可能平行 C.不可能垂直，但可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行 16.设无穷正数数列{an},如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=a,+a+a+…+an, 那么称{an}为“内和数列”，并令bn=m,称{b}为{an}的“伴随数列”，下列四个命题： ①若{a}为等差数列，则{a}为内和数列 ②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列 ③若内和数列{a}为递增数列，则其伴随数列{亿}为递增数列 ④若内和数列{an}的伴随数列{b}为递增数列，则{an}为递增数列 其中真命题的个数是( ) A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 第2页共5页 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17.已知函数f(x)=4V5 sinxcosx-4cos2x. (1)求函数f(x)的单调减区间： (2)如果函数(x)在(0，+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{an},求{an}的前12项和 18.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为 2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB 是圆柱下底面的一条直径，AA、BB,是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点. (1)若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积三，求该几何体的体积： B (2)若圆锥的高为1，求直线PB,与平面PAC所成角的大小. 第3页共5页 19.为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取i号零件， 测量其尺寸y(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据： y=2,，=2428， 觉=3018， (1)这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零 件数量： (2)若变量y与i存在线性关系，记y=m+6,求回归系数ā的值： (3)在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件 中有X对相邻序号的零件，求X的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5时均恰有2对相邻序号的零件 参考公式：)线性回归方程：：+有，其中-可 -,b=- 4 (2)期望的线性性质：E[∑X,]=∑E[X],其中X,是若干随机变量. 20如图，已知销后荐若=Q,6>g与精圆6舌+若-1有相同的宵心率，点P5到在精圆6 4 上.过点P的两条不重合直线，与椭圆E,相交于Q,H两点，与椭圆E2相交于A,B和C,D四点. (1)求椭圆E,的标准方程： (2)求证：S△Pp=S△eo: BO DP (3)若DHBP 设直线，的倾斜角分别为α，B,求证：a+B为定值. 第4页共5页 21、己知f(x)=2am3-(3a+1)x2+2x,若对于给定的a∈R及平面上一点M,函数y=f(x)的图像上存在 与M不同的一点(g,∫(q),使得直线Mg为函数y=f(x)在2点的切线，则称点M具有“性质P”, (1)判断点M(1,2)是否具有“性质P",并说明理由： (2)证明：“点M(x,y)具有性质P。”的充分必要条件是“y>2x-x2”; (3)若对于任意的非零实数a,直线x=c上的所有点均具有“性质P”,求实数c的值。 第5页共5页 2025届复旦附中高三（下)3月月考数学试卷 一、填空题 1.己知集合{a2,a={a,l,则a= 【答案】-1 【解析】由题意得，a2=1,解得a=-1或a=1, 当a=1时，集合为1，}，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当a=-1时，集合为1，-1}，满足题意， 2复数：吕五的虚部为 【答案】片 【解析】依题意，：=4-0+D-2i=5+31-25=- i,所以所求虚部为- 1-i01+) 2 22 2 3.函数y=√1+x+n(2-x)的定义域为 【答案】【1,2) 2-x>0 【解析】因为y=V1+x+ln(2-x),所以 1+x≥0解得-15r<2, 所以y=√1+x+血(2-x)的定义域为(-1，)： 4.过点A(-l,a),B(a,8)两点的直线与直线4x-2y-5=0平行，则a的值为 【答案】2 【解析】直线4r-2y-5=0的斜率为2，由平行直线斜率相等得2=8，六a=2. a+1 5.已知扇形的半径为R,周长为3R,则其面积为 【接米】号 【解析】因为扇形的半径为R,周长为3R, 所以扇形的弧长=3R-2R=R 所以扇形的圆心角等于α=尽，则扇形的圆心角的弧度数为 根报扇形面积公式S=R一方长=受 第1页共13页 nad-be)2 6.已知某独立性检验中，由Xo+bC+d)a+e0+dn=a+b+e+di计第出X=公≠0，若将2x2 列联表中的数据a,b,c,d分别变成4a4b,4c,4d,计算出的x2=x,则x2是的多少倍 【答案】4 nad-be)2 【解析】因为若a+bc+d)a+c6+d可' 4n(4a×4d-4b×4c)月 4n(ad-bc) 所以若a+4b4c+44n+4o4+4do+bc+a+96+可4行. 1 7.无穷等比数列{a}满足：4+a=l,4+a=4则{o,}的各项和为 【答案】 【解析】设无穷等比数列{an}的公比为9，{an}的前n项和为Sn, 则了合格-京解得g减9= 2 21 当g=时a+a,=a+4=1,解得a三，所以5=m5,=12g=3 1 当g=时a+4=4595,解得a=2,所以3=ms,=1二g月 程-+ 综上可得a的各项和为 巴4，一，4：均为常数，+°=a对任意的实数x恒成立 【答案】20 【解析】针对(x2+x)°的展开式的通项为：I1=Cgx246-x=Cgx2r, (2+x-2ax对任意的实数x恒成立，故a=C兮=20 +b,若实数a,b满足a+b=0,且函数y=f(x)的图像可以无限接近直线y=1但 又永远不相交，则不等式)>的解集为 【答案】{xk<-3或x>3} 【解析】因为x趋近n时，y=2a: 趋近于0， 第2页共13页 所以x趋近0时，=2 +b趋近于b,所以b=1,所以a=-1, 所以f(x)=-2 得”1，所以不等式>可化为”专 又因为y) 是减函数，所以>3，解得x<-3或x>3. 10、已知5，B分别为双曲线C:三卡=1口>06>0)的左、右焦点。过g作C的两条渐近线的平行 线，与海近线交于M,N两点，若cos∠，N=,则C的离心率为 【答案】 2 【解析】根据双曲线C: x2 y2 a"- =1(a>0,6>0)的对称性以及其两条渐近线y=±之x关于x轴对称， a 不妨设M在第一象限， 可知点M,N关于x轴对称，则∠MEE=∠NFF, 设∠MR=a,a∈(0，则cos∠MFN=cos2a= 即2cos2a-1=3 ,则a5 cosa=25】 3 b 由题意得直线MF的方程为y=-二(x-c), b y= -x 联立 a ，即得 2 b bc y=-2(x-c) a 2a bc 则 2a= 1b3 2() 2 a2' 所以C的离心率为e=C=, +白- a 2 1l.对于任意beR,函数∫(x)=e3-(2x+b)e-a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是 【答案】 4 【解析】依题意，任意的6均使得f()有且仅有一个零点，令)=0，得6=“-a-2x, e 第3页共13页 记函数g()=“0-2x,即g()与直线y=b有且仅有一个交点， ex 若g(x)的值域不是R,设g(x)的值域为M,则3beM,使得g(x)≠b,矛盾， 所以g(x)的值域为R,且为单调函数（否则与直线y=b存在至少两个交点）， 所以恒有gs0或g20,易得g)=20。”-2-(e-+。 当x>nv5且x>血@时，有g()>0,所以恒有g()≥0，得a≥2e-2e恒成立， 3 记m(x)=2e*-2e3",则m'(x)=2e*-6er=2e'1-3e2), 当x<-n5时，m'(x)>0,m(x)单调递增；当x>-nV5时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 所以m()的最大值为m(-n)=2y5_25_4W5 3 9 9 故实数a的取值范围是 2已知面向量a5满足1163.者=(2-2a+361eR,且得-则m65-可的 最小值为 【俗类】9 【解析】如图所示，设a=OA,6=0B,c=OC,2a=O4,3a=OA,36=0B, 因为c=(2-2)a+3b(1eR),所以c=(1-)OA+0B(1∈R), 因此点C在直线4，B上， 又曲于886 d6,因此0C是∠40B的角平分线， 因此点C是直线A,B与∠AOB的角平分线的交点. 根据角平分线的性质可： BC_OB =3 -1 C404621 过点C作08的平行线交04于点M,则0N=04=2CM=08=2. 因此点C在以M为圆心，半径为2的圆上运动由于cos(a,3a-c)=cos(OA,CA)=cos∠C4,0, 第4页共13页 由此当直线AC相切于⊙M时，∠C4O有最大值，cos∠CAO有最小值. 设此时切点为Co,则MC。=2,M4=7, 故cos∠C,40=35综合上述，c0s(a.30-c的最小值为35 二、单选题 13.日日新学习频道对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图则其相关系数最大的是( 35 30 25 20 15 10 5 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为r 样本相关系数为r2 35 35 0 0 25 20 0 10 5 5 0 5101520253035 0 5101520253035 样本相关系数为 样本相关系数为r4 A.万 B.5 C.5 D.n 【答案】A 【解析】由题图可知，，5所对应的图中的散点呈现正相关， 而且斯对应的散点图更接近直线，相关性比对应的相关性要强，故0<5<片， 乃，所对应的图中的散点呈现负相关， 而且5对应的散点图更接近直线，相关性比：对应的相关性要强，故5<”<0， 因此<方<5<片，故选：A. 14.已知a,b是两个不共线的单位向量，向量c=a+b(元4eR),“1>0,且Ⅱ>0”是“c(a+)>0” 的( )条件 A.充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 【答案】B 【解析】当入>0，且4>0时， 第5页共13页