第三讲函数与单调性四大基础题型+三大培优题型讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【第三讲：函数与单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础题型一：求已知函数的单调区间或证明单调区间（不含参数）】 知识讲解 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 例题精选 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 二、多选题 3．（2025·福建泉州·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．在区间上有4个零点 D．在区间内单调递减 相似练习 4．（2025·四川·一模）函数的单调递减区间为 ． 四、解答题 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围． 【基础题型二：已知单调性求参数的范围】 知识讲解 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 例题精选 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山西·开学考试）函数在上单调递增的充要条件是（   ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【基础题型三：讨论含参单调性的问题（主要四大类）】 知识讲解 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 例题精选 【类型一：一个零点型】 1.（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性； 【类型二：可因式分解型】 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； 【类型三：不可因式分解型】 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； 【类型四：两个零点型】 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 相似练习 1.（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； 2.（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调性. 3.（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调区间. 【基础题型四：利用单调性比较大小或解抽象不等式】 知识讲解 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 例题精选 1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【培优题型一：抽象函数的导函数构造（主要四大类）】 知识讲解 幂函数构造：1.对于不等式，构造 （注意的符号） 特别的：对于不等式，构造 2.对于不等式，构造（注意的符号） 特别的：对于不等式，构造 指数函数构造：1.对于不等式，构造 特别的：，构造 2.对于不等式，构造 特别的：构造 3.对于不等式，，构 对数函数构造：1.对于不等式，构造 三角函数构造：对于不等式，构造 对于不等式，构造 对于不等式，即，构造 对于不等式，构造 例题精选 【指数函数构造】1．（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知定义域为的函数，其导函数为，且,则（   ） A． B． C． D． 【三角函数构造】2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【幂函数构造】3．（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【对数函数构造】4．（2024高三·全国·专题练习）已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 相似练习 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【培优题型二：通过变量或数值构造函数比较大小】 知识讲解 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或者不等号两边，即可构造函数，然后利用单调性求解。 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小 例题精选 1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 4．（2023·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·四川成都·期中）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【培优题型三：朗博同构求参数范围】 知识讲解 1.跨阶同构的几个关键环节: （1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点. （2）凑形，例如：、、、、、， （3）利用切线放缩或者函数模型的最值求解 2.常见同构式: （1）与型：，； （2）与型：，. 例题精选 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 2．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）对，恒成立，则a的最小值为 . 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 相似练习 5．（2025高三下·全国·专题练习）已知不等式对上恒成立，则实数的最小值为 ． 6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若，则实数的最大值为 . 7．（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 8．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若对恒成立，则实数a的取值范围为 【解题总结】 当遇到复杂的指对混合式，且一般情况下限定了x的取值范围时就可以考虑使用朗博同构。另外，对于式子中除x之外的未知数一般是以偶数个出现。同时当ex前方出现系数时一般都要考虑将系数放在次方的位置上，一般是x=eInx等。同时e的次数一般都要加或减对于次数上的式子。特别提醒：做此类题不只是有关ex与Inx，还可能是2x，log2x之类的。同时也要对六大母函数牢记于心。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 9．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 11．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 12．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 2024-2025高二下学期常考题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【第三讲：函数与单调性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础题型一：求已知函数的单调区间或证明单调区间（不含参数）】 知识讲解 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 例题精选 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间. 【详解】因为，所以， 令，则， 根据四个选项，可知 则，所以，所以， 所以的单调递增区间为， 因为，所以为函数的一个单调递增区间. 故选：B. 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）设函数  ，的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得单调递减区间. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：C 二、多选题 3．（2025·福建泉州·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．在区间上有4个零点 D．在区间内单调递减 【答案】AD 【分析】A选项，和的最小正周期，得到的最小正周期；B选项，，B错误；C选项，变形得到，令得或，从而得到在区间上有5个零点，C错误；D选项，求导，得到在上恒成立，D正确. 【详解】A选项，的最小正周期为，的最小正周期为， 两者的最小公倍数为，故的最小正周期为，A正确； B选项，， 故曲线不关于直线对称，B错误； C选项，， 令得，故或， 因为，所以的解为，，，，， 的解为，，， 综上，在区间上有5个零点，C错误； D选项， 当时，，， 即，所以在区间内单调递减，D正确 故选：AD 相似练习 4．（2025·四川·一模）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 四、解答题 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求的单调递增区间． (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求解函数单调性，利用辅助角公式化简导数，再根据正弦函数性质即可得解. （2）将不等式恒成立问题转化为对任意的恒成立，构造新函数，根据新函数的导数判断其单调性，分情况讨论即可得解. 【详解】（1）时，， 令， ，. 则的单调递增区间为：. （2）， 则时，恒成立， 等价于时，恒成立. 令，则 令，则， 即在上单调递增，且，则,即. 当时， ，则在上单调递增. 又，则时，.即时恒成立. 当时，， 则存在，使得在上恒成立，故在上单调递减， 则不符题意. 综上可知，当，恒成立时，. 6．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在，单调递增，在，单调递减. (2) 【分析】（1）先将代入函数，然后对求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间. （2）当时，通过移项参变分离变形，构造新函数，利用导数研究新函数的性质来确定实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或， 当或时， 当或时， 所以在，单调递增，在，单调递减. （2）因为时，， 所以，得， 即， 令， 则， 令，且在上单调递增，且， 所以，当时，，即当时，，即 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故 【基础题型二：已知单调性求参数的范围】 知识讲解 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 例题精选 1．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题干问题转化为在区间上恒成立，参变分离得，利用对勾函数单调性求得，即可得解. 【详解】由已知得， 函数在区间上单调递增， 在区间上恒成立． 对于恒成立． 而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减， ． 的取值范围是． 故选：D 3．（24-25高三下·山西·开学考试）函数在上单调递增的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【详解】∵函数在单调递增，∴， 即在上恒成立．令，由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴是函数在单调递增的充要条件． 故选：A 相似练习 4．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性与导数的关系得到恒成立即可求解； 【详解】， 依题意，恒成立， 令，， 由，可得：，由，可得：， 所以在单调递减，在单调递增； 所以的最小值为， 所以，解得， 故选：B 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 6．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 【基础题型三：讨论含参单调性的问题（主要四大类）】 知识讲解 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 例题精选 【类型一：一个零点型】 1.（24-25高三下·河北·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由解得；由解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，由解得；由解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【类型二：可因式分解型】 1．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 【类型三：不可因式分解型】 1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； 【详解】（1）函数定义域为，． 当时，，在上是增函数； 当时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 【类型四：两个零点型】 1．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）， 当时，恒成立， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， 则当，即时，恒成立，即在上单调递增； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 相似练习 1.（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数. (1)讨论单调性； 【详解】（1） 当时，，在上单调递增； 当，令 且当时，，单调增； 当时，，单调递减 综上：当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减. 2.（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调性. （2）函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. 3.（2024·山东枣庄·一模）已知. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意知定义域为， 且. 令， ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，，记的两根为， 则，且. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (2)讨论的单调区间. 【详解】 （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【基础题型四：利用单调性比较大小或解抽象不等式】 知识讲解 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 例题精选 1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合基本不等式可求解函数的单调性，结合奇偶性可将问题转化为，利用三角函数的性质求解最值即可得解. 【详解】因为，则， 则在上单调递增，因为，所以是奇函数. 因为等价于， 所以，即恒成立， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数，记则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义法可得函数为奇函数，利用导数可得在上单调递增，由此可比较函数值的大小. 【详解】∵函数定义域为，， ∴为奇函数，故. 由题意得，. ∵，当且仅当时等号成立，， ∴，即在上单调递增. ∵， ∴. 故选：B. 相似练习 4．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 【详解】由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 6．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 【培优题型一：抽象函数的导函数构造（主要四大类）】 知识讲解 幂函数构造：1.对于不等式，构造 （注意的符号） 特别的：对于不等式，构造 2.对于不等式，构造（注意的符号） 特别的：对于不等式，构造 指数函数构造：1.对于不等式，构造 特别的：，构造 2.对于不等式，构造 特别的：构造 3.对于不等式，，构 对数函数构造：1.对于不等式，构造 三角函数构造：对于不等式，构造 对于不等式，构造 对于不等式，即，构造 对于不等式，构造 例题精选 【指数函数构造】1．（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知定义域为的函数，其导函数为，且,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，对求导，结合条件，得到在上单调递减，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】令，则， 又，，所以，即在上单调递减， 对于选项A，因为，所以，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C错误， 对于选项D，，所以，故选项D错误， 故选：B. 【三角函数构造】2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 【幂函数构造】3．（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D 【对数函数构造】4．（2024高三·全国·专题练习）已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又， 所以，即不等式的解集为． 故选：D 相似练习 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件构造函数，再结合导数判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】设函数，则， 所以函数在上为减函数，因此，即， 所以． 故选：B 【培优题型二：通过变量或数值构造函数比较大小】 知识讲解 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或者不等号两边，即可构造函数，然后利用单调性求解。 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小 例题精选 1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，根据题意可得，，，且，，，结合单调性分析判断. 【详解】设，可知函数的定义域为，且， 因为在定义域上单调递增，且， 若，则；若，则； 可得在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 可得，，， 即，，，且，，， 可知，且，，，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数，结合函数的单调性分析判断. 2．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 【详解】因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，因为， 所以单调递增，所以， 因为，，所以，故， 故，，故AB错误， 因为在上单调递减， 所以，即，C错误， 又在上单调递减， 所以，即,D正确， 故选: D． 4．（2023·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 相似练习 5．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设函数，比较的大小，再设函数，比较1，，的大小即可. 【详解】解：设函数，则， 当时，，故在上单调递减， 因为，所以， 即， 所以． 设函数，易知为增函数， 因为，所以，即， 所以， 即． 故选：C． 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将，构造函数，研究单调性，进而比较大小即可. 【详解】构造函数，可得， 当时，单调递减， ， 由，故，即. 故选：C. 7．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边取对数得，令，通过导数判断函数单调性即可. 【详解】由题意，因为， 所以等式两边取对数化解得， 令， 所以， 当时，即，在单调递增； 当时，即，在单调递减； 因为， 且， 所以， 所以. 故选：D. 8．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，分析可得，，，利用导数判断，结合单调性判断比较大小. 【详解】由题意可得：，，， 构建， 可得，，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，即，且， 所以. 故选：B. 9．（23-24高二下·四川成都·期中）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性判定选项即可. 【详解】令，则， 显然，即在上单调递增， 而，，即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即A错误； 易知，则，即C正确； 且，即B错误； 由于与大小不确定，则的大小不能确定，即大小不确定， 如其中有时，，故D错误. 故选：C 【培优题型三：朗博同构求参数范围】 知识讲解 1.跨阶同构的几个关键环节: （1）指对各一边，参数是关键，凑形是难点. （2）凑形，例如：、、、、、， （3）利用切线放缩或者函数模型的最值求解 2.常见同构式: （1）与型：，； （2）与型：，. 例题精选 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先将不等式同构变形，转化为，利用函数的不等式解抽象不等式，再利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】， ， 设，，函数单调递增， 即，则， 即， 设，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对不等式进行同构变形，，从而转化为利用导数分析函数性质问题. 2．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）对，恒成立，则a的最小值为 . 【答案】/ 【分析】对不等式变形，同构函数，利用单调性转化后分离参数，求函数最值得解. 【详解】，， 令，则， 由有意义知，，所以， ∵，∴单调递增， ∴， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故时，， 故当即时，， 所以，即. 故答案为： 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，转化不等式，将问题转化为求函数最值问题求解即可. 【详解】由，得，变形得，所以， 令，则， 当时，，所以在上为增函数， 若，则不等式恒成立；若，则，， 所以恒成立，即恒成立， 设，，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 所以的最大值为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为，对恒成立，构造函数，利用函数单调性可得，即，对恒成立，利用导数求出的最大值得解. 【详解】由恒成立，即，对恒成立， 整理得，对恒成立， 令，易知在上单调递增， 则上式为，则，即， 整理得，对恒成立， 令，则， 可得，，单调递增， ，，单调递减，则， 所以. 故答案为：. 相似练习 5．（2025高三下·全国·专题练习）已知不等式对上恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，设，利用导数求得其单调区间，然后按照，和分类讨论，运用参变分离和构造函数法，运用导数求单调性及最值，综合三种情况即可求解. 【详解】可变为， 再变形可得，，设， 原不等式等价， ，令得，令得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 当时，，所以由，可得， 因为，所以． 设， 令得，令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 当时，不等式在上恒成立； 当时，，无论是否存在， 使得在上恒成立，都可判断实数的最小值为． 故答案为： 6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后由导数知识求出最值可得答案. 【详解】. 因函数均在上单调递增，则在上单调递增. 又，则. 构造函数，则. ，则在递减，在上递增. 则，故. 故答案为： 7．（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 8．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若对恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】通过变形将条件化为恒成立，构造函数判定其单调性，将问题转化为，再利用导数研究的单调性及最值计算即可. 【详解】两边同乘以后移项，得，即. 令，则有， 由知，所以在上单调递增. 因为，所以，所以， 令， 显然当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以. 故答案为：. 【解题总结】 当遇到复杂的指对混合式，且一般情况下限定了x的取值范围时就可以考虑使用朗博同构。另外，对于式子中除x之外的未知数一般是以偶数个出现。同时当ex前方出现系数时一般都要考虑将系数放在次方的位置上，一般是x=eInx等。同时e的次数一般都要加或减对于次数上的式子。特别提醒：做此类题不只是有关ex与Inx，还可能是2x，log2x之类的。同时也要对六大母函数牢记于心。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）函数满足，则正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2025高三下·全国·专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 9．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)． 11．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 12．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 2024-2025高二下学期常考题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D B AC BC 1．B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数，求导得， 依题意，恒成立，令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 因此，则，解得，所以a的取值范围为. 故选：B 2．B 【分析】构造，结合已知得在上单调递增，利用单调性比较函数值大小，即可得答案. 【详解】令，则． 由，均有，即，则在上单调递增， ，可得． 故选：B 3．D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 4．B 【分析】由已知等式变形可得出，，构造函数，利用导数分析函数的单调性，数形结合得出、、的大小关系. 【详解】因为，，则，， 可得，即，，即， 由可得，则， 构造函数，其中，， 由，可得，由，可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 由上可知，，则， 由于，，则，， 所以，，所以，即， 如下图所示：    由图可得， 故选：B. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 5．AC 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调，再比较大小即得. 【详解】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，，则，D错误. 故选：AC 6．BC 【分析】根据题设构造函数，利用导数运算得在上单调递增，从而利用单调性得，，，，即可比较四个选项式子的大小. 【详解】令， 对于任意的， 所以在上单调递增， 所以，A不对； ，B正确； ，C正确； ，D不对． 故选：BC 7． 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 8． 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 9． 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 10．(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； （2）先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； 【详解】（1）． 令，解得， 因此函数的单调递增区间为． 令，解得或， 因此函数的单调递减区间为． （2）函数的定义域为． ． 因为，所以． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，解得．又， 所以函数的单调递减区间为． 11．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案； （2）求导，分、、、讨论，可得答案. 【详解】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 12．在上单调递减，在上单调递增． 【分析】求的定义域以及求导，设，运用都在上单调递增，即可求解. 【详解】函数的定义域为，所以， 设，因为都在上单调递增，所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增． 所以在上单调递减，在上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$