第二讲：导数的运算七大常考题型归纳讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

【第二讲：导数的运算】 【基础题型一：基本初等函数的导数】 一、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 1．（24-25高二上·福建三明·期末）设函数，则（ ）． A．0 B． C． D．以上均不正确 【答案】C 【分析】求出导函数，即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）下列各式正确的是（ ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断. 【详解】对于A，，该选项错误； 对于B，，该选项正确； 对于C，是个常数，所以，该选项错误； 对于D，，该选项错误； 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列求导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据常见基本初等函数的求导法则得到答案. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 【多选】4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）下列求导数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用初等函数的导数公式,分别求出选项中函数的导函数即可求解. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确． 故选：ABC. 三、解答题 5．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据基本初等函数的求导公式进行求导即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）∵， ∴． 6．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）应用指数函数导函数公式计算即可； （2）应用指数函数导函数公式计算即可； （3）应用常函数导函数公式计算即可； （4）应用对数运算及对数函数导函数公式计算即可； （5）应用二倍角余弦公式及余弦函数导函数公式计算即可； 【详解】（1）． （2）． （3）∵是常数函数，∴． （4）∵，∴． （5）∵，∴． 【基础题型二：导数的四则运算法则】 导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 1．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据求导法则可得. 【详解】（1）． （2）∵， ∴. （3）． （4）. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的四则运算求解即可； （2）由导数的四则运算求解即可； （3）法一，法二：由导数的四则运算求解即可； 【详解】（1）， （2） （3）方法一 ： ， ； 方法二： ； 3．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据初等函数求导法则求解即可； （2）根据两函数积的求导法则求解即可； （3）根据两函数商的求导法则求解即可； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）方法一：先展开后再求导；方法二：利用乘法的求导法则进行求导； （2）先变形得到，利用求导法则进行计算； （3）利用求导法则直接进行计算即可； （4）利用求导除法法则计算出答案. 【详解】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 【基础题型三：简单的复合函数求导法则】 复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 1．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可； （2）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可. 【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. （2）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复合函数的求导法则求解即可； （2）由复合函数的求导法则求解即可； （3）由复合函数的求导法则求解即可； 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 （3）函数可以看作函数和的复合函数， ， 所以. 3．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则和复合函数的导数法则即可求解. 【详解】（1）设， 所以. （2）设，则. 所以. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导法则求导即可. 【详解】（1）设，， 则 ． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，， 则． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【详解】（1）∵， ∴． （2）． （3）∵， ∴． 6．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用导数的四则运算与复合函数的导数公式求解即可.其中第（4）小问可先化简再求导. 【详解】（1）. （2） （3） （4）， 由， . 【重点题型一：求某点处的切线方程】 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 2．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 二、填空题 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式求出切点坐标，继续对函数求导，切点处的导数值就是切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得. 4．（24-25高二下·上海·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故答案为：2. 5．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的运算求出原函数的导函数，应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，且，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 6．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】借助导数的几何意义计算可得曲线在处的切线，再计算出圆的圆心到该切线的距离，最后利用垂径定理计算即可得解. 【详解】，则， 则曲线在处的切线为， 圆的圆心，半径， 则点到的距离， 则弦长. 故答案为：. 【重点题型二：求过某点的切线方程】 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 1．（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果. 【详解】设，由，得， 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 都满足直线， 直线的方程为. 故选：A 2．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可. 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【详解】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 二、填空题 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 【重点题型三：切线的平行垂直求切线倾斜角问题】 直线倾斜角 定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角。 范围：倾斜角的取值范围是。 与斜率的关系：直线的斜率与倾斜角（）的关系为。 切线的平行 判定条件 从斜率角度：两条切线平行，它们的斜率相等。对于函数，若在点和处的切线平行，则。 从倾斜角角度：两条切线的倾斜角相等，则两切线平行。因为倾斜角相等时，根据，其斜率也相等。 切线的垂直 判定条件 从斜率角度：两条切线垂直，它们的斜率之积为，即若两条切线的斜率分别为和，则。 从倾斜角角度：设两条切线的倾斜角分别为和，当时，两条切线垂直。根据斜率与倾斜角的关系，可得。 1．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 2．（2025高三下·全国·专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定切线的倾斜角的范围，转化为恒成立问题，求解的范围即可. 【详解】因为，所以， 因为曲线在点处的切线的倾斜角，即切线的斜率， 所以对于任意的恒成立， 即对任意恒成立，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以a的取值范围是． 故选：D. 3．（24-25高二上·河南周口·期末）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义确定切线斜率的取值范围，再分类讨论求倾斜角的取值范围. 【详解】因为，所以， 设，则以为切点的直线的斜率. 当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角. 综上直线的倾斜角. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 二、填空题 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则 . 【答案】0 【分析】结合求导公式求，由条件结合导数的几何意义列方程求. 【详解】由题意得，则， 因为， 所以， 因为曲线与曲线在点处的切线互相垂直， 所以， 即，解得 故答案为：. 6．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率关系可得切线斜率为，再由导数的几何意义可得，解不等式可得结果. 【详解】设， 由倾斜角的取值范围为可得切线斜率为， 又由可得， 因此可得，解得， 因此点横坐标的取值范围为. 故答案为： 【重点题型四：公切线问题】 ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 1．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，利用导数求出曲线在处的切线方程，以及曲线在处的切线方程，根据两切线重合可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出、的值，即可得解. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 对函数求导得，对函数求导得， 则曲线在处的切线方程为，即， 曲线在处的切线方程为， 即， 所以，解得， 故，，所以． 故选：C． 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数几何意义可分别用和表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可. 【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点， ， ∴曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求导数中的公切线问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题. 5．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【答案】9 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由，得. 又∵直线l的斜率为，∴. 又点在直线和曲线上，∴. 联立①②可得，故直线l的方程为. 设直线与曲线相切于点.由，得. 又∵直线l的斜率为3，. 又点在直线和曲线上，∴ 联立，解得，. 故答案：9. 6．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 【答案】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（ ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 . 8．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 9．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 10．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 四、解答题 11．（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 2024-2025高二下学期常考题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C B D AD 1．C 【分析】利用导数的运算法则逐项求导判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2．D 【分析】求导可得，进而求解. 【详解】，，所以， 所以. 故选：D 3．C 【分析】根据导数几何意义，求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 故函数在点处切线的斜率为，即. 故. 故选：C. 4．B 【分析】利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可. 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 5．D 【分析】由题意结合函数图象变换整理新函数，利用对称性可得其奇偶性，根据导数与切线斜率的关系，可得答案. 【详解】因为关于点中心对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数，所以，解得， 故，且，故切线斜率为. 故选：D. 6．AD 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 7．3 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直即可求解. 【详解】函数的导函数为， 故函数在处的切线的斜率为. ∵直线的斜率为，切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：3. 8．或(写出其中一条即可) 【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程. 【详解】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 9． 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 10．9 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 11．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （2）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （3）由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （4）先化简函数式，由基本初等函数的导数，导数的四则运算求解； （5）由基本初等函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数的相关公式和运算求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）， ． （5）令， 则， 即． 12．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用常数函数的导数公式计算； （2）利用先化成指数幂的形式，然后利用幂函数的导数公式计算； （3）利用指数函数的导数公式计算； （4）利用对数函数的导数公式计算. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． $$【第二讲：导数的运算】 【基础题型一：基本初等函数的导数】 一、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 1．（24-25高二上·福建三明·期末）设函数，则（ ）． A．0 B． C． D．以上均不正确 2．（24-25高二上·全国·课后作业）下列各式正确的是（ ） A． B．，且 C． D． 二、多选题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列求导数运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【多选】4．（24-25高二上·安徽合肥·期末）下列求导数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 5．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 6．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【基础题型二：导数的四则运算法则】 导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 1．（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型三：简单的复合函数求导法则】 复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 1．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 3．（22-23高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 6．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【重点题型一：求某点处的切线方程】 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 4．（24-25高二下·上海·开学考试）曲线在点处的切线的斜率为 ． 5．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为 ． 6．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 【重点题型二：求过某点的切线方程】 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 1．（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期末）经过点所作曲线的切线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【重点题型三：切线的平行垂直求切线倾斜角问题】 直线倾斜角 定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角。 范围：倾斜角的取值范围是。 与斜率的关系：直线的斜率与倾斜角（）的关系为。 切线的平行 判定条件 从斜率角度：两条切线平行，它们的斜率相等。对于函数，若在点和处的切线平行，则。 从倾斜角角度：两条切线的倾斜角相等，则两切线平行。因为倾斜角相等时，根据，其斜率也相等。 切线的垂直 判定条件 从斜率角度：两条切线垂直，它们的斜率之积为，即若两条切线的斜率分别为和，则。 从倾斜角角度：设两条切线的倾斜角分别为和，当时，两条切线垂直。根据斜率与倾斜角的关系，可得。 1．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 2．（2025高三下·全国·专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南周口·期末）以正弦曲线上一点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角范围是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高三下·湖北·开学考试）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则 . 6．（24-25高二下·吉林白山·开学考试）设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 【重点题型四：公切线问题】 ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 1．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A．2 B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 5．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 6．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川遂宁·期中）若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（ ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·山东济宁·开学考试）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为 . 8．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 9．（2024·四川·模拟预测）若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 10．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 四、解答题 11．（2025高三下·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 2024-2025高二下学期常考题型归纳 2 学科网（北京）股份有限公司 $$