第一讲：导数的概念以及几何意义六大题型归纳讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【第一讲：导数的概念以及几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：平均变化率和瞬时变化率】 知识讲解 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 四、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C 3．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解. 【详解】由题得所求平均变化率为. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 相似练习 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 6．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 7．（24-25高二上·全国·课后作业）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】由瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以． 故选：D． 8．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【分析】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【详解】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 【题型二：导数的概念】 知识讲解 定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数： 例题精选 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】由， 故选：B 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 3．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故选：D 相似练习 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 【答案】B 【分析】由导数的定义变形即可求解. 【详解】. 故选：B． 5．（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 6．（22-23高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 【题型三：导数的几何意义】 知识讲解 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【注意】 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 例题精选 1．（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 2．（20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）相似练习    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 4．（21-22高二下·浙江杭州·期中）已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（    ） A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是 C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是 【答案】D 【分析】根据图像，利用导数的定义，化简，然后，逐个选项进行判断即可. 【详解】如图所示，的最大值为，最小值为． 由导函数的定义，得． 则的最大值是，最小值是. 故选：D 5．（20-21高二下·广东佛山·期末）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ） A． B． C． D．   【答案】A 【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可. 【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A. 故选：A. 【题型四：在某点出的切线方程或斜率】 知识讲解 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 例题精选 1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为 =， 所以， 则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 二、填空题 2．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 3．（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 相似练习 4．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义结合导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以的图象在点处的切线的斜率. 故答案为：. 三、解答题 5．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可； （2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可. 【详解】（1）； 故； 则． 故． （2）切线的斜率为函数在处的导数，又， 所以曲线在点的切线方程为，即. 【题型五：过某点的切线方程】 知识讲解 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 例题精选 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】由导数的定义以及几何意义得切线斜率，由此即可得解. 【详解】因为， 又点在曲线上， 所以，∴所求切线的斜率， 故所求切线的方程为，即. 故答案为：. 二、解答题 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】或. 【分析】设所求切线与曲线相切于点，根据导数的定义求得切线斜率，列方程求，进而可得切线方程. 【详解】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 3．（2022高二·全国·专题练习）求曲线过点的切线方程．相似练习 【答案】或 【分析】设切点为，得切线斜率为2a，，由得，进而利用点斜式求得切线方程. 【详解】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得，所求的切线方程为或, 所以所求的切线方程为或． 4．（2021高二·全国·专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程． 【答案】或 【分析】首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解. 【详解】设切点坐标为，则， ∵ , 所以切线方程为． 因为切线过原点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或. 5．（21-22高二·湖南·课后作业）求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程. 【答案】3x－y+2＝0和3x－4y－1＝0 【分析】利用导数的定义，结合导数的几何意义，即可求解切线方程. 【详解】设所求切线的切点坐标为，则. 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于， 所以曲线在切点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为. 因为切线过点(－1，－1)， 所以，即，解得或， 即所求的切线有两条，方程分别是y＝3x＋2和， 即3x－y+2＝0和3x－4y－1＝0. 【题型六：导数的几何意义的应用】 知识讲解 例题精选 1．（2023·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】D 【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力. 【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为. 对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力， 乙企业的污水治理能力.由图可知，， 所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误； 对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率， 但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误； 对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量， 故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误； 对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中， 在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确， 故选：D. 2．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由，得在上单调递增，因为，所以， 故A不正确； 对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示， 由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以，故B不正确； ，表示点与点连线的斜率， 由图可知，所以D正确，C不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型. 相似练习 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】ABC 【分析】首先分别表示出，再根据选项A、B比较大小即可；选项C可根据图象，瞬时速度的几何意义可判断；选项D，可以通过观察曲线在各点处的切线的斜率，即可判断. 【详解】由题意可知：，，， 由图象可知且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以A选项正确； 由， 可得， 故成立，选项B正确； 选项C，设,,分别作出直线； ,, 瞬时速度的几何意义就是时刻曲线的切线的斜率； 由图象可知，存在，曲线在点处的切线斜率与相等， 即存在，使得， 故C选项正确； 选项D，t时刻的瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确； 故选：ABC 三、填空题 5．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 【答案】 【分析】对利用导数的几何意义，再结合的几何意义，问题转化为比较三条直线的斜率大小，利用数形结合的方法得到答案. 【详解】分别为函数在处的切线斜率， 时点两点连线的斜率， 如图，自左向右，三条直线的斜率分别为，其倾斜角从左到右，依次减小， 且均为锐角，根据正切函数单调性可知，. 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二·全国·课堂例题）一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若上的可导函数在处满足，则 ． 8．（2025高三·全国·专题练习）函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即 ． 三、解答题 9．（22-23高二下·全国·课后作业）求曲线在点处的切线方程. 10．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 11．（21-22高二下·全国·课后作业）已知曲线 (1)求过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 四、判断题 12．（2025高三下·全国·专题练习）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内为常数函数．( ) 2024-2025高二下学期常考题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C B C B 1．D 【分析】由导数的定义求解即可； 【详解】; 故选：D 2．C 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 3．C 【分析】利用导数的定义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 4．B 【分析】由导数的定义变形即可求解. 【详解】. 故选：B． 5．C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 6．B 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】由， 故选：B 7．6 【分析】导数的定义可得答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 8． 【分析】略 【详解】函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即， 故答案为： 9． 【分析】根据切线斜率的定义及导数的概念求解. 【详解】因为点在曲线上，所以过点的切线的斜率为 ， 故所求切线方程为， 即. 10．(1)； (2)或． 【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可. 【详解】（1） ， 当时，， 所以函数的导函数为． （2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率， 则切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 从而切线方程为或． 11．(1) (2)或 【分析】（1）根据导数的定义求出函数的导函数，设过点的切线的切点为，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设斜率为的切线的切点为，根据导数的几何意义求出参数，从而可得出答案. 【详解】（1）， 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率， 因为点，在切线上，所以， 解得，故切线的斜率， 故曲线过点的切线方程为，即； （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1），知，得， 所以切点坐标为或， 故满足斜率为的曲线的切线方程为或， 即或. 12．正确 【分析】区间内导数值恒为0，对应函数为常数函数，即可判断. 【详解】区间内导数值恒为0，对应函数为常数函数， 故答案为：正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【第一讲：导数的概念以及几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：平均变化率和瞬时变化率】 知识讲解 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 四、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 相似练习 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 7．（24-25高二上·全国·课后作业）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 8．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【题型二：导数的概念】 知识讲解 定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数： 例题精选 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·期中）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 相似练习 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 5．（22-23高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（22-23高二下·重庆·期末）若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【题型三：导数的几何意义】 知识讲解 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【注意】 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 例题精选 1．（24-25高三上·河南·期中）如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）相似练习    A． B． C． D． 4．（21-22高二下·浙江杭州·期中）已知的导数存在，的图象如图所示，设是由曲线与直线，及x轴围成的平面图形的面积，则在区间上（    ） A．的最大值是，最小值是 B．的最大值是，最小值是 C．的最大值是，最小值是 D．的最大值是，最小值是 5．（20-21高二下·广东佛山·期末）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（    ） A． B． C． D．   【题型四：在某点出的切线方程或斜率】 知识讲解 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 例题精选 1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 二、填空题 2．（22-23高二下·安徽马鞍山·期中）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 ． 3．（24-25高三·上海·课堂例题）曲线在点处的切线方程是 . 相似练习 4．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为 ． 三、解答题 5．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 6．（23-24高二下·河南驻马店·期中）已知曲线，求： (1)的导数； (2)曲线在点处的切线方程. 【题型五：过某点的切线方程】 知识讲解 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 例题精选 1．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线方程为，则过点且与曲线相切的直线方程为 .. 二、解答题 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 3．（2022高二·全国·专题练习）求曲线过点的切线方程．相似练习 4．（2021高二·全国·专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程． 5．（21-22高二·湖南·课后作业）求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程. 【题型六：导数的几何意义的应用】 知识讲解 例题精选 1．（2023·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）    A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 2．（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，且对，，且总有，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 3．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 三、填空题 5．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数的导函数为, 记 ，则A，B，C的大小关系是 .（按从小到大的顺序排列） 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二·全国·课堂例题）一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．2 2．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）若上的可导函数在处满足，则 ． 8．（2025高三·全国·专题练习）函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即 ． 三、解答题 9．（22-23高二下·全国·课后作业）求曲线在点处的切线方程. 10．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 11．（21-22高二下·全国·课后作业）已知曲线 (1)求过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 四、判断题 2024-2025高二下学期常考题型归纳 12．（2025高三下·全国·专题练习）如果函数在某个区间内恒有，则在此区间内为常数函数．( ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$