精品解析：山东省临沂市沂水县四十里堡镇初级中学2024-2025学年九年级下学期第一次数学模拟考试

2024-2025学年度下学期九年级素养测试 数学试题 （分值：120分，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2.  截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 5. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是1500 B. 这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C. 在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D. 若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计的应用，熟练掌握利用统计图表进行数据分析的方法是解决问题的关键．根据统计图表中的数据对选项中的每个结论进行判断即可找出正确答案． 【详解】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确； ，故B不正确； 96°，故C不正确； 以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正确． 故选：D． 7. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中， 反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上， ，在第二象限， 又， ， 又在第四象限， ， ， 故选：． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 9. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，优弧与劣弧相加等于整个圆，则的长度一致， 即当时，，故B选项正确， A，C，D选项不一定成立 故选：B． 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 单项式的次数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 12. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 13. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 14. 如图，有一个半径为 2dm的圆形时钟，其中每相邻两个刻度间的弧长均相等，连接圆心与9点和11点的位置，则钟面中阴影部分的面积为______________dm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据9点和11点的位置可知圆心角为，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可知：圆心角为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 15. 将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴在第行，第2列， ∴，， 故答案为：． 16. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，正确理解题意，利用转化思想是解题的关键． 由题意得“纵两倍点”在直线上，即问题化为直线与抛物线在时有两个交点，找出两个临界状态即可求解． 【详解】解：由题意得“纵两倍点”在直线上， 即问题化为直线与抛物线在时有两个交点， 记交点为，直线与直线交点记为， 当点A与点C重合时，如图： 将代入得：， 解得：，此时符合题意； 当时，如图， 当直线与抛物线只有一个交点时， 联立直线与抛物线， 得， ∴ 则， 解得：， ∴要满足存在两个“纵两倍点”， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值） 【答案】（1）；（2）化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，乘方相反数，二次根式的估算，熟练掌握这些定义和运算法则是解题的关键． （1）先利用零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，乘方计算，再进行加减； （2）先利相反数的定义和二次根式的估算得出，，再化简分式，代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）依题意，，且为整数， 又∵， 则， ； 当，时，原式． 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【答案】（1）8.3 8.5 7 （2）估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名 （3） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人，根据平均数的定义计算可得甲组的平均数；从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人；根据中位数的定义可以得到乙组的中位数为、众数为； （2）计算出抽取的人中得分及以上的人的数量占总人数的比例为，用九年级总人数计算出九年得分及以上的人的数量； （3）运用列表法表示出随机抽出人总共有种情况，其中抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种情况，从而得到抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为． 【小问1详解】 解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； 【小问2详解】 （名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； 【小问3详解】 将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键． 19. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 21. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 【答案】（1）证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 22. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A． （1）直接写出抛物线的解析式______，点A的坐标______； （2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3）6或 【解析】 【分析】（1）根据直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，确定，，代入抛物线解析式，解方程组确定b，c的值，解抛物线解析式函数值为0时的方程，确定A的坐标即可． （2）过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交于点F，则，于是得证，得到，设，确定，构造为函数，以m为自变量的二次函数，根据函数最值解答即可． （3）根据题意，得，对称轴为直线，顶点坐标为，分类讨论，确定最高点，最低点，构造方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴，， 把，代入抛物线解析式，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，得， 解得， 故， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴，交于点E，过点A作轴，交于点F，则， ∴， ∴， 设， ∵直线的解析式为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为，且两个三角形为同高三角形， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当，取最大值为． 【小问3详解】 解：根据题意，得，故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当时，， 当时，，点，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴点是最低点，是最高点， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时，，点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵， ∴其关于对称轴的对称点为， ∴点在上方， 此时点为最低点，顶点为最高点， ∴， 解得，舍去； 当时，，点，在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵， ∴其关于对称轴的对称点为， ∴点在下方， 此时点为最低点，顶点为最高点， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，点，点在对称轴的右侧， 对称轴的右侧，y随x的增大而减小； ∴点是最高点，点为最低点， ∴， 解得（舍去）， 此时符合题意； 综上所述，符合题意的m的值为6或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的性质，一元二次方程的解法，分类思想的应用，熟练掌握二次函数的性质，解方程是解题的关键． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级素养测试 数学试题 （分值：120分，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题 30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2.  截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到，将数字3465000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ） A. 主视图会发生改变 B. 左视图会发生改变 C. 俯视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是1500 B. 这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C. 在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D. 若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 7. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 单项式的次数是________． 12. 关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）． 13. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 14. 如图，有一个半径为 2dm的圆形时钟，其中每相邻两个刻度间的弧长均相等，连接圆心与9点和11点的位置，则钟面中阴影部分的面积为______________dm2． 15. 将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则______． 16. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值） 18. 某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空：________，________，_________； （2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； （3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 19. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 21. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 22. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴另一交点为A． （1）直接写出抛物线的解析式______，点A的坐标______； （2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）若点，是抛物线图象上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值． 23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $