拓展6-1排列组合归类-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

拓展6-1排列组合归类 一、特殊元素问题 六、染色问题 二、（不）相邻问题 七、分组分配问题 三、定序问题 八、排数问题 四、多面手问题 九、上台阶及最短路径问题 五、隔板法 一、特殊元素问题 方法点拨：处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【答案】136080 【详解】方法一（位置分析法）：先排第二个节目，再排其他五个节目，则共有（种）． 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目，则有种排法；若不选女演员的独唱节目，则有种排法，则共有种排法． 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目，则共有（种）． 故答案为：136080 2．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 【答案】D 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 3．某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种． 【答案】 【详解】①若甲安排在周五，则乙有3种安排方法，余下的四人四天种安排方法，合计有种方法； ②同理，若乙被安排在周五，也有72种方法； ③若甲、乙都不被安排在周五， 则甲、乙可选周一、二、四三天中的两天即有种方法， 丙有余下四天中除周五的三天可选，即3种方法， 余下三人安排余下的三天，有种方法，合计有种方法， 综上不同的安排方法共种. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用特殊元素优先，先考虑周五的安排方案，结合讨论甲、乙、丙三位的安排情况计算即可. 4．如图,中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验,其中天和核心舱要安排人,问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人,且不在问天实验舱,则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）      【答案】 【详解】因为不在问天实验舱,且问天实验舱只安排人, 所以从另外人中任选一人安排在问天实验舱,有种方法; 从剩余的人中任选人安排在天和核心舱,剩余的人安排在梦天实验舱,共种方法, 由分步乘法计数原理可得,共有种方法. 故答案为:. 5．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为， 中间行必有一格填奇数3，9之一，另一个填入不含6的那一行，有种方法， 再排奇数1，5，7，有种方法， 因此每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数为， 所以每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率. 故选：B 二、（不）相邻问题 方法点拨：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 6．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 7．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 【答案】 2903040 725760 【详解】（插空法）8名学生的排列方法有种，隔开了9个空位， 在9个空位中排列2位老师，方法数为，由分步乘法计数原理， 2位老师不相邻总的排法种数为， 2位老师相邻的排法种数为． 故答案为：2903040；725760 8．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】B 【详解】乙车与货车甲相邻停放，货车甲占两个车位，则乙车只能停在货车甲的两边，有2种停法； 剩下三辆车在三个车位自由停放，有种停法； 则共有种停法. 故选：B. 9．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，得，所以展开式中的有理项有项， 把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列， 再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种. 故选：D. 10．马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有（   ） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 【答案】D 【详解】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，则需要用插空法分析： 先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，在5个空位中，任选3个， 安排熄灭的灯，故满足条件的关灯方法有（种）． 故选：D 三、定序问题 方法点拨：定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 11．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    12．小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【答案】A 【详解】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法． 故选：A. 13．现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 【答案】30240 【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：30240. 14．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 15．人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有 排法． 【答案】252 【详解】由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好， 第一步，先定前排， 法一，从10人中选5人按身高排好，有种方法， 法二，从10人中选5人排在前排的5个位置，有种方法， 由于5人排序方法有种，但根据题意按身高排列只一种排序方法， 故除以去序，即有种方法； 第二步，再定后排， 前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只1种排法. 由分步计数原理得，故共有种排法. 故答案为：252. 四、多面手问题 方法点拨：一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 16．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 17．杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 【答案】140 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种. 故答案为：140. 18．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有 种不同的选法． 【答案】12 【详解】由题意可对选出的电工2人木工2人分类： ①既会电工又会木工1人没入选，有种选法； ②既会电工又会木工1人入选充当电工，有种选法； ③既会电工又会木工1人入选充当木工，有种选法； 综上，共有种选法． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了分类讨论思想，合理分类、分步是解题的关键，属于基础题. 19．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】18种 【详解】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法． 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法； 从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法； 2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法． ∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法． 20．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有 种不同的选法．（用数字作答） 【答案】30 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有种选法， ②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有种选法， 则有种选法， 故答案为：30． 五、隔板法 方法点拨：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 21．某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 【答案】24310 【详解】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 22．不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 23．四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【答案】 84 286 【详解】将问题转化为有10个小球排成一排，利用隔板法可求正整数解、非负整数解的组数. 的正整数解的组数相当于在10个小球之间的9个空隙中插入3个隔板， 把球分为4组的方法数，即一共有种， 故第1空答案为84； 非负整数解的组数相当于的正整数解的组数，即的正整数解组数， 同样的方法看成14个小球排成一排，在13个空隙中插入3个隔板分成4组的方法数， 则共有：种. 故答案为：84；286. 24．把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 【答案】D 【详解】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法； 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有： 故选：D. 25．经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 【答案】A 【详解】将8堂数学课当做8个排成一列的相同的球，这八个球之间共有7个空隙， 从中选出4个空隙，用4块板放入这些空隙之间，每块板放入的空隙不同， 正好将这八个球分隔成5份，分别对应每周五天的数学课课堂量安排， 所以题目所求的不同安排方法共有种. 故选：A. 六、染色问题 方法点拨：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 26．如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 27．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有 种不同的涂色方法． 【答案】260 【详解】如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法，第2个、第3个小方格涂色可分两类： 第1类，当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法； 第2类，当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法． 由分类加法计数原理可得共有种不同的涂法． 故答案为：260 1 2 3 4 28．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 【答案】180 【详解】依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成四步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为（种）． 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有（种）． 综上可知，所求的涂色方法共有（种）． 故答案为：180 29．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 30．如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 七、分组分配问题 方法点拨： 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 31．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为 .（用数字作答） 【答案】36 【详解】由题设，需要将4个人分成3组，有种， 再将3组人分配到三个场馆，有种， 所以共有种. 故答案为：36 32．从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 【答案】 【详解】第一步，从人中选人，共有种取法，第二步，将人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计算原理知，共有种安排方法， 故答案为：. 33．新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 【答案】C 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法； 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案共有种. 故选：C. 34．北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 【答案】B 【详解】解法一：该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 解法二：先将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为． 故选：B. 35．2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（    ） A．288 B．376 C．1560 D．1520 【答案】C 【详解】先将六位地质学家分为4组， 若分为的四组，有种分组方法， 若分为的四组，有种分组方法，则共有种分组方法； 再将4组分配到4所中学，有24种分派方法，则共有种不同的派遣方法. 故选：C. 八、排数问题 方法点拨：常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 36．（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 37．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】(1)个 (2)个 (3)个 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． （2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 38．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 【答案】个 【详解】符合要求的四位偶数可分为三类： 第1类，0在个位时，有个； 第2类，2在个位时，首位上的数字从1，3，4，5中选定1个，有种选法，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有种，于是有个； 第3类，4在个位时，与第2类同理，也有个． 由分类加法计数原理可知，共有个无重复数字的四位偶数． 39．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 40．用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】56 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 九、上台阶及最短路径问题 方法点拨：对于上台阶问题（如每次走1或2级），本质是确定总步数中不同跨度的组合，例如n级台阶相当于在若干步中选择特定步数跨2级，解法为组合数计算。最短路径问题（如网格中移动）需将路径拆解为固定方向的步数序列，例如从A到B需横向走m步、纵向走n步，路径总数为，通过选择步序位置实现 41．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．120 B．210 C．211 D．216 【答案】D 【详解】由题意分三种情况： 第一种情况是3人各站一个台阶，有种； 第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有种， 第三种情况是3人站一个台阶，有种， 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种． 故选：D． 42．图中的连线是四地之间可走通的不同路径，若每段路只能经过一次，则从地到地不同的走法种数为 ． 【答案】7 【详解】解：如图，从地到地不同的走法有：，，共种， 所以，从地到地不同的走法种数为. 故答案为： 43．如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的5楼上政治课，已知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从1楼开始有 种不同的路径到达5楼. 【答案】16 【详解】每往上走一层楼有2种选择，从1楼到5楼需要经历4次上楼，故总的路径有， 故答案为：16 44．在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 【答案】D 【详解】由图可知，从地出发去往地的最短路径共8步，其中4步向下，4步向右，且前4步中最多2步向右， 则不同的路径共有条. 故选：D. 45．高中学生甲到教室有级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶，问这位学生有多少种不同的爬楼方法？ 【答案】274. 【详解】设学生甲爬个台阶有种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前个台阶有种方法； 若最后一步迈两级台阶，则前个台阶有种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前个台阶有种不同的方法， 由加法原理得：，显然，，，则： ， 故该学生上级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展6-1排列组合归类 一、特殊元素问题 六、染色问题 二、（不）相邻问题 七、分组分配问题 三、定序问题 八、排数问题 四、多面手问题 九、上台阶及最短路径问题 五、隔板法 一、特殊元素问题 方法点拨：处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 1．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 2．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 3．某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种． 4．如图,中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要将共名航天员全部安排开展实验,其中天和核心舱要安排人,问天实验舱与梦天实验舱都各要安排人,且不在问天实验舱,则不同的安排方案共有 种.（用数字作答）      5．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（   ）    A． B． C． D． 二、（不）相邻问题 方法点拨：1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 6．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 7．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 8．有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（    ） A．8 B．12 C．16 D．10 9．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 10．马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有（   ） A．7种 B．8种 C．9种 D．10种 三、定序问题 方法点拨：定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 11．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 12．小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 13．现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种． 14．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 15．人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有 排法． 四、多面手问题 方法点拨：一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 16．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 17．杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配．已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）． 18．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有 种不同的选法． 19．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 20．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有 种不同的选法．（用数字作答） 五、隔板法 方法点拨：将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 21．某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 22．不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 23．四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 24．把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（    ） A．70 B．99 C．110 D．165 25．经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（    ） A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种 六、染色问题 方法点拨：（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 26．如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 27．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有 种不同的涂色方法． 28．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 29．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 30．如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 七、分组分配问题 方法点拨： 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 31．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为 .（用数字作答） 32．从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 33．新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 34．北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 35．2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（    ） A．288 B．376 C．1560 D．1520 八、排数问题 方法点拨：常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 36．（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 37．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） (1)无重复数字的四位偶数； (2)无重复数字且为5的倍数的四位数； (3)无重复数字且比1230大的四位数． 38．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，试求能组成多少个无重复数字的四位偶数． 39．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 40．用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 九、上台阶及最短路径问题 方法点拨：对于上台阶问题（如每次走1或2级），本质是确定总步数中不同跨度的组合，例如n级台阶相当于在若干步中选择特定步数跨2级，解法为组合数计算。最短路径问题（如网格中移动）需将路径拆解为固定方向的步数序列，例如从A到B需横向走m步、纵向走n步，路径总数为，通过选择步序位置实现 41．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．120 B．210 C．211 D．216 42．图中的连线是四地之间可走通的不同路径，若每段路只能经过一次，则从地到地不同的走法种数为 ． 43．如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的5楼上政治课，已知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从1楼开始有 种不同的路径到达5楼. 44．在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 45．高中学生甲到教室有级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶，问这位学生有多少种不同的爬楼方法？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$