精品解析：贵州省安顺市2025届高三下学期3月联考数学试题

高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，角的终边过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12 5. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 曲线与直线的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 12. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________. 13. 若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，，求的面积. 15. 如图，在三棱柱中，，平面平面. （1）证明：. （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分. （1）小王同学的答题情况如图所示， ①求小王同学的得分； ②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率 （2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望. 17. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程. （2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 18. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域和一元二次不等式求出集合，然后由交集定义可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得，再结合复数的概念与几何意义即可得答案. 【详解】复数， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知，角的终边过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正切函数的概念得，再利用两角和与差的正切公式即可求得. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B. 4. 若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程得到焦点坐标，利用点到直线的距离公式可求的值. 【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为， ∴焦点到直线的距离，解得或（舍去）， ∴. 故选：B. 5. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果. 【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为， ∵，是夹角为的两个单位向量， ∴， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据切点在切线、曲线上及切线的斜率为建立方程组，求解即得结果. 【详解】设切点坐标为. ∵， ∴， 则， 由②得，，代入①得，， 整理得，解得，故. 故选：A. 7. 曲线与直线的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出与的大致图象，由图象即可判断交点个数. 【详解】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A. 8. 已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析点的位置，根据体积求出球的半径，然后由球的体积公式可得. 【详解】设球的半径为，记的中点为，则， 易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大. 因为，所以，. 当点在的延长线上时，的面积最大，为， 四面体体积的最大值为，解得， 从而球的体积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 【答案】AD 【解析】 【分析】根据相关概念逐项判断可得结果. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为，出现次数最多的数为6，故A正确； 平均数为，故B错误； 中位数为，故C错误； ∵，∴第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称， 且，从而是奇函数，A正确； ，B错误； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，C正确； 当时，， 在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出，进而可得，可得. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，所以. 故答案为： 12. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 13. 若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，分析直线的位置，利用导数求切线斜率即可得解. 【详解】令，作出的图象，如图所示. 由图可知，当时，只需当时，直线的图象恒在图象的下方， 此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为， 则，所以，则的取值范围为； 当时，显然符合题意； 当时，只需当时，直线的图象恒在图象的上方， 此时令直线为曲线的切线， 函数在时的解析式为，则， 所以，则的取值范围为. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件以及余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理和二倍角公式求出角和，然后由和差公式求出，结合面积公式可得. 【小问1详解】 由，可得. 由余弦定理可知，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由，可知. 由正弦定理可知，所以， 因为，所以，又，所以， 则. 又， 所以的面积为. 15. 如图，在三棱柱中，，平面平面. （1）证明：. （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ∵，平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直得到线面垂直，利用线面垂直可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求得线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，，∴. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故. 设直线与平面所成的角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 16. 为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分. （1）小王同学的答题情况如图所示， ①求小王同学的得分； ②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率 （2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1）①10分；②. （2） X 0 10 20 40 P 期望=10 【解析】 【分析】（1）①由图易得小王同学的得分；②针对错误试题进行分析后，列出所有可能的2种情况，故可得小王全部答对的概率； （2）由题意，的所有取值可能为0，10，20，40，分别求出对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 ①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分. ②经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况， 其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为. 【小问2详解】 由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40. ，，， . X的分布列为： X 0 10 20 40 P 故. 17. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆C的方程. （2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，结合离心率解方程组可得； （2）①联立直线方程和椭圆方程，利用判别式求解可得；②利用韦达定理代入，求出斜率，然后可得面积. 【小问1详解】 由已知得. 因为，所以， 解得，，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①将代入，得， 则，解得或， 故的取值范围为. ②设，，由（1）可知，. 因为 ，所以. 又， 所以，所以或. 易知直线与轴交于点， 所以. 当时，；当时，. 故的面积为或. 18. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 【答案】（1）是上的非负函数.理由如下：因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. （2） 由，，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. （3） 由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 由为上的非负函数，得，则，. 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，从而在上恒成立. 令，得，则，从而在上恒成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是分析函数单调性得到，结合非负函数的定义得到，即可证明结论.解决第（3）问的关键是通过分析函数单调性得到，根据为上的非负函数得到，通过构造函数，利用放缩法证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $