6.3二项式定理（八个重难点突破）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

6.3二项式定理 一、二项式定理的正用、逆用 五、近似计算 二、二项式展开式的通项应用 六、求三项式的特定项 三、求两个多项式积的特定项 七、二项展开式的系数和问题 四、余数和整除的问题 八、二项式系数及系数的最值问题 知识点1二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 重难点一、二项式定理的正用、逆用 【例1】化简： ． 【答案】 【详解】 ， 故答案为： 【例2】求的展开式； 【答案】 【详解】方法一： ． 方法二： ． 【变式1-1】的值为 ． 【答案】0 【详解】． 故答案为：. 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B 【变式1-3】（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）． （2）原式． 重难点二、二项式展开式的通项应用 【例3】的展开式中常数项为 . 【答案】 【详解】展开式的通项为：. 令，则展开式常数项为：. 故答案为： 【例4】的展开式中的系数是2000，则实数的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项， 令，则，解得， 所以实数的值等于2. 故选：C 【变式2-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】的展开式通项公式为，， 要想系数为整数，需为整数，显然当时，满足要求， 故系数为整数的项数为3. 故选：C 【变式2-2】（多选）关于的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为15 D．有理项共有4项 【答案】CD 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为0，错误； 对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数，第二项与第四项的二项式系数不相等，错误； 对于C，展开式的通项为， 令，得，展开式中的常数项为，正确； 对于D，当时，，所以展开式的有理项共有4项，正确． 故选：CD 【变式2-3】若展开式中的系数与的系数相等，则 . 【答案】8 【详解】由题设，，且，， 由题意，即，则， 所以，可得. 故答案为：8 重难点三、求两个多项式积的特定项 【例5】的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选：B. 【例6】已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 【变式3-1】的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 【答案】D 【详解】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是. 故选：D. 【变式3-2】（多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 【变式3-3】已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，的展开式通项为， 所以的展开式中为： ， 则，解得. 故选：A 重难点四、余数和整除的问题 【例7】除以的余数为 . 【答案】1 【详解】因为 ， 所以除以的余数是 故答案为： 【例8】设，且，若能被13整除，则a等于（   ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】B 【详解】因为，且， 所以 ， 因为能被13整除， 所以能被13整除，又，所以． 故选：B. 【变式4-1】（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【详解】（1）因为 ． 故能被100整除． （2）， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 【变式4-2】设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】对于①，因为，所以被7除所得余数为1，所以被7除所得余数为2，65被7除所得余数也为2，所以．①正确． 对于②，若正整数能被13整除，则能被13整除，所以；若正整数不能被13整除，由费马小定理得，，则．②正确． 对于③，若正整数能被7整除，则能被7整除，所以；若正整数不能被7整除，由费马小定理得，即，又，所以．③正确． 对于④，当不能被5整除时，由费马小定理得，即，又，所以．④错误． 故选：C． 【变式4-3】若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 【答案】13 【详解】依题意，， 当时，都不能被5整除，能被5整除， 则n的最小值为4，， 当，时，方程表示直线； 当，时，方程表示直线； 当且时，方程表示直线； 当且时，方程表示的直线条数为 （方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）， 所以方程表示的不同直线的条数为13. 故答案为：13 【点睛】易错点睛：利用分类讨论求解问题注意不重不漏的原则，本题对应项成比例的两组直线易漏. 重难点五、近似计算 【例9】的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故分别为. 故选：A. 【例10】某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 【变式5-1】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 【变式5-2】实数精确到的近似值为 . 【答案】 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 【变式5-3】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【答案】1.105 【详解】 . 故答案为：1.105 重难点六、求三项式的特定项 【例11】展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案为： 【例12】已知常数，的二项展开式中项的系数是780，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】=，设其通项为， 设的通项为， 要求项的系数，只有为偶数， 当，此时项的系数为， 当，此时项的系数为， 当，此时项的系数为， 当，不合题意， 故项的系数为. 故答案为：3 【变式6-1】展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【答案】A 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 【变式6-2】的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】把变形为，可得： 要得到，则的展开式中的次数与的次数之和为，即，解得. 当时，. 再根据二项式定理展开，要得到，则，此时该项系数为. 因为中展开式中的系数为，所以展开式中的系数为. 故答案为:. 【变式6-3】在的展开式中，含的项的系数是 用数字作答 【答案】 【详解】解：因为， 又因为展开式的通项为， 所以令，则其常数项为； 令，则其含的项为， 所以原展开式中含的项的系数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题． 知识点2系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 重难点七、二项展开式的系数和问题 【例13】二项式，若，则 ． 【答案】 【详解】由可得其展开式通项， 令时，，可得，解得， 令时，. 故答案为：. 【例14】（多选）对任意实数，有.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对任意实数x有 ， 所以，故A正确； 令，可得，故B不正确； 令，可得，故C正确； 令，可得，故D正确． 故选：ACD． 【变式7-1】（多选）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 【变式7-2】若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 【变式7-3】已知，若，则 ． 【答案】4 【详解】因为， 令，可得， 即，解得. 故答案为：4. 知识点3二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 知识点4系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 重难点八、二项式系数及系数的最值问题 【例15】若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 【答案】A 【详解】由于展开式中只有第6项的系数最大，且展开式的通项为，其系数等于其二项式系数， 所以展开式项数为11，从而，所以展开式的通项为. 令，得，于是得其常数项为. 故选：A 【例16】已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【答案】系数最大的项为，；系数最小的项为. 【详解】由，则其展开式的通项为， 由题意可得， 整理可得，解得或（舍去）， 易知系数最小项为首项，即， 令，化简可得，解得， 则第项与项的系数相同且最大， 即，． 【变式8-1】（多选）以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】AC 【详解】因的展开式有项，当为奇数时，展开式有偶数项，中间两项二项式系数最大；当为偶数时，展开式有奇数项，中间一项二项式系数最大. 故选：AC. 【变式8-2】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 【变式8-3】（多选）记，则（   ） A．若S的展开式中存在常数项，则n是7的倍数 B．若S的展开式中存在常数项，则n是6的倍数 C．若n是奇数，则第项一定是S的展开式中系数最大的项 D．若n是偶数，则第项是S的展开式中二项式系数最大的项 【答案】AD 【详解】易得该二项展开式的通项为， 对于A，B选项，若S的展开式中存在常数项，则是常数，即， 因为r，n为正整数，故n是7的倍数，故A正确，B错误； 对于C选项，因为n是奇数，设，则， 所以第项为，其系数为，不能确定正负，故C错误； 对于D选项，因为n是偶数，设，则， 所以第项为，其二项式系数最大，故D正确． 故选：AD. 一、单选题 1．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式中的常数项为. 故选：B. 2．二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（    ） A．9 B．15 C．135 D．540 【答案】C 【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为，得，即， 所以， 令，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：C． 3．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项. 故选：C 4．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 对于A中，令，可得，所以A错误； 对于B中，，由二项展开式的通项得，所以B错误； 对于C中，与的系数之和相等， 令即，所以C正确； 对于D中，令，则， 令，则， 解得，， 可得，所以D错误. 故选：C. 5．在的展开式中，的系数是（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】A 【详解】由多选式乘法知，只需求出展开式中与项的系数，即可得解， 由组合知识可知，的系数为，项的系数为， 故在的展开式中，的系数是. 故选：A 6．展开式中常数项为（    ） A． B． C．1 D．481 【答案】C 【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘， 所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况： ①个中全部选项展开； ②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开； ③个中有2个选择项，4个选择项展开. 所以，其常数项为：. 故选：C. 二、多选题 7．在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【答案】AB 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A.令得，，故，选项A正确. B.令得，，故，选项B错误. C.二项式展开式的通项为， ∴， 当为偶数时，，当为奇数时，， 令得，，选项C正确. D. 令得，， ∵，∴，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．的二项展开式中，的系数为 . 【答案】 【详解】的二项展开式通项为， 令，解得， 所以， 所以的系数为， 故答案为：. 10．已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 【答案】4、8、12、16（任选一个为答案） 【详解】根据二项式定理展开可得， 因为展开式中含有常数项，所以， 由此可得当为4的倍数时，即可满足题意，又因，故可取4、8、12、16. 故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案） 11．除以7的余数为 ． 【答案】1 【详解】解：因为 ， 除以7的余数是 故答案为： 四、解答题 12．化简：． 【答案】 【详解】∵，，， ∴原式 ． 13．对于二项式： (1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； (2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，解得， 则展开式通项为 ， 令，解得，代入通项有： ，所以的系数为； （2）二项式通项为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以展开式有9项，中间一项为. 14．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 【答案】(1)7； (2)702. 【详解】（1）依题意，展开式的通项公式， 显然第三项系数为，第四项系数为， 因此，解得， 所以的值为7. （2）由（1）知，当时，对应的项是有理项， 当时，展开式中对应的有理项为； 当时，展开式中对应的有理项为 当时，展开式中对应的有理项为 所以展开式中有理项的系数之和为． 15．已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二项式的展开式中的第项为， 由题得，解得， 所以展开式中共9项，第5项的二项式系数最大， 第5项为. （2）由（1）知，， 所以， 令得， 令得， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3二项式定理 一、二项式定理的正用、逆用 五、近似计算 二、二项式展开式的通项应用 六、求三项式的特定项 三、求两个多项式积的特定项 七、二项展开式的系数和问题 四、余数和整除的问题 八、二项式系数及系数的最值问题 知识点1二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 重难点一、二项式定理的正用、逆用 【例1】化简： ． 【例2】求的展开式； 【变式1-1】的值为 ． 【变式1-2】化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（1）求的展开式； （2）化简：． 重难点二、二项式展开式的通项应用 【例3】的展开式中常数项为 . 【例4】的展开式中的系数是2000，则实数的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【变式2-2】（多选）关于的展开式，下列说法中正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为15 D．有理项共有4项 【变式2-3】若展开式中的系数与的系数相等，则 . 重难点三、求两个多项式积的特定项 【例5】的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【例6】已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 【变式3-2】（多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【变式3-3】已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 重难点四、余数和整除的问题 【例7】除以的余数为 . 【例8】设，且，若能被13整除，则a等于（   ） A．0 B．1 C．11 D．12 【变式4-1】（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【变式4-2】设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【变式4-3】若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 重难点五、近似计算 【例9】的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【例10】某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【变式5-1】某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【变式5-2】实数精确到的近似值为 . 【变式5-3】用二项式定理估算 .（精确到0.001） 重难点六、求三项式的特定项 【例11】展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 【例12】已知常数，的二项展开式中项的系数是780，则m的值为 ． 【变式6-1】展开式中的系数为（   ） A．200 B．230 C．120 D．180 【变式6-2】的展开式中，的系数为 ． 【变式6-3】在的展开式中，含的项的系数是 用数字作答 知识点2系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 重难点七、二项展开式的系数和问题 【例13】二项式，若，则 ． 【例14】（多选）对任意实数，有.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【变式7-2】若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【变式7-3】已知，若，则 ． 知识点3二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 知识点4系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 重难点八、二项式系数及系数的最值问题 【例15】若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 【例16】已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求系数最大的项与系数最小的项． 【变式8-1】（多选）以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8-2】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【变式8-3】（多选）记，则（   ） A．若S的展开式中存在常数项，则n是7的倍数 B．若S的展开式中存在常数项，则n是6的倍数 C．若n是奇数，则第项一定是S的展开式中系数最大的项 D．若n是偶数，则第项是S的展开式中二项式系数最大的项 一、单选题 1．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（    ） A．9 B．15 C．135 D．540 3．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 4．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，的系数是（    ） A． B．5 C． D．10 6．展开式中常数项为（    ） A． B． C．1 D．481 二、多选题 7．在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 8．若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．的二项展开式中，的系数为 . 10．已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ． 11．除以7的余数为 ． 四、解答题 12．化简：． 13．对于二项式： (1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； (2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项. 14．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为． (1)求的值； (2)求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答） 15．已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$