精品解析：东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2025届高三第一次联合模拟考试数学试题

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2025年高三第一次联合模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出集合，逐一验证即可. 【详解】由， 所以，故A错误，，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知命题，；，．下列判断正确的是（ ） A. p，q均为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. p，q均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数可得，可判断，令，计算可判断. 【详解】令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以为真命题，又，， 所以为真命题，所以p，q均为真命题. 故选：A. 4. 已知向量，，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，结合平行垂直以及模长满足的关系，即可逐一求解. 【详解】对于A，，若，则，解得，此时有无数组解，不符合题意，舍去， 对于B，若，则，此时有无数组解，不符合题意舍去， 对于C，若，则，此时，只有一组解，满足题意， 对于D，，则，此时有无数组解，不符合题意，舍去. 故选：C 5. 已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解，利用整体法求解函数的单调区间，即可得解. 【详解】由题意可知，，由于， 所以，故，解得，故， 令，解得， 故单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为， 当时，一个单调递增区间为. 故选：B 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 7. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为， 设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：母线与底面所成角为， 则，可得， 即，，可得， 可知内切球的半径， 可得，， 所以. 故选：D. 8. 已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心的轨迹方程，再利用动点到圆上的点的取值范围的求法，求出，注意排除特殊位置. 【详解】 设，， 由为的中点，可得，即， 又在圆上， 则可得，即， 即圆心的轨迹是以为圆心 ，为半径的圆，而， 则的范围为，即， 又当时，圆心，半径为，此时圆与轴相切，不符合题意， 此时. 故的范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数 B. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解A,根据相互独立的性质即可求解B，根据正态分布的对称性即可求解C,将样本中心代入回归方程即可求解D. 【详解】对于A，将原来30个数从小到大排列，，则30个数的22%分位数为30个数中的第7个数， 去掉其中最大和最小两个数据后，，故剩下的28个数据的22%分位数为28个数中的第7个数字，也是30个数中的第8个数， 故两者不相等，A正确， 对于B，，所以相互独立，因此也相互独立，B正确， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，将代入可得，故，D错误， 故选：AB 10. 已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设设公比为，由得解出，逐一验证选项即可. 【详解】设公比为，根据题意有， 所以或， 当时，，， 当时，，故A错误，B正确； 当时，，， 当时，，， 所以，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可. 【详解】令，可得，解得，故C错误； 令，，则，由偶函数的定义知，是偶函数，故D正确； 令，则， 由是偶函数，则①， 令，则②， ①②可得， 又，则，代入①可得，，故AB正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛，本题的关键是结合选项对抽象函数的等式给出不同的赋值，从而判断选项的正误. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 13. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再由三角恒等变换可得，即可得答案. 【详解】解：因为， 即，解得， 所以 . 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形的面积小于4，则四边形面积的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出切线方程结合点，在切线上可得直线的方程，与抛物线联立结合韦达定理求出的范围，结合三角形面积公式可得四边形面积表示成关于的函数，进而得解. 【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为， 设，，则，， 对两边同时求导可得，即， 所以在点处的切线方程为，整理得：， 同理可得在点处的切线方程为， 因为点在两条切线上，所以， 由此可得均在直线， 联立，消去可得，且，即 由韦达定理可知，， 且，到的距离， 的长度为， 的面积， 因为，所以， 点到的距离， 所以， 所以四边形面积， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分别求出切点对应的切线，进而得到直线为且为关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步聚． 15. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：过作交于，取的中点为，连接， 由于，故所以， 故与均为等边三角形，故， 平面， 故平面，平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，即可求证线面垂直，由线面垂直的性质即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于故，因此， 因此平面，故平面， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 故，令，则， 故， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，求得，进而由点斜式方程可求得切线方程； （2）令，求导，分，两种情况判断是否恒成立，可得结论. 【小问1详解】 因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； 【小问2详解】 当  时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减，且， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 17. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求ab； （2）若，求的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及数量积可得，即可求解， （2）根据余弦定理，结合正弦定理边角互化可得，即可根据同角关系以及和差角公式化简，结合已知条件可得，即可求解，由面积公式求解. 【小问1详解】 由可得,故， 由于为锐角三角形，所以, 故，故 【小问2详解】 由可得, 所以,结合， 故, 由于为锐角三角形，故 所以 18. 已知点A，B分别为双曲线的左，右顶点，的离心率为2，过点作垂直于轴的直线l，P为直线上一点，为双曲线右支上一点，直线PD交双曲线左支于点，直线AD，AC分别交直线OP于E，F点，当时，． （1）求双曲线的方程： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可得，由，可得，可求双曲线的方程； （2）设，直线的方程为，与直线联立可求得，同理得，分直线的斜率是否为0，两种情况可求得. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率 为2，所以，即，， 由双曲线，可得左、右顶点A，B的坐标为， 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以； 【小问2详解】 设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，所以，解得， 同理可得， （1）当直线的斜率为0时，， 所以，，所以，所以， （2）当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 联立，消去，整理得， ， ， ， 所以，所以 综上所述：. 19. 如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． （1）写出数列无界的定义； （2）已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： （3）两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 【答案】（1）； （2）有界；无界 （3）证明：记点，则由条件得， ①若点重合，则，所以，所以； ②若点不重合，则点在以线段为直径的圆上， 所以是单调不增的数列，因为，所以， 当充分大时，要么，所以与重合，所以， 要么，所以充分大时，所有点均重合， 所以存在，使得． 【解析】 【分析】（1）根据有界的含义可得无界的定义； （2）由题意结合有界的定义与无界的定义分别计算可判断，的有界性； （3）记点，则由条件得，分点重合与点不重合两种情况，结合向量的数量积讨论可得结论. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 对于数列，当时，， 当时，因为， 所以， 又，所以，所以有界； 对于数列，先证时，， 令，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 令，有，所以， 对于，取，表示不超过的最大整数， 所以，所以无界； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2025年高三第一次联合模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 3. 已知命题，；，．下列判断正确的是（ ） A. p，q均为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. p，q均为假命题 4. 已知向量，，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为曲线与的一个交点的横坐标，则函数的一个单调增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数 B. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 10. 已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. B. C. ， D. 11. 已知函数的定义域为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是偶函数 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处取得极小值，则__________． 13. 已知，则的值为__________． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形的面积小于4，则四边形面积的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步聚． 15. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，． （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若当时，恒有，求实数的取值范围． 17. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求ab； （2）若，求的面积． 18. 已知点A，B分别为双曲线的左，右顶点，的离心率为2，过点作垂直于轴的直线l，P为直线上一点，为双曲线右支上一点，直线PD交双曲线左支于点，直线AD，AC分别交直线OP于E，F点，当时，． （1）求双曲线的方程： （2）求的值． 19. 如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界． （1）写出数列无界的定义； （2）已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性： （3）两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $