17.5 第2课时 增长率问题与利润问题（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（沪科版）

第17章 一元二次方程 八年级数学沪科版·下册 17.5 第2课时 增长率问题与利润问题 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 新知探究 问题：某省农作物秸秆资源巨大, 但合理使用量十分有限, 因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率. 若今年的使用率为40%, 计划后年的使用率达到90%, 求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）. 今年的使用率 × (1+年平均增长率)² = 后年的使用率 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 新知探究 40%(1+x)²=90% 整理, 得 (1+x)²=2.25 解得 x1=0.5=50%, x2=-2.5（不合题意, 舍去） 答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. 若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x, 请你根据等量关系, 列出方程： 接下来请你解出此一元二次方程 x2=-2.5符合题意吗？ 新知探究 通过前面的探讨学习, 我们再来看看下面的例题． 例1 为执行国家药品降价政策, 给人民群众带来实惠, 某药品经过两次降价, 每瓶零售价由100元降为81元. 求平均每次降价的百分率. 解析: 原价×(1-平均每次降价的百分率)²=现行售价 解: 设平均每次降价的百分率为x, 则根据等量关系得 100(1-x)²=81 解得 x1=0.1=10%, x2=1.9 答：平均每次降价的百分率为10%. （不合题意, 舍去） 利用一元二次方程解决增长率问题 一 新知探究 例2 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元, 随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元, 试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解: 设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意, 列方程,得 5 000 ( 1－x )2 = 3000, 解方程, 得 x1≈0.225, x2≈1.775. 根据问题的实际意义, 甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 下降率不能超过1. 注意 新知探究 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元. 随着生产技术的进步, 现在生产1吨乙种药品的成本是3600元, 试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解: 设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意, 列方程, 得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程, 得 y1≈0.225, y2≈－1.775. 根据问题的实际意义, 乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 新知探究 答: 不能. 绝对量: 甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000元, 乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3000)÷2=1200元, 显然, 乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 新知探究 答: 不能. 通过上面的计算, 甲、乙两种药品的年平均下降率相等. 因此我们发现虽然绝对量相差很多, 但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢? 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 新知探究 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在, 有一定的模式. 若平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是a, 增长(或降低)n次后的量是b, 则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b (其中增长取“+”, 降低取“－”). 新知探究 例3 某公司去年的各项经营中, 一月份的营业额为200万元, 一月、二月、三月的营业额共950万元, 如果平均每月营业额的增长率相同, 求这个增长率． 分析：设这个增长率为 x , 则 二月份营业额为：__________________. 三月份营业额为：_______________. 根据： . 作为等量关系列方程为： 200(1+x) 一月、二月、三月的营业额共950万元. 200(1+x)2 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 新知探究 解：设这个增长率为 x. 根据题意, 得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程, 得 4x2+12x-7=0, 解这个方程得 x1=-3.5 (舍去) , x2=0.5. 注意 增长率不可为负, 但可以超过1. 新知探究 利用一元二次方程解决利润问题 二 例4 新华商场销售某种冰箱, 每台进价为2500元. 市场调研表明: 当销售价为2900元时, 平均每天能售出8台; 而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元, 每台冰箱的定价应为多少元? 分析: 本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价 x 元, 那么每台冰箱的定价就是(2900 - x)元, 每台冰箱的销售利润为(2900- x -2500)元, 平均每天销售冰箱的数量为 台, 这样就可以列出一个方程, 从而使问题得到解决. 新知探究 解：设每台冰箱降价 x 元, 根据题意, 得 整理, 得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程, 得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 新知探究 例5 某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时, 能卖600件已知该商品每涨价1元, 销售量就会减少10件, 为获得10000元的利润, 且尽量减少库存, 售价应为多少？ 解析：销售利润=(每件售价-每件进价)×销售件数, 若设每件涨价x元, 则售价为(40+x)元, 销售量为(600-10x)件, 根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价 x 元, 根据题意, 得 (40+ x - 30)(600 - 10x)= 10000. 即 x2 - 50x +400 = 0. 解得 x1 = 10, x2 = 40. 经检验, x1=10, x2=40 都是原方程的解. 新知探究 当x = 10时, 售价为 40+10=50(元), 销售量为 600 - 10×10=500(件). 当x = 40时, 售价为 40+40=80(元), 销售量为 600 - 10×40=200(件). ∵要尽量减少库存, ∴售价应为80元. 新知探究 某花圃用花盆培育某种花苗, 经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系. 每盆植入3株时, 平均单株盈利3元; 以同样的栽培条件,若每盆增加1株, 平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元, 每盆应该植多少株? 解: 设每盆花苗增加的株数为 x 株, 则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元. 根据题意, 得 (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 思考: 这个问题设什么为 x ? 有几种设法? 如果直接设每盆植 x 株, 怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 新知探究 整理, 得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程, 得 x1=1, x2=2. 经检验, x1=1 , x2 = 2 都符合题意. 答: 要使每盆的盈利达到10元, 每盆应植入4株或5株. 新知探究 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品. 若每件商品的售价为 x 元, 则可卖出（350-10x）件, 但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％. 若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本）, 问需要卖出多少件商品,此时的售价是多少？ 解:（售价-进价）× 销售量 = 利润. 根据等量关系得（x-21)(350-10x)=400 整理, 得 x²-56x+775=0 解得 x1=25, x2=31. 新知探究 所以x=31不合题意, 应当舍去. 故x=25. 答: 该商店需要卖出100件商品, 且每件商品的售价是25元. 从而卖出 350-10x=350-10×25=100（件） 因为 21×120%=25.2, 即售价不能超过25.2元, 新知探究 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________; (3)总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 知识归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 课堂小结 利用一元二次方程解决实际问题 增长率问题 a(1+x)2=b, 其中a为增长前的量, x为增长率, 2为增长次数, b为增长后的量. 降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量, x为降低率, 2为降低次数, b为降低后的量. 注意1与x位置不可调换. 经济利润问题 课堂小测 1. 某厂今年一月份的总产量为500吨, 三月份的总产量为720吨, 平均每月增长率是x, 列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为2万元, 预计今明两年的投资总额为8万元, 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x, 则可列方程为 . B 2(1+x)+2(1+x)2 = 8 课堂小测 3. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件, 每件可盈利44元. 若每件降价1元, 则每天可多售出5件. 若要平均每天盈利1600元, 则应降价多少元？ 解：设应降价x元, 则 (44-x)(20+5x) =1600 整理, 得 x²-40x+144 = 0 解得 x1 = 36, x2 = 4 答：应降价36元或4元. 课堂小测 4. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册, 问平均每年藏书增长的百分率是多少？ 解：设平均每年藏书增长的百分率为x 5(1+x)² = 7.2 整理, 得 (1+x)² = 1.44 解得 x1= 0.2 = 20% , x2= -2.2 (不符合题意, 舍去) 答：平均每年藏书增长的百分率为20%. 课堂小测 5. 青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克, 今年平均每公顷产8712千克, 求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意, 得 系数化为1得, 直接开平方得, 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 7200(1+x)2 = 8712 (1+x)2 = 1.21 1+x = 1.1, 1+x = -1.1 x1= 0.1, x2= -1.1, 课堂小测 能力提升 菜农李伟种植的某蔬菜, 计划以每千克5元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植, 造成该蔬菜滞销, 李伟为了加快销售, 减少损失, 对价格经过两次下调后, 以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率; （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜, 因数量多, 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择: 方案一, 打九折销售;方案二, 不打折, 每吨优惠现金200元. 试问小华选择哪种方案更优惠? 请说明理由. 课堂小测 解：(1)设平均每次下调的百分率为x, 由题意, 得 5(1－x)2=3.2, 解得 x1=20%, x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%. (2)小华选择方案一购买更优惠, 理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）; 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）, ∵14400＜15000 , ∴小华选择方案一购买更优惠. $$