精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

南充高中高2024级第二学期入学考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分 命审题人：兰铭 黄荣匀） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，若恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ） A. 8088 B. 4044 C. 2022 D. 1011 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，（有全多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______． 13. 已知，且，则________． 14. 函数，若函数有四个不同零点，，，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. （1）已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 17 设函数. （1）求不等式的解集： （2）若不等式对都成立，求的取值范围. 18. 设函数为奇函数． （1）确定的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南充高中高2024级第二学期入学考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分 命审题人：兰铭 黄荣匀） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得，根据对数型函数的定义域可得，进而可得. 【详解】, 因为的定义域为，故， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由否定的定义判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D 3. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式由内到外可计算得出的值. 【详解】，则，. 故选：D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可. 【详解】由于，所以或，其中， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，和三种情况，求出函数解析式，得到答案. 【详解】当时，在上，过点作⊥于点， 则，故，随的增大而增大， 当时，在上， 此时 ，随的增大而减小， 当时，在上， 此时，，随的增大而减小， 函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合单调性可知A正确，其他错误. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数,对数函数以及幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为 ， ，故，所以． 故选：A 7. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为. 因为恒成立， 所以，即， 解得，即. 故选：D. 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（ ） A. 8088 B. 4044 C. 2022 D. 1011 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 所以的图象的对称中心为，即有， ，，，， 所以， ， . 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，（有全多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断. 【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确； 对B，当时，，故B不正确； 对C，由，得，所以，故C正确； 对D，由，得，且不同时为0， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用三角函数的定义求解判断；对B，举反例说明；对C，根据扇形的弧长和面积公式求解判断；对D，对两边同时平方可得，可得或，再由可判断. 【详解】对于A，点到原点的距离为， 若，则，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，设扇形的半径为，则，解得， 所以扇形的面积，故C正确； 对于D，因为，即，所以， 所以，解得或， 因为，，且， 所以，所以，故D正确. 故选：AB. 11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意整理函数解析式，根据其单调性求得值域，利用分情况讨论的思想，结合两个函数的值域之间的包含关系，建立不等式以及研究端点值，可得答案. 【详解】由，即，则， 由，则， 当时，，易知在上单调递减， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 由，则在上单调递增， 由，， 当时，，当时，， 则当时，， 当时，在上单调递增， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 当时，在上单调递减， 则，，即， 由题意可得，则，解得； 综上所述，，显然. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 分析】利用，可得结论. 【详解】因为，所以函数的图像过定点， 故答案为： 13. 已知，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号. 【详解】设,,那么,从而. 于是.因为, 所以.由,得. 所以, 所以. 故答案为：. 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【小问1详解】 因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． 【小问2详解】 ． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，利用诱导公式化简可得结果. （2）根据条件计算，结合角的范围分析的正负，求出的值即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，， ∴. （2）∵， ∴，即，故， ∵，∴，故， ∴，故， ∴. 17. 设函数. （1）求不等式的解集： （2）若不等式对都成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）分类讨论解含参数的一元二次不等式. （2）等价变形给定不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可得解. 【小问1详解】 不等式， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 ，不等式 ，而当时，，当且仅当时取等号，则， 所以的取值范围是. 18. 设函数为奇函数． （1）确定的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可； （2）先设，然后判断的正负，利用定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可. 【小问1详解】 由题可知恒成立， 得，即恒成立， 化简得，得， 当时，，此时定义域为，满足， 所以满足； 当时，，此时定义域为，所以非奇非偶， 所以不满足； 故. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 设， 得， 因为，所以， 得， 得， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由题得， 即， 由（2）可得， 解得， 所以解集：. 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， （1）请证明：函数（）不存在“理想区间”； （2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； （3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明； （2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可； （3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由为上的增函数，则有， 所以，所以，无解， 所以（）不存在“理想区间”； 【小问2详解】 记是函数的一个“理想区间”（）， 由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为， 所以在上必为增函数，令， 所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”； 【小问3详解】 由在和上均为增函数， 已知在“理想区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 则，，即m，n（）是方程的两个同号的实数根， 等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要， 所以或， 而由韦达定理知，， 所以， 其中或，所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$