4.2整式的加法与减法 课件 -2024—2025学年人教版数学七年级上册

教材第95~98页 4.2 整式的加法与减法（一） 第四章 整式的加减 1 情境导入 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道，如果汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，则香港口岸到西工岛的全长(单位:km)是 即 . 72a＋96×1.25a 72a＋120a 如何计算72a+120a 呢？ 探究新知 (1)运用运算律计算： 72×2+120×2= . 72×(-2)+120×(-2)= . (2)根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a+120a= . 在(1)中，根据分配律可得 72×2+120×2= (72+120)×2＝192×2, 在(2)中，72a+120a=(72+120)a＝192a. (72+120)×2＝192×2 (72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2） (72+120)a＝192a 72×(-2)+120×(-2)= (72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2）. 探究新知 探究 填空： (1)72a-120a =( )a = ； (2)3m2+2m2 =( )m2= ； (3)3xy2-4xy2 =( )xy 2= . 72-120 3+2 3-4 -xy2 5m2 -48a 同类项 思考：观察上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ （1）中的多项式的项72a和-120a，它们含有相同的字母a，并且a的指数都是1； （2）中的多项式的项3m2和2m2，含有相同的字母m，并且m的指数都是2； （3）中的多项式的项3xy2与-4xy2，都含有字母x，y，并且x的指数都是1，y的指数都是2. 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. 探究新知 计算：4x2+2x+7+3x-8x2-2 解：4x2+2x+7+3x-8x2-2 =4x2-8x2+2x+3x+7-2 =(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2) （交换律） =-4x2+5x+5 （结合律） =(4-8)x2+(2+3)x+(7-2) （分配律） 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 合并同类项 规定：通常我们把一个多项式的各项 按照某个字母的指数从大到小（降幂） 或者从小到大（升幂）的顺序排列. 学以致用 例1 合并下列各式的同类项： （2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 （1）xy2－xy2 解：(1) xy2－xy2 ＝（1－ ） xy2 ＝ xy2 (2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 =(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab =(4-4)a2+(3-4)b2+2ab =-b2+2ab 解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2 =2x2+x2-3x2-5x+4x-2 =(2+1-3)x2+(-5+4)x-2 =-x-2. 当x＝时，原式＝-－2＝ -. （2）3a＋abc－ c2 －3a＋ c2 =（3－3）a ＋abc ＋（ － ）c2 = abc. 例2 (1)求多项式 2x2-5x+x2+4x-3x2-2 的值， 其中x= ; (2)求多项式 3a+abc- c2 -3a+ c2 的值，其中a=-,b=2,c=-3. 当a＝﹣ ， b＝2，c ＝﹣3时， 原式＝（ ﹣ ）× 2 ×（﹣ 3 ）＝ 1. 学以致用 例3（1）水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2cm，第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg，上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是-2a cm,第二天水位的变化量是0.5a cm，由 可知,这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm. -2a ＋ 0.5a＝（-2＋ 0.5）a＝ -1.5 （2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是-3x kg，下午大米质量的变化量是4x kg,由 5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x 可知，进货后这个商店有大米6x kg. 1 9 巩固应用 教材习题 1.合并下列各式的同类项： (1)5x+4x; (2)y-y+2y; (3) -7ab+6ab; (4)10-0.5; (5)+3; (6)-3y+3x+2y-2x. 2.先化简，再求值： (1)3a+2b-5a-b,其中a=-2,b=1; (2)3x-4+7-3x+2+1,其中x=-3. 3.如图，大圆的半径是R,小圆的面积是大圆面积的， 求阴影部分的面积. 答案：1. (1) 9x ;(2)y;(3) -ab;(4)9.5;(5)4m;(6) -x²y+xy². 2.(1)原式化简为-2a+b.当a=-2,b=1时，原式=-2×(-2)+1=5. (2)原式化简为-2+8.当x=-3时，原式=-2×+8=-10. 3. . 8 总结提升 同类项：①所含字母相同. ②相同字母指数也相同. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 法则： ①所得项的系数是合并前各同类项的系数的和. ②字母连同它的指数不变. 合 并 同 类 项 9 知识梳理 知识点 1:同类项 【练习】判断下列各题的两项是不是同类项,如果不是,请说明理由. ① - x 2 y 与 x 2 y; ②2 3与 - 3 4 ; ③2a 3 b 2与 3a 2 b 3 ; ④ xyz 与 3xy. 【解析】根据同类项的定义,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,对各式进行 判断即可. ①中的两项是同类项,因为 - x 2 y 与 x 2 y 都含有字母 x 和 y,且 x 的指数都是 2,y 的指数都是 1;②中的两项是同类项,因为 2 3与 - 3 4都不含字母,为常数项,几个常数 项也是同类项;③中的两项不是同类项,因为 2a 3 b 2与 3a 2 b 3中,a 的指数分别是 3 和 2,b 的指数分别是 2 和 3,所以它们不是同类项;④中的两项不是同类项,因为xyz 与 3xy 中 所含字母不同, xyz 含有字母 x,y,z,而 3xy 中含有字母 x,y,所以它们不是同类项. 【方法小结】解答此类题目时需要注意以下几点:①判断几个单项式是否为同类项的 条件是所含字母相同,并且相同字母的指数也相同; ②同类项与系数无关,与字母的排列 顺序也无关; ③几个常数项也是同类项. 知识梳理 知识点 2:合并同类项. 【例 2】求多项式 2a 2 b - 2ab + 3 - 3a 2 b + 4ab 的值,其中 a = - 2,b = 1 2 . 【解析】先将原式合并同类项得到最简结果,再把 a 与 b 的值代入计算即可求出值. 2a 2 b -2ab +3 -3a 2 b + 4ab = (2 - 3)a 2 b + ( - 2 + 4)ab + 3 = - a 2 b + 2ab + 3. 当 a = - 2, b = 1 2 时,原式 = - ( - 2) 2 × 1 2 + 2 × ( - 2) × 1 2 + 3 = - 1. 【方法小结】对多项式进行化简求值时,一般要先化简,即先合并同类项,再代入已知 值计算结果. 代入负数时,要注意添加负号. 教材第98~100页 4.2 整式的加法与减法（二） 第四章 整式的加减 12 复习导入 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项. 分配律：a(b+c)=ab+ac 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 合并同类项用到了什么运算律？ ：上节课学习了合并同类项，我们一起来回忆一下同类项的定义以及合并同类项法则. 思 考 与数的运算一样，进行整式的运算时也会遇到去括号的问题. 探究新知 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h.如果汽车通过主桥需要bh，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h，你能用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度的和吗？主桥与海底隧道的长度的相差多少千米？ 汽车通过主桥的行驶时间是bh，那么汽车在主桥上行驶的路程是 km，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h，那么汽车在海底隧道行驶的时间是 h,行驶的路程是 km，因此， 主桥与海底隧道的长度的和(单位:km)为 ① 主桥与海底隧道长度的差(单位:km)为 ② 92b+72(b-0.15). 92b (b-0.15) 72(b-0.15) 92b-72(b-0.15). 探究新知 去括号法则：一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地，+(x-3)与-(x-3)可以看作1与-1分别相乘，得：+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3. 思考：请同学们根据以上探究过程总结一下去括号法则. 去括号法则 上面的代数式①②应如何去括号进行化简？ 可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各项相乘，去掉括号，再合并同类项. 92b+72(b-0.15)=92b+72b-10.8=164b-10.8, 92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8. 学以致用 例4 化简： （1）8a+2b+(5a-b) ; （2）(4y-5)-3(1-2y). 解：（1）8a+2b+(5a-b) =8a+2b+5a-b =13a+b （2）(4y-5)-3(1-2y) =4y-5-3+6y =10y-8. 为什么 -3×（-2y） ＝6y? 学以致用 例5 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度是50km/h，水流速度是a km/h. （1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？ (1)由题意得： 2(50+a)+2(50-a) =100+2a+100-2a =200. 可知，2小时后两船相距200km. (2)由题意得：2(50+a)-2(50-a) =100+2a-100+2a =4a(km) 可知，2小时后甲船比乙船多航行4akm. 解:顺水航速=静水航速+水流速度=(50+a)km/h, 逆水航速=静水航速 - 水流速度=(50-a)km/h. 巩固应用 教材习题 1.下列去括号的过程是否正确？如果错误，请改正. (1) a²-(2a-b+c)=a²-2a-b+c; (2)-(x-y)+(xy-1)=-x-y+xy-1. 2.去括号： (1)a+(b-c); (2) a-(-b+c); (3)(a-b)+(c+d); (4)-(a+b)-(-c+d). 3.化简： (1) 12(x-0. 5) ; (2)-5(1-x); (3) -5a+ (3a-2)- (3a-7) ; (4)(y-3+2+1 4.某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15,每立方米a元；超过部分每立方米(a+2)元.若该地区某家庭上月用水量为20,则应缴水费多少元？ 答案： 1.(1)错误；正确的为：a²-(2a-b+c) =a²-2a+b-c; (2)错误；正确的为： -(x-y)+(xy-1) =-x+y+xy-1. 2. (1) a+b-c; (2)a+b-c; (3) a-b+c+d; (4) -a-b+c-d. 3. (1) 12x-6; (2)-5+x; (3)-5a+5; (4) 5y+1. 4.(20a+10)元. 总结提升 法则：①用括号外的数乘括号内的每一项. ②再把所得的积相加. 注意：括号外是负数时，去括号内的各项 要变号. 去 括 号 知识梳理 知识点：去括号,合并同类项 【练习】先去括号,再合并同类项.①x + [ - x - 2(x - 2y)] ；② a – (a + b 2 ) + 3 (- a + b 2 )；③2a - (5a - 3b) + 3(2a - b); ④ - 3{ - 3[ - 3(2x + x 2 ) - 3(x - x 2 ) - 3]}. 【解析】去括号时注意符号的变化,合并同类项时不要漏项. ①x + [ - x - 2(x - 2y)] = x - x - 2x + 4y= - 2x + 4y;. ② a - (a + b 2 ) + 3 (- a + b 2 ) = a - a - b 2 - a + b 2 = - 2a + b 2 . ③ 2a - (5a - 3b) + 3(2a - b) = 2a - 5a + 3b + 6a - 3b= 3a. ④ -3{ -3[ -3(2x + x 2 ) - 3(x - x 2 ) - 3]} = - 3[ - 3( - 6x - 3x 2 - 3x + 3x 2 - 3)]= - 3[ - 3( - 9x - 3)] = - 3(27x + 9)= - 81x - 27. 【方法小结】解答此类题目,去括号时要注意各项符号的变化,且不要漏乘. 有多级括 号时要注意去括号的顺序. 20 教材第100~102页 4.2 整式的加法与减法（三） 第四章 整式的加减 21 复习导入 合并同类项法则： 去括号法则： 注意：去括号时，如果括号外边是负号，去括号时，括号内的各项都要变号. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 思考：请同学们试着总结一下整式加减的法则: 整式加减的法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 学以致用 解:(1)(2x3y)+(5x+4y) =2x-3y+5x+4y =7x+y; (2)(8a-7b)-(4a-5b) =8a-7b-4a+5b =4a-2b. 合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，利用它们就可以进行整式的加减运算. 例6 计算： (1) (2) ; . 学以致用 例7.做大、小两个长方形纸盒，尺寸如下表所示. 类型 长/cm 宽/cm 高/cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 解：小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca) cm2， 大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca) cm2. （1）由题意，得： (2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca) =2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca =8ab+10bc+8ca. 因此,做这两个纸盒共用(8ab+10bc+8ca)cm2. (2)由题意,得(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca) =6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca =4ab+6bc+4ca. 因此,做大纸盒比做小纸盒多用纸 (4ab+6bc+4ca)cm2. 整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 例8 求x－2（x－y2）＋（﹣ x＋ y2 ）的值，其中x＝﹣2，y ＝ . 学以致用 解： x－2（x－y2）＋（﹣ x＋ y2 ） ＝ x －2 x＋y2 ﹣ x ＋ y2 ＝﹣ x ＋ y2 当x＝﹣2，y ＝ 时 原式＝﹣ ×（ ﹣2 ） ＋ （ ）2 ＝6 ＋（ ）＝6 巩固应用 3.王芳和李明一共花费（7x+5y)元. 教材习题 1.计算：(1) ab-4a2+3a2-(- ab); (2)x³-(x2-x+ 1)-2(x3-x2-1)-1; (3) a- (a-8b-12c)+3(-2c+2b). 2.求x2-5xy-3x2-2(1-2xy-x2)的值，其中x=- , y= 3.笔记本的单价是x元，中性笔的单价是y元.王芳买了3本笔记本,2支中性笔;李明买了4本笔记本，3支中性笔，买这些笔记本和中性笔，王芳和李明一共花费多少元? 2.原式化简为=xy-2 当X=- ,y= ,时=-()× -2=- . 1.(1) ab-a2 ；（2）-x3+x2+x；(3) -a+10b . 总结提升 整式的加减 法则：①去括号 ②合并同类项 注意：①去括号时注意符号变化 ②多项式相减时加括号 知识梳理 知识点:整式的加减. 【练习2】求多项式 a - 2 (a - b 2 ) – (a + b 2 ) + 1 的值,其中 a = 2,b = - . 【解析】先把原式去括号后合并同类项得到最简结果,再把 a 与 b 的值代入计算即可 求出值. 原式 = a - 2a + b 2 - a - b 2 + 1 = - 3a + b 2 + 1. 当 a = 2,b = - 时,原 式 = - 3 × 2 + ×( - ) 2 + 1 = - 6 + + 1 = - 4 【方法小结】化简求值时,一般先将整式进行化简,再代入求值. 代入求值时,要适当 添上括号,否则容易计算错误,还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替,代数式 中原有的数字和运算符号都不改变. 1 9 总结提升 同类项：①所含字母相同； ②相同字母指数也相同. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 法则：①所得项的系数是合并前各同类项的系数的和； ②字母连同它的指数不变. 合并同类项 去 括 号 法则：①用括号外的数乘括号内的每一项； ②再把所得的积相加. 注意：括号外是负数时，去括号内的各项要变号. 整式的加减 法则：①去括号； ②合并同类项. 注意：①去括号时注意符号变化； ②多项式相减时加括号. 29 $$