专题07 含参函数的单调性、极值及最值综合-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第二册）

专题07 含参函数的单调性、极值及最值综合 黄慧群高中数学辅导资料 专题07 含参函数的单调性、极值及最值综合 一、知识要点： 1.用导数讨论含参函数的单调性的方法与步骤： （1）求导：对含参函数求导，得到. （2）分类讨论：根据参数的取值范围及函数的定义域，对的正负进行讨论. 当时，求出的取值范围，即为函数的单调递增区间. 当时，求出的取值范围，即为函数的单调递减区间. 注：用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数，在解方程时需要讨论方程是否有实数解，有几个实数解，有解时，在确定不等式（或）的解时还需按根的大小分类讨论，才能得出结论． 2.用导数求含参函数求极值的方法与步骤： （1）求导令，求出极值点. （2）检查在极值点两侧的符号：若左侧为正，右侧为负，则该极值点为极大值点；若左侧为负，右侧为正，则该极值点为极小值点. 3. 用导数求含参函数的最值的方法与步骤： （1）求导. （2）找出函数的极值点. （3）比较极值点和区间端点的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 4.注意事项： （1）在求含参函数的单调区间和极值时，要对参数进行分类讨论，确保讨论的完整性。 （2） 求最值时，要注意区间的端点是否包含在定义域内。 （3）导数为的点不一定是极值点，需要进一步判断两侧的单调性。 二、专题训练： 题组一：利用导数讨论函数的单调性、极值和最值 1．已知函数，，讨论的单调性. 【详解】 由，得或，由，得或 当或时，； 当或时，，，；，. 当时，，，；，. 故当或时，在上单调递增； 当或时，在，上单调递增，在上单调递减： 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 2．已知，讨论函数的单调性. 【详解】定义域R，，令，解得， （1）当，即时，变化如下表： x a + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）当，即时，恒成立，但不恒为零，所以在上单调递增. （3）当，即时，变化如下表： x a + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 3．已知函数，讨论的单调性． 【详解】的定义域为，， 若，则恒成立，故在上为减函数； 若，则当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 综上，当时，在上为减函数； 当时，在上为增函数，在上为减函数． 4．已知函数.(1)若，求实数的值；(2)求函数的单调区间. 【详解】（1），因为，所以. （2）函数的定义域为.， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得，的解集为，的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 5．函数()．讨论的单调性﹒ 【详解】的定义域为，， ①当，时，，则在上单调递增； ②当，时，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减； ③当，时，，则在上单调递减； ④当，时，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减﹒ 综上所述，①当，时，在上单调递增；②当，时，在上单调递减，在上单调递增；③当，时，在上单调递减；④当，时，在上单调递增，在上单调递减﹒ 6．已知函数.（1）若，求在区间上的最大值；（2）求在区间上的最小值. 【详解】（1）因为，所以，，所以. 由或， 所以当，所以，所以在上单调递增， 所以. （2）的定义域为，， 由. ①当，即时，或.所以在上单调递增，； ②当，即时，由或.由. 所以在上单调递减，在上单调递增，； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 题组二：函数的单调性讨论与求切线方程综合 1．设函数其中．（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；（2）求函数的单调区间． 【详解】（1）由题设，，则， ∴，故点处的切线斜率为1. （2）由题设，，又， ∴，且， 当时，，单调递增； 当时，或，单调递减； ∴在上递增，在、上递减. 2．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 【详解】（1）．令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 若时，，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． （2）当时， 设切点，则切线方程为 因为切线过原点， 故， 即，解得或 所以或. 3．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 【详解】（1）当时，，所以.所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即； （2）. 当时，在时，，此时，函数的单调增区间是； 当时，若，则；若，则. 此时，函数的单调递减区间是，递增区间是. 综上所述：当时，的单调增区间是； 当时，的单调递减区间是，递增区间是. 4．已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）求函数的单调区间． 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为，令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 5．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性 【详解】（1）由得，则在点处的切线斜率为， 又，所以在点处的切线方程为，即； （2）因为,所以 当时，在上恒正；所以在上单调递增； 当时，由得，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增；当时，当时，单调递减； 当时，单调递增. 6．已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. （2）， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 题组三：函数的求切线方程与求极值最值综合 1．已知曲线在点处的切线的斜率为1.（1）求实数a的值；（2）求函数的单调区间与极值. 【详解】（1）由，得， 曲线在点处的切线的斜率为1， 故； （2）由（1）知，， 令，则或；令，则； 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 故函数的极小值为，极大值为. 2．设函数，，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）求函数在上的最小值. 【详解】（1）函数，，可得，， 由题意，两函数在处有相同的切线.∴，，∴， 又，∴，，∴，. （2），由得，由得， ∴在单调递增，在单调递减，∵，∴， ①当时，在单调递减，单调递增，∴的最小值为； ②当时，在单调递增，∴的最小值为. ∴综上可得，当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 3．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值. 【详解】（1）， ∵在点处的切线平行于直线， ∴，∴； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 3 + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴极大值为，极小值为. 题组四：函数的单调性与求极值最值综合 1．已知函数.（1）求的单调减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【详解】（1）由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； （2）因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值，所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 2．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，求函数的最大值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：，当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为，， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为，. 3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求在区间上的最大值． 【详解】（1）由题意得：定义域为，， ①当时，，在上单调递增；②当时，令得：， 列表如下： ＋ － 递增 极大值 递减 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）知： ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ③当，即时，在上单调递增，则； 综上所述：. 4．已知函数在处取得极值.(1)求的值；(2)求函数在上的最小值. 【详解】（1）， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. （2）由（1）得，则， 令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 三、自我检测： 1．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值. 【详解】（1）的定义域为，，所以， 又因为，所以切点为，所以曲线在处的切线方程为 （2），当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 2．已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，求函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，，，， 函数在点处的切线方程为. （2）由题意，， （ⅰ）当时，，令，得；，得； ∴在单调递增，单调递减； （ⅱ）当时，，令，得；，得或， ∴在单调递增，在，上单调递减. 3．已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间. 【详解】（1）∵，∴， ∴，又，∴.∴所求切线方程为. （2）由题意知，函数的定义域为，由（1）知， ∴，易知， ①当时，令，得或；令，得. ②当时，，令，得；令，得或. ③当时，. ④当时，，令，得；令，得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 4．已知函数R)．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)求的单调区间． 【详解】（1）当时，，， ，则，所以在处的切线方程为． （2），， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令，则，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 5．已知函数．(1)若函数，求的单调递增区间；(2)若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为， 且定义域为，所以，（）， 令，得或．所以的单调递增区间为，． （2）因为，所以， 又因为有两个都小于0的极值点，所以有两个不相等的负数根，， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 6．已知函数．（1）当时，求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的最小值． 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以函数在上单调递减，在上单调递增，此时. 综上所述，. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$专题07 含参函数的单调性、极值及最值综合 黄慧群高中数学辅导资料 专题07 含参函数的单调性、极值及最值综合 一、知识要点： 1.用导数讨论含参函数的单调性的方法与步骤： （1）求导：对含参函数求导，得到. （2）分类讨论：根据参数的取值范围及函数的定义域，对的正负进行讨论. 当时，求出的取值范围，即为函数的单调递增区间. 当时，求出的取值范围，即为函数的单调递减区间. 注：用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数，在解方程时需要讨论方程是否有实数解，有几个实数解，有解时，在确定不等式（或）的解时还需按根的大小分类讨论，才能得出结论． 2.用导数求含参函数求极值的方法与步骤： （1）求导令，求出极值点. （2）检查在极值点两侧的符号：若左侧为正，右侧为负，则该极值点为极大值点；若左侧为负，右侧为正，则该极值点为极小值点. 3. 用导数求含参函数的最值的方法与步骤： （1）求导. （2）找出函数的极值点. （3）比较极值点和区间端点的函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 4.注意事项： （1）在求含参函数的单调区间和极值时，要对参数进行分类讨论，确保讨论的完整性。 （2） 求最值时，要注意区间的端点是否包含在定义域内。 （3）导数为的点不一定是极值点，需要进一步判断两侧的单调性。 二、专题训练： 题组一：利用导数讨论函数的单调性、极值和最值 1．已知函数，，讨论的单调性. 2．已知，讨论函数的单调性. 3．已知函数，讨论的单调性． 4．已知函数.(1)若，求实数的值；(2)求函数的单调区间. 5．函数()．讨论的单调性﹒ 6．已知函数.（1）若，求在区间上的最大值；（2）求在区间上的最小值. 题组二：函数的单调性讨论与求切线方程综合 1．设函数其中．（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；（2）求函数的单调区间． 2．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 3．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 4．已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；（2）求函数的单调区间． 5．已知二次函数.（1）求在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性 6．已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性. 题组三：函数的求切线方程与求极值最值综合 1．已知曲线在点处的切线的斜率为1.（1）求实数a的值；（2）求函数的单调区间与极值. 2．设函数，，已知它们在处有相同的切线.（1）求函数，的解析式；（2）求函数在上的最小值. 3．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求函数的极值. 题组四：函数的单调性与求极值最值综合 1．已知函数.（1）求的单调减区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 2．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，求函数的最大值． 3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求在区间上的最大值． 4．已知函数在处取得极值.(1)求的值；(2)求函数在上的最小值. 三、自我检测： 1．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值. 2．已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，求函数的单调区间. 3．已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间. 4．已知函数R)．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)求的单调区间． 5．已知函数．(1)若函数，求的单调递增区间；(2)若有两个都小于0的极值点，求实数的取值范围． 6．已知函数．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的最小值． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$