第1章 2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三 角形的性质和判定. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解 决问题.（重点、难点） 新课引入 直角三角形的两个锐角互余. 问题1 直角三角形的定义是什么？ 问题2 三角形内角和的性质是什么？ 有一个角是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于180°. 这节课我们一起来证明直角三角形的性质与判定. 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 新知探究 直角三角形的性质与判定 一 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 问题引入 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 新知探究 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，∵ ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，∴ ∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 新知探究 勾股定理与逆定理 二 知识回顾 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾 弦 股 证明欣赏 b a c b a c 1．美国第二十任总统的证法： 新知探究 新知探究 c a b c a b c a b c a b ∵ (a+b)2 = c2+ ， a2+2ab+b2 = c2+2ab， ∴a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 ； (a+b)2 c2+ 2．利用正方形面积拼图证明： 新知探究 c ∵ c2= +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　　　 ． c2 +(b-a)2 3．赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？为什么？ 新知探究 A B C 已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？ 例1 证明此命题： 新知探究 证明：作Rt△DEF,使∠E=90°, DE=AC,FE=BC， 则DE2+EF2=DF2(勾股定理)． ∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), ∴AB2=DF2， ∴AB=DF， ∴△ABC ≌△DFE（SSS）． ∴∠C=∠E=90°, ∴△ABC是直角三角形． D F E ┏ A B C 新知探究 归纳总结 定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 新知探究 互逆命题与互逆定理 三 议一议 定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 新知探究 观察上面三组命题,你发现了什么? 1.两直线平行,内错角相等； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 2.内错角相等,两直线平行； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等； 说出下列命题的条件和结论： 新知探究 新知探究 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 命题“两直线平行，内错角相等” 条件为：两直线平行； 结论为：内错角相等． 因此它的逆命题为： 内错角相等，两直线平行. 新知探究 例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 典例精析 新知探究 (2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形; 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. 新知探究 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确． 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题． 知识归纳 新知探究 例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如10能被5整除，但它的个位数是0. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5. 例如60°= 60°，但这两个角不是直角. 新知探究 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题. 注意2：不是所有的定理都有逆定理. 知识归纳 课堂小结 直角三角形 角的性质 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小测 1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 【解析】Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100， ∴AB=10cm.BE= AB=5cm. B 课堂小测 2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明. (1)同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等. 真 $$