第1章 1 等腰三角形 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 1 等腰三角形 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点) 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点) 新课引入 观察与思考 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 新知探究 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？ 新知探究 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 一 新知探究 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 新知探究 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 新知探究 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A C B 60° 【验证】 新知探究 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 新知探究 例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 新知探究 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形 ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. 新知探究 含30°角的直角三角形的性质 二 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 合作探究 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 新知探究 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°， ∠A=30°. 求证:BC= AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° 新知探究 ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°,(平角意义) 在△ABC与△ADC中, BC=DC,（作图） 　∠ACB=∠ACD,（已证） AC=AC,（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） , ∴ AD=AB. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,(已知) ∴∠B=60°, ∴△ABD是等边三角形,(有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质) 30° A B C D 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， 新知探究 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 推论： 归纳总结 新知探究 C B A D 例2 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB =15°, CD是腰AB上的高，求CD的长. 解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a． （在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 新知探究 例3 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D． 求证:BD= D A C B 30° 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90° ∴BC= ∠B=60°． ∵∠BCD=90°-∠B=30°, ∴BD= ∴BD= 课堂小结 1.等边三角形的判定: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 2.特殊的直角三角形的性质: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 3.数学方法：分类的思想． 课堂小测 1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm. 9 2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则AC=_____． A B C 3 30° 6 课堂小测 3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且 DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明: ∵ AB=BC， ∴△ABC是等边三角形. 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， 课堂小测 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC=　BD． 又∵BC= 　AB， ∴AB=BD,∴AB=AD=BD, 即△ABD是等边三角形． ∴∠B=60°,在Rt△ABC中,∠BAC=30°． 4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB． 求证：∠BAC=30°． C B A D $$