第1章 1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质; 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点) 新课引入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？ 相等 新知探究 等腰三角形的重要线段的性质 一 A C B D E A C B M N A C B P Q 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？ 猜想：底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 你能证明你的猜想吗？ 新知探究 例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等． A C B E 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线． 1 2 D 新知探究 ∠2= ∠ACB(已知), ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 证明： 又∵∠1= ∠ABC， ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边）， 　∠1=∠2（已证）， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)． A C B E 1 2 D 新知探究 又∵CM= ，BN=　 ， 例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． BM=CN． 求证: 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. ∴CM=BN． 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN， ∴△BMC≌△CNB（SAS）． ∴BM=CN. A C B M N 新知探究 例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等． BP=CQ． 求证: 已知：如图,在△ABC中, AB=AC, BP,CQ是 △ABC两腰上的高． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BQC与△CPB中， ∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB，∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（AAS）． ∴BP=CQ. A C B P Q 还有其他的结论吗? 新知探究 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. （1）如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB， 那么BD=CE吗? 为什么？ 议一议： BD=CE ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).   ∴∠ABD=∠ACE(等量代换). 在△ABD与△ACE中， ∠ABD=∠ ACE（已证）， AB=AC（已知）， 　∠A=∠A（公共角）， ∴ △ABD≌△ACE（ASA）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)． A C B D E 新知探究 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. （2）如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB 呢? 由此你能得到一个什么结论? 议一议： 如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB ， 那么BD=CE吗? 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. BD=CE BD=CE A C B D E 新知探究 2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. (1)如果AD= AC, AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ A C B D E BD=CE   在△ABD与△ACE中， AB=AC（已知）， 　∠A=∠A（公共角）， ∴ △ABD≌△ACE（SAS）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)． AD=AE, (等量代换) AD=AE (已证) ∴ 新知探究 2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. (2)如果AD= AC, AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 由此你能得到一个什么结论? (3)如果AD= AC, AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ 两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. 这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法. A C B D E 与（1）同理 BD=CE 与（1）同理 新知探究 等边三角形的性质 二 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理了？ 新知探究 定理证明 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A C B 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 新知探究 B C D A E 例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°. 课堂小结 等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 课堂小测 A C B D E 1.如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已△ABC 的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. 12 课堂小测 2.如图所示，△ACM 和△BCN 都为等边三角形，连接AN，BM，求证：AN=BM. 证明： ∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵CA＝CM，CB＝CN， ∴△CAN ≌△CMB(SAS)， ∴AN＝BM. 课堂小测 3.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A,O,D三点共线, ∴ ∠DOB=∠COA=120°, ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO, ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F $$