第1章 1 等腰三角形 第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明 八年级数学北师版·下册 1 等腰三角形 第1课时 三角形的全等 和等腰三角形的性质 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.(重点) 新课引入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁 埃及金字塔 体育观看台架 新知探究 问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理? 七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”. 思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？ 新知探究 问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？ 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. 新知探究 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键 证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路，写出证明过程. 全等三角形的判定和性质 一 新知探究 已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）. ∵BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. F E D C B A 总结归纳 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 新知探究 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的性质及其推论 二 问题引入 新知探究 新知探究 等腰三角形的两个底角相等. A B C 已知：△ABC中，AB=AC， 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证 新知探究 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 新知探究 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C D 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 )， ∠BAD=∠CAD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 新知探究 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 新知探究 定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图，在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论，以后可以直接运用. 总结归纳 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 新知探究 A C B D 1 2 ∵AB=AC， ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD， AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC， BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC， AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD， ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图，在△ABC中， 新知探究 A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD， ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC， △ABD， △BCD. 新知探究 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD， ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A， ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x°，请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °， 新知探究 A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x， 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x， 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 °，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 新知探究 例2 如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证： AF⊥BC. 解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明． 图① 图② A B D G E C A B D E C F 新知探究 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图① 图② A B D G E C A B D E C F 新知探究 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 课堂小测 1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌ △AED，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________________． ∠C＝∠D（答案不唯一） 课堂小测 2.(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为___________； (2)等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为__________. 75°， 30° 72°，72°或36°，108° 30°，30° 结论:在等腰三角形中，注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° $$