专题06 四边形和圆（3类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（天津专用）

专题06 四边形和圆 课标要求 考点 考向 1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。 2．探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3．探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 4．借探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； 5．探索圆周角于圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 6．圆内接四边形的对角互补； 7.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 8.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 四边形 考向 平行四边形和特殊平行四边形的性质 圆 考向一 垂径定理 考向二 切线的性质 考点一 四边形 ►考向 平行四边形和特殊平行四边形的性质 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 3．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 考点二 圆 ►考向一 垂径定理 4．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． ►考向二 切线的性质 5．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 6．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 1．（2024·天津武清·三模）如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 5．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 6．（2024·天津滨海新·模拟预测）如图，正方形中，点是边上一点，的垂直平分线分别交，，于点，，．若，则的长为 ． 7．（2024·天津武清·三模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为8． （1）的面积为 ； （2）点E是边上一点，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点G，若点F为的中点，则的长为 ．    8．（2024·天津南开·三模）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为 ； （2）的长度为 ． 9．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，，，，D为边的中点，点E在边上，且． （1）的长为 ． （2）若点F为的中点，点G为的中点，则的长为 ． 10．（2024·天津河西·二模）如图，在边长为4的正方形的外侧，作直角三角形，，且． （Ⅰ）与的长度和为 ； （Ⅱ）若O为的中点，连接，则的长为 ． 11．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 12．（2024·天津和平·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 13．（2024·天津河北·二模）在中， 是的直径， ，弦交于点 ， (1)如图①， 求 和的大小； (2)如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 14．（2024·天津红桥·一模）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． 15．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 16．（2024·天津南开·三模）如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．    (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形和圆 课标要求 考点 考向 1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。 2．探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3．探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 4．借探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； 5．探索圆周角于圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 6．圆内接四边形的对角互补； 7.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 8.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 四边形 考向 平行四边形和特殊平行四边形的性质 圆 考向一 垂径定理 考向二 切线的性质 考点一 四边形 ►考向 平行四边形和特殊平行四边形的性质 1．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 2．（2023·天津·中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．    （1）的面积为 ； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作，   正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 3．（2022·天津·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ． 【答案】 【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出FB为的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明，得出． 【详解】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G． ∵四边形是边长为2的菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴，即点B为线段EG的中点， 又∵F为的中点， ∴FB为的中位线， ∴，， ∴，即是直角三角形， ∴． 在和中， ，‘ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键． 考点二 圆 ►考向一 垂径定理 4．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接．    同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． ►考向二 切线的性质 5．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 6．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 1．（2024·天津武清·三模）如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理求出，可判断，设，则，，矩形 的面积为，则，可判断，根据可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的长可以为，故符合题意； ∵四边形是矩形， ∴， 设，则，， ∴， 设矩形 的面积为，则 ， 当的面积为，即 ， 解得：，， ∴当，时，矩形的面积为， 当，时，矩形的面积为， 故符合题意； ， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 故符合题意， 故选：D． 2．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示：    设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 3．（2024·天津河西·二模）如图，，平分，交于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线与相交于点D．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设交于点O，根据题意得到平分，再根据平行线的性质，易证四边形是菱形，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：设交于点O， 由作图依据可得：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键． 4．（2024·天津南开·二模）如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：       ①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接； ②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F； ③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G； ④连接，，连接交于点H． 则下列结论中正确的是（    ） A．平分 B． C．四边形为菱形 D．四边形为菱形 【答案】D 【分析】本题是基本作图与四边形综合题，解题关键是清楚作图的过程和结果． 由作法可知，，根据即可判定选项A不正确，判定四边形为平行四边形，四边形为菱形，由勾股定理和解三角形求出、即可判定选项BC错误，D正确． 【详解】解：∵，，． ∴， 由作法可知，． ∴， ∴，，故A选项结论错误； ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为菱形，故选项D正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， 故，故B结论错误， ∵， ∴，故不是菱形，故C选项结论错误． 故选D． 5．（2024·天津滨海新·模拟预测）如图，正方形中，点是边上一点，的垂直平分线分别交，，于点，，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定等知识．过点作，垂足为，设交于，连接，，利用垂直平分线的性质和正方形的性质，证明和，利用全等三角形的性质，求得，再利用勾股定理可求． 【详解】解：过点作，垂足为，设交于，连接，，如图 是的垂直平分线， ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 在的垂直平分线上， ， 是正方形的对角线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 6．（2024·天津武清·三模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为8． （1）的面积为 ； （2）点E是边上一点，过点E作的垂线，交于点F，交的延长线于点G，若点F为的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识， 熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）连接， 交于点，先证，再得到是的中位线，再证四边形是平行四边形，得，然后由勾股定理求出即可求出三角形的面积； （2）先证明是的中位线，得到的长，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解． 【详解】解：（1）连接， 交于点，如图所示：    ∵菱形的边长为5， ， ∴，，，， 在中， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可得： ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是菱形的对角线， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（2024·天津南开·三模）如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为 ； （2）的长度为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质，连接、，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， ． 矩形绕点顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：5，． 8．（2024·天津红桥·三模）如图，在中，，，，D为边的中点，点E在边上，且． （1）的长为 ． （2）若点F为的中点，点G为的中点，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确添加辅助线、掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）作，连接并延长交于，连接，先证明，可得，又勾股定理求得，再利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，D为边的中点， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1； （2）作，连接并延长交于，连接， ∵，， ∴，，， 又∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 9．（2024·天津河西·二模）如图，在边长为4的正方形的外侧，作直角三角形，，且． （Ⅰ）与的长度和为 ； （Ⅱ）若O为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】（Ⅰ）根据是直角三角形，，，直接解直角三角形即可得到与的长度，即可得到结果； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q，证明四边形是矩形，解直角三角形即可得到的长度，证明，求出的长度，最后利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：（Ⅰ）三角形中，，且，， ， ， 故答案为：； （Ⅱ）过点O，E作的垂线，垂足为，过点E作的垂线，交延长线与点Q， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， O为的中点， ， G为的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，正方形的性质，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键． 10．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 【答案】 12 【分析】（1）根据三角形中线求面积即可； （2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 11．（2024·天津和平·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明得出，根据四边形是圆内接四边形，可得，即可得出； （2）由（1）可得是圆的直径 设的中点为，点即为圆心连接并延长与相交于点根据垂径定理可得，结合已知条件可得 是等边三角形，进而得出四边形 是矩形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解:∵平分， ， 、 ， 又， 四边形是圆内接四边形， （2）， 是圆的直径 设的中点为，点即为圆心 连接并延长与相交于点 是的切线， ， 由 () 得， 可得 是等边三角形 在中， ， 四边形 是矩形 即圆的半径长为    【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2024·天津河北·二模）在中， 是的直径， ，弦交于点 ， (1)如图①， 求 和的大小； (2)如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理， （1）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（1）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 13．（2024·天津红桥·一模）已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)如图①，若为的中点，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解答 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图①，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，接着根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以，然后利用互余得到的度数； （2）连接，如图②，根据垂径定理得到，再利用等角的余角相等得到，加上，从而得到． 【详解】（1）解：连接，如图①， 与相切于点， ， ， 为的中点， ， ， 在中，， ， 点为的中点， ， ， ； （2）证明：连接，如图②， 点为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ． 14．（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出； （2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图①，连接．   四边形内接于，， ， 为的直径， ， ． 点为中点， ， ． 综上可知，． （2）解：如图②，连接，连接交于点． 为的直径， ， ， 为的切线， ，即， 点为中点，为过圆心的线段， ，即， ， 四边形是矩形， ． ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理及其推论，勾股定理，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导． 15．（2024·天津南开·三模）如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接．    (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，垂径定理，得到，切线得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）分别连接，求出，设的半径半径为r，在中，利用三角函数求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵，， ∴． ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∴． ∵为的切线，且为半径， ∴，即， ∴． （2）如图，分别连接，    由（1）可知，且， ∵， ∴． 在中，有， 即：， ∴． ∵是的直径， ∴， ∵，且G为中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径半径为r， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，，， 由勾股定理得：， ∴，即半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$