精品解析：江西省赣州市大余县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末检测 九年级数学试题卷 说明： 1．本试卷共六大题，23小题： 2．全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 共六种可能， 只有是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由平角的定义可得的度数，由圆内接四边形对角互补可得 的度数，再由圆周角定理可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线 ），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 6. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为 ．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线 是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将 向左平移1个单位得：， 抛物线 是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根为__________． 【答案】0和2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0和2． 8. 正八边形的外角和是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是即可． 【详解】解：任意多边形的外角和都是 正八边形的外角和是． 故答案为：． 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 10. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 11. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______. 【答案】﹣2＜x＜1 【解析】 【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可； 【详解】解：如图所示： ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)， ∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1. 故答案为：﹣2＜x＜1. 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键. 12. 已知 是以 为腰的等腰三角形，D为 边上一点，且，若 的长恰好为 一边长的，则的值为 ______． 【答案】1或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键分三种情况讨论求解：①当，时；②当，时；③当 时， 时． 【详解】解：①当，时， ∵， ∴， ∴ ， ∴； ②当，时，   设，则， ∵， ∴， ∴； ③当 时， 时， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 综上可知，值是1或或． 故答案为：1或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）根据配方法，得，从而完成求解； （2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∴ ∴ ∴ ． 14. 如图，矩形内接于 ，分别以 ，， ， 为直径向外作半圆． 若，，求阴影部分的面积是多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、矩形的基本性质、勾股定理．根据勾股定理可以求出，根据阴影部分的面积以为直径的圆的面积以 为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 在 中，， ， ， 阴影部分的面积以为直径的圆的面积以 为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积， ， 答：阴影部分的面积是 ． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，设方程的两根分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解不等式求出k的取值范围即可； （2）把代入方程，求出，，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，方程为， 解得，， 则． 16. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以 为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画出四边形的一条对称轴． （2）在图②中，画出经过点E的的切线． 【答案】（1）如图： （2）如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点 ，作直线，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为 的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点 ，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形 是正方形，点E为正方形 的中心，则 ． 17. 在直角坐标系中，O为原点，A点的坐标为，连接线段，将线段绕点O逆时针旋转，A的对应点为． （1）则的坐标为______； （2）求线段在旋转过程中所扫过的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形，进而可得的坐标； （2）利用勾股定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴线段在旋转过程中所扫过的面积为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，勾股定理，扇形的面积计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 要组织一场篮球赛，每两队之间都赛一场（单循环赛），计划安排15场比赛，求应邀请多少个球队参赛？ 【答案】应邀请6个球队参加比赛． 【解析】 【分析】赛制为单循环赛（每两队之间都赛1场），x个球队比赛总场数为，即可列方程求解． 【详解】设应邀请个球队参加比赛，每个队都要赛场，由题意得 ， 解得或（舍去） 所以，应邀请6个球队参加比赛． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 19. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40； 补全图形如下： （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360度乘以C组人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为 （名）， C组人数为（名）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 20. 如图，在中， ，点 在上，以 为直径的经过 上的点，与交于点 ，且． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形的边上有一点 ，连接，把绕点 逆时针旋转，得到．连接并延长与 的延长线交于点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，过点 作交延长线于点，证明和全等，得到 ，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值即可，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键. 【详解】解：过点 作交延长线于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点 逆时针旋转，得到， ∴ ，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ∴， ． 22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（ ，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线 经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分， ，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过两点， ∴，解得：， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当 时， ， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，， ∴， 即：的最小值为：； 【小问3详解】 解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当 时，， ∴， ∴； ②当 为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当 时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末检测 九年级数学试题卷 说明： 1．本试卷共六大题，23小题： 2．全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 3. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用 ，， 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为 ．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线 是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根为__________． 8. 正八边形的外角和是______． 9. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为___________． 10. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 11. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______. 12. 已知是以为腰的等腰三角形，D为边上一点，且，若的长恰好为一边长的，则的值为 ______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 14. 如图，矩形内接于 ，分别以 ，， ， 为直径向外作半圆． 若，，求阴影部分的面积是多少． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当时，设方程的两根分别为，，求的值． 16. 图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，画出四边形的一条对称轴． （2）在图②中，画出经过点E的的切线． 17. 在直角坐标系中，O为原点，A点的坐标为，连接线段，将线段绕点O逆时针旋转，A的对应点为． （1）则的坐标为______； （2）求线段在旋转过程中所扫过的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 要组织一场篮球赛，每两队之间都赛一场（单循环赛），计划安排15场比赛，求应邀请多少个球队参赛？ 19. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 20. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过 上的点，与交于点，且 ． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，求的值． 22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（ ，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，抛物线 经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $