精品解析：四川省宜宾市翠屏区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年学校义务教育质量监测 九年级 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 掷一枚硬币正面朝上 C. 任意抛掷一枚骰子，点数大于6 D. 翻开九年级上册数学书刚好是第24页 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 6. 近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 17 8. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. B. 2023 C. D. 2021 10. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 12. 如图，在边长为的菱形中，，在线段上，在线段上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 14. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 15. 如图，在中，点是边上的点，点是边上的点，且，，点是中点，若的面积为48，则的面积为______． 16. 已知，且，则______． 17. 如图，反比例函数在第一象限内的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则______． 18. 如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有______（填写正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形； （2）写出、、的坐标． 21. 宜宾不仅是万里长江第一城，也是一座蕴含红色基因的城市．为了更好地开展红色文化教育，宜宾市某中学组织该校三个年级学生分年级到红色文化教育基地学习红色文化，感受先辈的不屈与坚强．经学校综合考虑，分别有以下四个红色文化学习点供选择A：赵一曼纪念馆；B：李硕勋故居；C：朱德故居；D：李庄文化抗战博物馆．且每个年级只能选择一个红色教育点． （1）若该校九年级从以上四个红色教育基地中随机选择一个，则恰好选择朱德故居的概率为______； （2）若七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个，请用画树状图或列表的方法，求两个年级选择的地点不相同的概率． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 23. 如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，） （1）求点到地面的距离； （2）求摩天轮的高度（结果保留整数）． 24. 如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图1，在和中，，，． （1）如图1，连接，，，，求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点旋转，点恰好落在的中线的延长线上，延长交于点，求的值； （3）在（1）的条件下，绕点旋转过程中，以、、为顶点能构成直角三角形．请直接写出所有满足条件中锐角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年学校义务教育质量监测 九年级 数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件是不可能事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 掷一枚硬币正面朝上 C. 任意抛掷一枚骰子，点数大于6 D. 翻开九年级上册数学书刚好是第24页 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件和不可能事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、明天会下雨，是随机事件，则此项不符合题意； B、掷一枚硬币正面朝上，是随机事件，则此项不符合题意； C、任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，则此项符合题意； D、翻开九年级上册数学书刚好是第24页，是随机事件，则此项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式的运算法则计算各选项即可得解． 【详解】解：A. ，原选项运算错误，不符合题意； B. ，原选项计算正确，符合题意； C. ，原选项运算错误，不符合题意； D. ，原选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得的长，再根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先分别求出第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，再根据“第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元， ∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元， ∴可列方程为， 故选：D． 7. 若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得，求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的四等分点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. B. 2023 C. D. 2021 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 10. 如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用29除以3余数为2，可知第29个三角形的直角顶点为第10个循环组的第二个三角形的顶点，求出即可． 【详解】解：∵点、， ∴， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：， ∵余2， ∴的直角顶点是第10个循环组的第二个三角形的直角顶点， 如图， ， ∴， 由勾股定理得，, ∴的直角顶点的坐标为,即， 故选：B． 11. 对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 12. 如图，在边长为的菱形中，，在线段上，在线段上，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，作，使得，连接，，利用相似三角形的性质推出，继而得到，转化为求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作，使得，连接，， ∵边长为的菱形中，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点、、共线时，取“”，此时的最小值为线段的长， 在中， ，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得： 移项得： 即的取值范围是． 14. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和6个白球，它们除颜色外其它都相同．从口袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【点睛】本题考查了概率公式，利用概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数，算出概率即可． 【详解】解：∵有4个红球和6个白球， ∴任意摸出一个球是红球的概率， 故答案为：． 15. 如图，在中，点是边上的点，点是边上的点，且，，点是中点，若的面积为48，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可求的面积，根据中点性质可求的面积 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴，且， ∴； ∵D是中点， ∴． 故答案为：． 16. 已知，且，则______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．先判断出，且，再把已知等式化成，将看作一个整体，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故答案为：或1． 17. 如图，反比例函数在第一象限内的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，通过角的计算找出，结合“”可得出，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，可得出的值，进而得到k的值． 【详解】解：如图，连接，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵由直线与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∵点C在第二象限， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有______（填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明，故①是正确的；再根据勾股定理以及全等三角形的性质得，运用割补法列式计算，得②是正确的；先证明，再分别算出，再分别化简，得③是正确的；运用垂直平分线的性质与判定，结合垂线段最短，作图得当这三点共线时，则最小，此时，运用等面积法列式化简，故④是错误的． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确的； ∵， ∴， 在中，， ∴， 过点作，如图所示： ∵， ∴ ∴ 在中，， 解得， 则 ， 故②正确的； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 故， ∴， ； ∴， 故③正确的； ∵， ∴， 连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是线段上的一个动点，过点作，垂足为， ∴当这三点共线时，则最小， 此时， ∵ ∴ 则 ∴ 故 ∴的最小值为． 故④是错误的， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和方程的解法是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，再计算二次根式的乘法与加减法即可得； （2）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在轴下方画出与位似比为2的位似图形； （2）写出、、的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）、、 【解析】 【分析】本题考查了坐标系与位似图形，熟练掌握点坐标的位似变换规律是解题关键． （1）先根据位似中心、位似比画出点，再顺次连接即可得； （2）根据点坐标的位似变换规律即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：∵在轴下方的与的位似比为2，且，，， ∴、、， 即、、． 21. 宜宾不仅是万里长江第一城，也是一座蕴含红色基因的城市．为了更好地开展红色文化教育，宜宾市某中学组织该校三个年级学生分年级到红色文化教育基地学习红色文化，感受先辈的不屈与坚强．经学校综合考虑，分别有以下四个红色文化学习点供选择A：赵一曼纪念馆；B：李硕勋故居；C：朱德故居；D：李庄文化抗战博物馆．且每个年级只能选择一个红色教育点． （1）若该校九年级从以上四个红色教育基地中随机选择一个，则恰好选择朱德故居的概率为______； （2）若七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个，请用画树状图或列表的方法，求两个年级选择的地点不相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个的所有等可能的结果，再找出两个年级选择的地点不相同的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵该校九年级从四个红色教育基地中随机选择共有4种等可能的结果， ∴恰好选择朱德故居的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，七年级和八年级各自从这四个红色文化教育基地中随机选一个共有16种等可能的结果，其中，两个年级选择的地点不相同的结果有12种， 则两个年级选择的地点不相同的概率为， 答：两个年级选择的地点不相同的概率为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将变形得到，再整体代入得关于的方程，由此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得，； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴， 又， 整理得，， ∴ 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 23. 如图1是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”．该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮，也是南溪区的地标性建筑之一．游客可以在碧水蓝天之间领略长江第一湾的独特景观．图2是它平面示意图，是摩天轮的直径，小红从点沿着坡度的斜坡走了13米到达登舱平台上点，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端测得地面上点的俯角为，测得地面上点的俯角为，已知、两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：，） （1）求点到地面的距离； （2）求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】（1）12米 （2）约为89米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，再设米，则米，利用勾股定理可得的值，由此即可得； （2）过点作于点，延长交于点，先得出四边形是矩形，根据矩形的性质可得米，再设摩天轮的高度米，则米，解直角三角形分别求出的长，然后根据建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵斜坡的坡度，且米， ∴在中，， 设米，则米， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（米）， 答：点到地面的距离为12米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米， 由题意得：，米， 设摩天轮的高度米，则米， 在中，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得（米）， 答：摩天轮的高度约为89米． 24. 如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理， （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，证明，推出，再利用勾股定理即可得出结论； 解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 由（1）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 25. 如图1，在和中，，，． （1）如图1，连接，，，，求的长； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点旋转，点恰好落在的中线的延长线上，延长交于点，求的值； （3）在（1）的条件下，绕点旋转过程中，以、、为顶点能构成直角三角形．请直接写出所有满足条件中锐角的正切值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用可证明，即可得出，根据可证明，根据相似三角形的性质可求出，利用勾股定理即可得答案； （2）过点作于，根据直角三角形斜边中线的性质得出，利用角的和差关系及等腰三角形的性质可得出，可证明，得出，，设，利用勾股定理可得出，即可得出，即可得出，根据及线段的和差关系可得答案； （3）分点在线段上、点在延长线上及三种情况，根据相似三角形的判定定理及正切的定义分别求解即可得答案． 【小问1详解】 解：在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵点恰好落在的中线的延长线上，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵以、、为顶点能构成直角三角形，为锐角， ∴有以下三种情况： ①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ②如图，当点在延长线上时，， ∴， ∴． ③如图，当时，过点作于，交于， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义、平行线的判定与性质及等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $