7.3 定义、命题、定理（PPT课件）-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（人教版2024）

七年级数学人教版·下册 授课人：XXXX 第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 如果由于缺少软件或软件未更新不能正常播放，可自行下载安装最新的软件，文件夹提供了部分安装包 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 教学目标 1.掌握定义、命题、定理的概念, 了解证明的意义;（重点） 2.分清命题的组成, 能说出一个命题的逆命题; 掌握推理的方 法和步骤.（难点） 新课导入 下列语句在表述形式上, 哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？对事情作了判断的语句是否正确？ 1. 对顶角相等; 2. 画一个角等于已知角; 3. 两直线平行, 同位角相等; 4. a, b两条直线平行吗？ 5. 温柔的李明明; 6. 玫瑰花是动物; 7. 若a2＝4, 求a的值; 8. 若a2＝b2, 则a＝b. 否 是 否 否 是 否 是 是 √ √ × × 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，例如： (1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； (3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线； (4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． 这样的描述称为数学对象的定义．一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．例如，"数轴"指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；根据方程的解的定义，可以判断x=2是方程2x=4的解． 新知探究 新知探究 下列四个语句有什么共同点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互 相平行; （2）两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补; （3）对顶角相等; （4）等式两边加同一个数, 结果仍是等式. 这些语句都是对某一件事情作出 “是” 或 “不是” 的判断. 知识归纳 可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句叫作命题. 2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断, 那么它就不是命题. 注意：1. 只要对一件事情作出了判断, 不管正确与否, 都是命题. 如: 相等的角是对顶角. 如问句, 祈使句, 几何的作法等就不是命题. 例如： 新知探究 命题的组成: 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. 命题通常可以写成 “如果…… , 那么……” 的形式, “如果” 后接的部分是题设, “那么” 后接的部分是结论. 如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行; 题设: 两条直线都与第三条直线平行. 结论: 这两条直线也互相平行. 新知探究 有的命题没有写成“ 如果…… , 那么……” 的形式, 题设与结论不明显, 这时要分清命题判断了什么事情, 有什么已知事项, 再改写成“如果…… , 那么……” 形式. 例如： 对顶角相等. 如果两个角是对顶角, 那么这两个角相等. 改写: 题设: 两个角是对顶角 结论: 这两个角相等 新知探究 例1：下列语句是命题吗？如果是, 请将它们改写成 “ 如果…… , 那么……” 的形式. （1）两条直线被第三条直线所截, 同旁内角互补; （2）等式两边都加同一个数, 结果仍是等式; （3）互为相反数的两个数相加得0; （4）同旁内角互补; （5）对顶角相等． 如果两条直线被第三条直线所截, 那么同旁内角互补; 如果等式两边都加同一个数, 那么结果仍是等式; 如果两个数互为相反数, 那么这两个数相加得0; 如果两个角是同旁内角, 那么这两个角互补; 如果两个角互为对顶角, 那么这两个角相等． 新知探究 例2：请你将命题(1)(2)改写成 “ 如果…… , 那么……” 形式， 并指出它们的题设和结论. （1）两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补; （2）等式两边加同一个数, 结果仍是等式. 解：（1）改写: 如果两条平行线被第三条直线所截, 那么同旁内角互补. 题设是 “两条平行线被第三条直线所截”, 结论是 “同旁内角互补”. （2）改写: 如果在等式两边加同一个数,那么结果仍是等式. 题设是 “在等式两边加同一个数”, 结论是 “结果仍是等式”. 知识归纳 （1）如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行; （2）两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补; （3）对顶角相等; （4）等式两边加同一个数, 结果仍是等式. 上述四个命题都是正确的. 就是说, 如果题设成立, 那么结论一定成立， 像这样的一些命题, 叫作真命题. （5）如果两个角互补, 那么它们是邻补角 . （6）如果一个数能被2整除, 那么它也能被4整除. 上述两个命题中题设成立时, 不能保证结论一定成立, 它们都是错误的命题. 像这样的一些命题, 叫作假命题. 定理: 经过推理证实而得到的真命题. 有些命题如果题设成立, 那么结论一定成立; 而有些命题题设成立时, 结论不一定成立. 被判断为正确的命题叫真命题, 被判断为错误的命题叫假命题. 如命题: “如果两个角互补, 那么它们是邻补角” 就是一个错误的命题. 如命题: “如果一个数能被4整除, 那么它也能被2整除” 就是一个正确的命题. 确定一个命题真假的方法： 利用已有的知识, 通过观察、验证、推理、举反例等方法. 新知探究 新知探究 例3：判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题, 请举出一个反例. （1）邻补角 是互补的角; （2）互补的角是邻补角; （3）两个锐角的和是锐角; （4）不等式的两边同乘以同一个负数, 不等号的方向不变. 真命题 假命题 反例:两直线平行，同旁内角互补. 假命题 反例：45度和55度的两个锐角，和是钝角. 假命题 反例:-2x＞4，两边同时乘－1，得2x＜－4. （1）一个钝角、一个锐角的和必为一个平角; （2）两直线被第三条直线所截, 同位角相等; （3）两个锐角的和等于直角; 假命题, 92°+ 30° ≠ 180°. 假命题, 只有两条直线平行时才对. 假命题, 30° + 50° ＝ 80° ≠ 90°. 判断下列命题是真命题还是假命题, 若是假命题则举一个反例加以说明. 反例: 在符合题设的情况下, 不满足结论的例子, 也就是反驳命题成立的例子. 新知探究 知识归纳 在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等””内错角相等，两直线平行” ，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据. 新知探究 基本事实举例： 经过两点有且只有一条直线. 两点的所有连线中, 线段最短. 同位角相等, 两直线平行. 两直线平行, 同位角相等. 经过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行. 新知探究 同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 对顶角相等. ②垂线段最短. 定理举例： 知识归纳 证明: 在许多情况下, 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断, 这个推理过程叫作证明. 证明的一般步骤： （1）根据题意, 画图形; （2）根据题设、结论, 结合图形, 写出已知、求证; （3）经过分析, 找出由已知推出结论的途径, 写出证明过程, 并注明依据. 例4：在同一平面内, 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条, 那么它也垂直于另一条. 已知：b∥c, a⊥b ． 求证：a⊥c． 证明： ∵ a⊥b（已知）, 又∵ b∥c（已知）, ∴∠1=∠2（两直线平行, 同位角相等）, ∴∠2=∠1=90º（等量代换）, ∴∠1=90º （垂直的定义）． ∴ a⊥c（垂直的定义）． 新知探究 课堂小结 命题、定理、证明 可以判断为正确或错误的陈述语句叫作命题 (1)正确的命题称为真命题, 错误的命题称为假命题 (2)命题的结构: 命题由题设和结论两部分构成 人们长期以来在实践中总结出来的, 并作为判断其他命题真假的根据的命题, 叫作基本事实. 经过推理论证为正确的命题叫定理, 也可作为继续推理的依据. 判断一个命题是真命题, 可以从基本事实或定理出发, 用逻辑推理的方法证明（基本事实和定理都是真命题）; 判断一个命题是假命题, 只要举出一个例子, 说明该命题不成立就可以了, 这种方法称为举反例. 对事物作出准确的描述称为数学对象的定义 1.下列语句中不是命题的是 (　　) A.锐角小于钝角 B.作∠A的平分线 C.对顶角不相等 D.股票不是人民币 课堂小测 B A 2.下列命题中, 正确的是 (　　) A.对顶角相等 B.同位角相等 C.内错角相等 D.同旁内角互补 课堂小测 3.下面各数中,可以用来证明命题 “任何偶数都是8的倍数” 是假命题的反例是 (　　) A.9 B.8 C.4 D.16 C 4.下列说法中正确的是 (　　) A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等 B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 D 5.说出下列命题的题设和结论. (1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直; (2)钝角大于它的补角. 解:(1)题设:两角互为邻补角; 结论:它们的平分线互相垂直.　 (2)题设:一个角是钝角; 结论:这个角大于它的补角. 课堂小测 6.将下列命题改写成 “如果……那么……” 的形式. (1)直角都相等; (2)等量代换; (3)末位数是5的整数能被5整除; (4)三角形的内角和是180°. 解:(1)如果几个角是直角, 那么它们都相等.　 (2)如果两个量相等, 那么它们可以互相代换.　 (3)如果一个数的末位数是5, 那么它能被5整除. 　 (4)如果一个图形是三角形, 那么它的内角和是180°. 课堂小测 $$