精品解析：山西省临汾市尧都区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

尧都区2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测八年级试题（卷） 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．答题时，将答案书写在答题纸的对应位置，书写在试题上答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列4个数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 3.1415926 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 离最近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 不相交的两条直线是平行线 C. 互补的两个角的和是平角 D. 邻补角的平分线互相垂直 6. 小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 7. 为了解某校学生课后体育活动情况，随机对八年级20名学生的课后体育活动时间进行了调查，获得以下数据（单位：分钟）：，那么频数为4的时间段是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 9. 我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 类比思想 10. 如图，在中，，，E为外一点，于点D，于点E，M，N分别为，上的点，且，，有下列结论：①，②，③，④．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设________． 12. 已知，，则________． 13. 2008年12月26日，由武汉舰、海口舰和微山湖舰组成的中国海军舰艇编队首次赴亚丁湾、索马里海域执行护航任务，截至到2024年12月15日第47批护航编队赴相关海域进行护航．16年来，在一次次驱离海盗、紧急撤侨、人道主义救援等任务中，中国海军为维护地区和平稳定作出重要贡献，在深蓝航道上写下了闪光的“中国答卷”．如图，我军舰艇编队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军舰艇编队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为________海里/小时． 14. 新规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如4，9，16这三个数，，，，其结果都是整数，所以4，9，16三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是12．若2，8，18三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的差是________． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，点为上的一动点，已知，．则周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. 先化简再求值：，其中． 18. 已知，如图，在中，． （1）按下列要求作图，并在图中标明相应字母（不写作法，保留作图痕迹）在上取一点D，使得；作的角平分线交于点F；连接． （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 19. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 20. 如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个腰长为的等腰直角三角形． 21. 临汾市交警部门在全市开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车的市民，就骑电动车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表： 活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A类（每次戴） 10 B类（经常戴） 255 C类（偶尔戴） m D类（都不戴） 168 合计 1000 （1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为________； （2）全市约有400万人使用电动车，请估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数． （3）小光认为宣传活动后骑电动车“都不戴”安全头盔的人数为170，比活动前增加了2人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．他的说法是否合理？为什么？ 22. 教材呈现：下面是华东师大版八年级上册数学教材第96页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，使可证得．请根据教材中的分析．结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 定理应用： 如图②，在中，，的角平分线交于点D． （1）若，，则的面积为________． （2）若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 23. 综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究： （1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究： （2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尧都区2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测八年级试题（卷） 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．答题时，将答案书写在答题纸的对应位置，书写在试题上答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列4个数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 3.1415926 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故不符合题意； B、2是整数，是有理数，故不符合题意； C、是无理数，故符合题意； D、3.1415926是小数，是有理数，故不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A.不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：B ． 3. 离最近的整数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出，然后再比较与47的大小即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 则离最近的整数是7． 故选：C． 4. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 5. 下列命题为假命题的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 不相交的两条直线是平行线 C. 互补的两个角的和是平角 D. 邻补角的平分线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题. 根据线段的公理，平行线的定义，补角的定义及角平分线的定义逐项判断即可. 【详解】解：A、两点之间线段最短是真命题，故该选项不符合题意； B、不相交的两条直线是平行线是假命题，故该选项符合题意； C、互补的两个角的和是平角是真命题，故该选项不符合题意； D、邻补角的平分线互相垂直是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B 6. 小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 【答案】A 【解析】 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，选项符合题意； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 7. 为了解某校学生课后体育活动情况，随机对八年级20名学生的课后体育活动时间进行了调查，获得以下数据（单位：分钟）：，那么频数为4的时间段是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数的概念，熟练掌握频数的概念是解题的关键. 根据题意找出每个时间段的频数即可. 【详解】解：A. 时间段的频数为，故该选项不符合题意； B. 时间段的频数为，故该选项不符合题意； C. 时间段的频数为，故该选项符合题意； D. 时间段的频数为，故该选项不符合题意； 故选：C. 8. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长，比较即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图， 此时； ②如图， 此时， ③如图， 此时， 又∵， ∴需要爬行的最短路程为． 故选：A． 9. 我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 10. 如图，在中，，，E为外一点，于点D，于点E，M，N分别为，上的点，且，，有下列结论：①，②，③，④．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，熟知以上知识点是正确解答此题的关键． 由，于点D，于点E可证明，即可判定①正确，③不正确，由，结合，即可判定②正确，用前面的结论，结合直角三角形的判定可判断④正确，即可得答案． 【详解】解：①于点D，于点E， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； ②， ， ， ， 故②正确； ③由现有条件不能证明，故③不正确； ④延长，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故答案为：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设________． 【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质． 使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立． 【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”． 故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角. 12. 已知，，则________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：19． 13. 2008年12月26日，由武汉舰、海口舰和微山湖舰组成的中国海军舰艇编队首次赴亚丁湾、索马里海域执行护航任务，截至到2024年12月15日第47批护航编队赴相关海域进行护航．16年来，在一次次驱离海盗、紧急撤侨、人道主义救援等任务中，中国海军为维护地区和平稳定作出重要贡献，在深蓝航道上写下了闪光的“中国答卷”．如图，我军舰艇编队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军舰艇编队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为________海里/小时． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 根据题意可得，，，，根据勾股定理，则我军巡逻舰队的航行速度为海里/小时． 【详解】解：根据题意可得，， ，， 根据勾股定理， 则我军巡逻舰队的航行速度为海里/小时． 故答案为34． 14. 新规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如4，9，16这三个数，，，，其结果都是整数，所以4，9，16三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是12．若2，8，18三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的差是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了新定义，以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．先求出最小算术平方根与最大算术平方根，然后求差即可． 【详解】解：∵，，， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12， ∴最小算术平方根与最大算术平方根的差是． 故答案为：8． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点，点为上的一动点，已知，．则周长的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题． 连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而周长可转化为，而，从而可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先乘方，化简三次根式、绝对值，再计算加减即可； （2）用提公因式法因式分解即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知，如图，在中，． （1）按下列要求作图，并在图中标明相应字母（不写作法，保留作图痕迹）在上取一点D，使得；作的角平分线交于点F；连接． （2）在（1）的基础上，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图和全等三角形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）作及的角平分线即可 （2）证明，由勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，, 由勾股定理得，, 由作图得： ∴ ∴ ∴ 设则 ∴ 解得，， ， ． 19. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1） 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 20. 如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． （1）画一个三边长分别为4，，的三角形； （2）画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【小问1详解】 解：，， 即为边长分别为4，，的三角形． 【小问2详解】 解：， 即为腰长为的等腰直角三角形． 21. 临汾市交警部门在全市开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车的市民，就骑电动车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表： 活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表 类别 人数 A类（每次戴） 10 B类（经常戴） 255 C类（偶尔戴） m D类（都不戴） 168 合计 1000 （1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为________； （2）全市约有400万人使用电动车，请估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数． （3）小光认为宣传活动后骑电动车“都不戴”安全头盔的人数为170，比活动前增加了2人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．他的说法是否合理？为什么？ 【答案】（1）567 （2）约67.2万人 （3） 解：小光的分析不合理． 理由：宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为， 活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为， 由于，因此交警部门开展的宣传活动有效果． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用1000减去A、B、D的人数即可求出m的值； （2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全头盔的人数所占的百分比即可； （3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全头盔所占的百分比，再进行比较，即可得出小光的分析不合理． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：567； 【小问2详解】 解：活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数：（万人） 答：活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数约有67.2万人． 【小问3详解】 略 22. 教材呈现：下面是华东师大版八年级上册数学教材第96页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图①，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，使可证得．请根据教材中的分析．结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 定理应用： 如图②，在中，，的角平分线交于点D． （1）若，，则的面积为________． （2）若过点D作，垂足为F，点E在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】教材呈现： 证明：∵是的平分线， ∴ ∵，， ∴ 又 ∴, ∴； 定理应用：（1）10 （2），理由如下： ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线性质，灵活运用角平分线性质定理是解答本题的关键． 教材呈现：证明即可； 定理应用： （1）证明，运用三角形面积公式可得结论； （2）证明得，证明得，即可得出绪论． 【详解】教材呈现： 略 应用： （1）由前面证明可得， 又, ∴； （2） 略 23. 综合与实践 问题情景：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图，在等腰中，，，点D是的中点，点E是直线上一个动点，过点D作，交直线于点F． 初步探究： （1）如图①，当点E在线段上时，请判断线段，的数量关系：________． 类比探究： （2）如图②，当点E在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，在四边形中，，平分，以D为顶点作，交于点F，交于点E，若，求四边形的面积．（备注：所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图②，连接， ，，是的中点， ，， 和是等腰三角形， 即，， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由，，是的中点，证明和是等腰三角形，进而证明，即可得； （2）连接，由，，是的中点，证明和是等腰三角形，进而证明，即可得； （3）作于，于，由平分，得，证明，得，进而可得 ，由平分，，，得，进而可得，，由勾股定理求得，即可求结论． 【详解】（1）． 理由如下∶如图①， 连接， ，，是的中点， ，， 和是等腰三角形，即， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） 略 （3）如图③，作于，于， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、勾股定理及角直角三角形的性质，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $