精品解析：湖南省长沙市一中双语实验学校2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题

九年级2024-2025学年第二学期数学综合训练 时长：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、0是整数，不是无理数，不符合题意； B、是有限小数，不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是分数，不是无理数，不符合题意； 故选：C． 2. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 4. 下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（ ） A. 4，5，9 B. 8，8，15 C. 5，5，11 D. 3，6，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：A、，所以不能组成三角形，故A不符合题意； B、，所以能组成三角形，故B符合题意； C、，所以不能组成三角形，故C不符合题意； D、，所以不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 5. 据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，有理数除法运算的应用，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据题意列出算式，进行计算，并用科学记数法表示结果即可． 【详解】解：观影人数为：（人）． 故选：A． 6. 已知，，判断之间的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长CD，DC，分别交EF，AB于点G，H，已知，可知∠1+∠4=90°，已知，可得，且∠2=∠3+∠5，即可求解． 【详解】延长CD，DC，分别交EF，AB于点G，H ∵ ∴∠1+∠4=90° ∴∠1+∠4+∠2=90°+∠3+∠5 ∵ ∴∠4=∠5 ∴∠1+∠2=90°+∠3 即 故选:C 【点睛】本题考查了平行线的性质定理，三角形任一外角等于不相邻两个内角和，以及两个角互余的性质． 7. 小红根据去年4-10月本班同学听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的众数是（ ） A. 46 B. 32 C. 42 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数，折线统计图．通过折线统计图直接读出32出现了3次，且最多,即可求解． 【详解】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32． 故选：B． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 9. 一次函数中，如果，那么该函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：当一次函数中，，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 10. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是利用平方差公式．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知有理数x，y，z的和为零，如果x，y的平均数为4，那么______． 【答案】−8 【解析】 【分析】先根据平均数的概念得出x＋y＝8，再由x＋y＋z＝0可得答案． 【详解】解：∵x，y的平均数为4， ∴x＋y＝8， 又∵x＋y＋z＝0， ∴8＋z＝0， 解得：z＝−8， 故答案为：−8． 【点睛】本题主要考查有理数的加减，解题的关键是掌握平均数的概念． 13. 若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度． 【答案】120 【解析】 【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，解题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14. 已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 15. 如图，已知的一边AB平行于x轴，且反比例函数经过顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且的面积为，则k的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，可得AF//CE，根据平行线分线段成比例可得，设点，则，再根据，即可求得k的值． 【详解】解：如图，作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴， ∴AF//CE， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵AB//x轴， ∴A点纵坐标为n， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：k=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图行推比例线段及C点的表示方法是解题关键． 16. 平面直角坐标系中，交轴正负半轴于点、，点为外轴正半轴上一点，为第三象限内上一点，交延长线于点，已知，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要求tan∠BAC的值，可先求AC、BC，通过做辅助线，利用圆的对称性、相似三角形、全等三角形的性质求出相应的边长即可． 【详解】设PB交⊙O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，如图所示， ∵AB是直径，PH⊥CB， ∴∠ANP=90°=∠ACB=∠H， ∴， 由圆的对称性可得，PB=PA，∠BPO=∠APO=∠APB, ∵∠BPH=2∠BPO， ∴∠BPH=∠APB， ∴, ∴PN=PH=15， 由得：∠HPB=∠M=∠APM， ∴AM=AP=PB， ∵AN⊥PM， ∴PM=2PN=30， 由， ∴， 设MC=a，BC=b，MB=c， ∴，即有：， ∴，即有， 在Rt△PHB中，PH=15， ∴，， ∴BC=24-20=4，MB=30-25=5，则MC=， 在Rt△ABC中，BC=4，AC=AM-MC=25-3=22， ∴， 故答案为：． 【点睛】考查圆、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角三角形的边角关系等知识，综合应用知识是解答本题的关键． 三、解答题（共9小题，其中17，18，19题6分，20，21题8分，22，23题9分，24，25题10分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的化简，零指数幂，负指数幂的运算法则，特殊角三角函数的值，即可求解， 本题考查了特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2． 【答案】2xy，﹣4． 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2 ＝2xy， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在表示出，，在得出，在中，根据等腰三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：过点B作于点E， 在中，，米， ∴米，米， 米， 米 在中，， 米， 米， ， 米． 答：杨树的高度约米． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，在中，，交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）的角平分线交于点，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质和已知条件得出，即可得出结论； （2）过点作于点，由角平分线的性质得出．由三角函数定义得出，，设，则，在中，由三角函数定义得出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 为矩形； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图所示： 四边形是矩形， ， ， 为的角平分线， ， ， ， ，， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、锐角三角函数的定义、角平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 22. 哈市欲购进甲、乙两种丁香进行绿化．若购进甲种株，乙种株，则共需成本元；若购进甲种株，乙种株，则共需成本元． （1）求甲、乙两种丁香每株的价格分别为多少元? （2）若购进的乙种丁香的株数比甲种丁香的倍还多株，购进两种丁香的总费用不超过元，求最多购进甲种丁香多少株? 【答案】（1）甲、乙两种丁香每株价格分别为元、元 （2）最多购进甲种丁香株 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种丁香每株价格分别为元和元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲种丁香为株，则购进乙种丁香为株，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种丁香每株的价格分别为元和元． 由题意得： 解得： 答：甲、乙两种丁香每株价格分别为元、元． 【小问2详解】 设购进甲种丁香为株，则购进乙种丁香为株． 解得 答：最多购进甲种丁香株． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． 23. 如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）求的半径． （3）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. 【小问3详解】 解：延长相交于点F， 与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 24. 【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，于点． ①请画出以为边垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）1， （2），证明见解析 （3）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 故答案为：1；； 【小问2详解】 解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即 ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即， ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】（1） （2）①；②线段的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级2024-2025学年第二学期数学综合训练 时长：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 2024年7月26日，在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，我国取得了40金，创造了中国代表团在海外奥运会上的最佳成绩．下列标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度三条线段（单位：），能组成三角形的是（ ） A. 4，5，9 B. 8，8，15 C. 5，5，11 D. 3，6，9 5. 据某网站统计，截至2024年10月8日，电影《志愿军2》票房达到约800000000元．若平均每张电影票的票价为40元，则观影人数用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，判断之间的关系满足（ ） A. B. C. D. 7. 小红根据去年4-10月本班同学听中国传统文化讲座的人数，绘制了如图所示的折线统计图，图中统计数据的众数是（ ） A. 46 B. 32 C. 42 D. 27 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C D. 9. 一次函数中，如果，那么该函数的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 因式分解： ________． 12. 已知有理数x，y，z的和为零，如果x，y的平均数为4，那么______． 13. 若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______度． 14. 已知半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 15. 如图，已知的一边AB平行于x轴，且反比例函数经过顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且的面积为，则k的值为______． 16. 平面直角坐标系中，交轴正负半轴于点、，点为外轴正半轴上一点，为第三象限内上一点，交延长线于点，已知，，，则的值为______． 三、解答题（共9小题，其中17，18，19题6分，20，21题8分，22，23题9分，24，25题10分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2． 19. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 20. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，在中，，交于点，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）的角平分线交于点，当，时，求的长． 22. 哈市欲购进甲、乙两种丁香进行绿化．若购进甲种株，乙种株，则共需成本元；若购进甲种株，乙种株，则共需成本元． （1）求甲、乙两种丁香每株的价格分别为多少元? （2）若购进乙种丁香的株数比甲种丁香的倍还多株，购进两种丁香的总费用不超过元，求最多购进甲种丁香多少株? 23. 如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）求的半径． （3）连接，求的长． 24. 定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$