精品解析：山东省淄博市、滨州市2025届高三下学期模拟考试数学试题

6学科网命组卷网 淄博市2024-2025学年度高三模拟考试 数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知柴合A={邮≤，B={p=25,>0吲，则4UB=() A.R B.[0,+∞) c(0,1) D.[0, 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解 【详解A={xx≤{xr-x≤0-{xx(x-)s0={x0≤x≤}. 8={yp=2,x>0}-{yy> 4UB=[0,+∞) 第1页/共31页 学科网命组卷网 故选：B 2.若复数z满足2+i =3-41,则=() A.5v2 B.5V5 c10W2 D.125 【答案】B 【解析】 【分析】据复数的模长结合乘法运算可得复数，再由共轭复数的概念和模长公式即可求解。 【详解1243-4=5 5,则2=5(2+i)=10+5i,则z=10-5i,则1=V100+25=5V5 故选：B. 3.已知向量a=(1,0),b=(0,),a:c=b:c=l,则向量a在向量c上的投影向量为() 2V1 22 0.22 【答案】A 【解析】 【分析】设出‘的坐标，利用给定条件得到C,再利用投影向量公式求解即可 【详解】设c=(x,）,因为a=(1,0),6=(0,),ac=6-c=1, 1×x+0×y=1 x=1 所以0×x+1×y=1,解得y=1,∴.c=(1,1), n方安E行育妇9 故选：A 2π 4.己知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为3的扇形，则该圆锥的表面积为() 第2页/共31页 6学科网命组卷网 8元 B.12n 24π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解 【详解】设圆锥的母线长为1=6，底面半径为”，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 2πl =2r x2+x2πx6=16m 则3 ，解得r=2,所以该圆锥的表面积为 23 故选：C 5.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么 第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.则王同学第2天 去A餐厅用餐的概率为（) A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去A餐厅且第二天去A餐厅的概率，以及第一天去B餐厅且 第二天去A餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去A餐厅用餐的概率. 【详解】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去A餐厅的概率为 (因为只有A、B两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是2)· 又已知如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 P(4214)=0.6 (P44)表示在第一天去A餐厅的条件下，第二天去A餐厅的概率)： P(MN)=P(N)P(MN) 根据条件概率公式 (其中MN 为事件， PMW)表示M与N同时发生的概率)， 可得第一天去A餐厅且第二天去A餐厅的概率为： 第3页/共31页 6学科网命组卷网 P44)=P4)P4,14)=2x0.6=0.3 同理，第一天去B餐厅的概率为 已知如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 (A21B)=0.4 P(4B)表示在第一天去B餐厅的条件下，第二天去4餐厅的概率)： 根据条件概率公式，可得第一天去B餐厅且第二天去A餐厅的概率为： PB4)-PB)P4,B)-x0.4-0.2 因为“第一天去A餐厅且第二天去A餐厅”与“第一天去B餐厅且第二天去A餐厅” 这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生）， P(MUN)=P(M)+P(N) 所以根据互斥事件的概率加法公式 (其中M、V为互斥事件， PMUM表示M或N发生的概率)， 可得王同学第二天去A餐厅用餐的概率为： P(A2)=P(4A2)+P(B4)=0.3+0.2=0.5 故选：C 6.已知函数f(x)满足f()=2f(x-),当0≤x<1时，f()=3,则f(og,18)=() A.2 B.4 C.8 D.18 【答案】C 【解析】 【分析】根据()=2f(x-),结合对数运算性质，将(og,18)转化到0≤x<1里面计算即可 2=log39<log318<1og327=3」 0<log318-2<1 【详解】因为 ,所以 因为f()=2f(x-,所以f(l0g,18)=2f(og,18-2)=22×3,12=8 故选：C 第4页/共31页 命学科网命组卷网 2-2sn0≤x≤2 7. 已知函数f()= 若存在实数x<< 且 ，使得 -x+1,x<0 f(x)=f(x)=f(),则f()+xf()+xf()的取值范围为() -,2 「991 B.(-0,2] C.4'2 D. 2,4 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出+=2，可得出f(:)+x,(:)+x(飞) =-丫-，+2，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围 【详解】如下图所示： v=f(x) X1 -1Ox2 3 令分x-受+ke,解阳r=2X+1eZ. 故当0,2习时，对称销为直线*=1，则5+5=2， 因为f()=f()=f(s),所以，x()+xf()+xf(s)=f()+2), 又因为f(:)=-x+1 xf(x)+x2f(x2)+xf(x)=f(x)(x+2)=(-x+1)(x+2)=-x2-x+2 第5页/共31页 6学科网列组卷网 r)=12阿海50则+分分则0(+4 队.rx)s)-++[ 故选：D 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关 于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解 8数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线：x+y=1(m>0),当n=2时，是我们熟知的圆；当 2 2 2 n= 3时，曲线Ex下+|y=1是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计.则 下列关于曲线E说法错误的是() A.曲线E关于x轴对称 1 B.曲线E上的点到x轴，y轴的距离之积不超过8 C曲线E与+=l有8个交点 D.曲线E所围成图形的面积小于2 【答案】C 【解析】 2 【分析】对A,在方程x3+y=1中，以x,-y替代x,y方程不变，可判断；对B,由基本不等式求解 判断；对C,易得曲线E在冈+=l的内部，作出图象判断交点个数；对D,易求冈+=1围成的正 方形面积为2，又曲线E在冈+= 的内部，得解 第6页/共31页 6学科网命组卷网 2 2 【详解】对于A,在方程x+y师=1中，以x,-y替代x,y方程不变，所以曲线E关于x轴对称。 同理，以x,y;一x,一少替代xy方程均不变，所以曲线E关于y轴，坐标原点对称，如图，故A正确： 对于B,曲线E上点(，)到x轴的距离为，到y轴的距离为冈， 由币+=122-币=2()，当且仅当4=时取等号。 K5合.数n通： 222 对于C,在第一象限内，x3+y=x3+y3=1<x+y,所以曲线E在直线x+y=1的下方， 所以两者有4个交点，分别为1,01,0，(0,1，(0，-，故c错误 对于D,如图，冈+川= 围成的正方形面积为V2×V2-2. 所以曲线B围成图形的面积小于2，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程分析曲线E在第一象限的性质. 第7页/共31页 6学科网列组卷网 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有 选借的得0分. 9.随机变量X服从正态分布 令函数f(x)=P(X之x),则下列选项正确的是() a f)-2 B.f(x)是增函数 C.(x)是偶函数 D.f(x)的图象关于点( 2中心对称 【答案】AD 【解析】 分】由正态分布可求得了0门PX2A,易得四在O,四上是减西数.可抑 B,计算f0≠f（),可判断C,证明f()+f(2-)=l可判断D 【解1对于A,因为~) 所以f0=P(X≥)=2，故A正确： 对于B,X>1,当产增大时，f国=PX≥0 减少， 所以f代闭在L+o)上是减函数，放B错误： 对于e.0=PX≥到=分)=PX2-小>吃，收c错 对时D,若国的家关于 中心对称，则f(x)+f(2-x)=1, 第8页/共31页 6学科网 命组卷网 因5K队客有兮.型关Tx1因你 所以P(X≥)=P(X≤2-x) 则f()+f(2-刘=P(X≥+P(X≥2-)=P(X≤2-+P(X≥2-)-1，故D正确 故选：AD 10.如图，棱长为2的正方体 BCD-ABGD中，P0分别是枝CG,技BC的中点，动点M满足 DM=ADA+DD,其中乙，L∈R,则下列结论正确的是() D B M D C O B A若2+u=1,则 CM⊥DB B.若2=L,则三楼锥B-MC 的体积为定值 Q者“：0s4s ,则直线PM与直线BC所成角的最小值为60° D.若动点M在三棱 C-DP心外接球的表面上，则点M的轨迹长度为N2m 【答案】ABD 【解析】 【分析】以D为坐标原点， DA,DC,DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明 CM1DB判断A,者乙=，点M在直线DA,可得体积为定值判断B;上求得直线PM与直线BC 第9页/共31页 6学科网命组卷网 所成角的最小值判断C;确定外接球的球心，进而轨迹的周长判断D. 【详解】以D为坐标原点， DA,DC,DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， D A M D B 则D0,0,0),A2,0,0).D(0,02).B(22,2)C0,2,0) 所以DA=(20,0,DD=(0,0,2) 所以DM=元DA+uDD=(2,00)+4(00,2)=(21,020,即M2元，0,2). 所以CM=(2元，-2,20，又DB=(22,2) 所以CM.DB=2:2+(-2)-2+24-2=4-4+4H=4(2+四）-4=0 所以CM⊥DB,所以CM⊥DB,故A正确； 因为=4，DM=DA+DD,所以点M在直线DA上， 又因为4∥B∥DC,4码=B=DC,片以达彩4DCA是平行西边. 所心ADIBC,又4Dc平面B4C,BCC平面BAC,所以4D1/平面B4C 所以M到平面BAC 的距离为定值，又 △B,AC 的面积为定值， 所以三棱锥B-AMC 的体积为定值，故B正确； 点P为CG的中点，坐标为0,2，)，点M的坐标为21,0，)， 第10页/共31页 命学科网命组卷网 向量PM=(21,-2,0),向量BC=(-2,0,0), 设直线PM与直线BC所成的角为O, PM.BC -42 1 cos0= PMBCV422+4.2V2+11 V22+1, 又因为0≤九≤1，当九=1时， 即直线PM与直线BC所成角的最小值为45，故C错误， C-DPO即为三枝锥 P-CDO 因为三棱 又底面 CDQ 是直角三角形， 过D C-DPO 的中点N作0N上平面CD0.0是三枝锥C 外接球的球心， 因为CL通CDe,所Ow-号PC月 2,又D0=V22+12=5」 所以三棱锥C-DPQ外接球的半径 因为点M在平面MDDA内，又在三棱 C-DP2外接球的表面上， 所以M的轨迹是平 ADD4截三枝 C-DP2外接球的截面圆， 6 √2 又易得o到平面ADD4的距离为1，所以截面圆的半径为 2 2 2 所以M的轨迹的周长为2π× 2 N2不，故D正确， 故选：ABD, 第11页/共31页 命学科网 命组卷网 1L.过点P(-l,0)向曲线C:r-2mx+2y=0(neN引斜率为k,(传>0)的切线，切点为 P.(x少.)，则下列结论正确的是《） n 20 A.= ∑nx=-ln2026 V4n+2 B. C.数列 的前和为5，=n+ D.2y. 1+x 【答案】ABD 【解析】 nv2n+1 【分折】设直线，：y=,(G+):方程联立由A=0刻断A:可得元=什，人= n+1' V2(n+1),从而结 -n+ 1 合累加法求和可判断B:由x 2,结合等差数列的求和公式可判断C;令f)=x+cosx,结合导 数可得f(四)在R上单调递增，进而可判断D, 【详解】设直线，：y=k,c+D,联立-2x+2少=0， 得1+2k号)+(4k-2m)x+2k=0 则由△=0，即△=(4-2n-8k2(1+2k)=0, n 解得。4n+2(负值合去)，放A正确： n器X-小 g-觉n,-hh子… .120251 =-ln202 所以台 i+1 2 3 20262026 ,故B正确： 第12页/共31页 6学科网命组卷网 3..1 =-2n+=n n +n+ -=n+ n2 因为2 X 2 2,则S,=2”+2 =。+n,故C错误： 2 1 1一m= 因为2y.V2n+1,V1+x2n+1, 所以2y. 1-x V1+x 设四=x+cos f'(x)=1-sinx≥0 ,则 可得()在R上单调递增， 则xe(0,+o)时，f()=x+cosx>f(0)=1. 1 1-xm 1 1 又2n+ >0,则√2y. V1+x √2n+1oV2n+1 气>1，故D正确 故选：ABD 【点晴】关键点点晴：解答本题的关键是设出切线方程，方程联立由△=0，得出 nv2n+1 。2(n+1,进而判断各选项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知等比数列a,}的各项为正数，前n项和为S。,若S=13,4=9,则公比9 【答案】3 【解析】 【分析】根据的定义以及等比数列的定义，建立方程，可得答案 第13页/共31页 命学科网命组卷网 【详解1由8=4+a+a,则S0=4+凸=4， 4+4=4 由4=a92，a=a9,则g2q, 整理可得4g-9g-9=0,分解因式可得49+39-3)=0， 解得x=3或4（舍去）· 故答案为：3. 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b.c,sin2B=bcosB 5 ,且角B为锐角， b=8,sin4=I Γ3 则sin(2B+C)的值为 3-8V2 【答案】15 【解析】 【分析】先根据二倍角公式求出COsB的值，进而求出sinB的值，再利用正弦定理求出a的值，判断A 的范围并求出c0sSA。 sin(2B+C) “的值，最后根据三角函数的两角和公式求出 的值 sin 2B=-bcos B 2sin Bcos B-bcos B 【详解】已知 ,根据二倍角公式sin2B=2 sin Bcos B,则有 2sin B=-b 因为B为锐角，即COsB≠0，等式两边同时除以cosB可得： 5. 入2sinB='2 1 b 2sin B= 8 已知b=8,将其代入 5可得： sza sin B=4 5，解得 5 第14页/供31页 6学科网6组卷网 因为B为，起数如B+oB=可秀wB=m8--管-g号 1 bsinA 8 由正弦定理ab，己知， 3=10 b=只sinA=’ 4,则a= sin B=4 sin B 4 3 sin A sin B 5 10 a= <b=8 因为”3 ,根据大边对大角可知A<B,又因为B为锐角，所以A也为锐角 82W2 表据6n4什os24=·可的osA=1-加4-1-（兮=92分2. 因为A+B+C=π，所以2B+C=π+B-A, in(2B+C)=sin(+B-A)=-sin(B-A) 则 3-82 故答案为： 15 14.如图，在3×3的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）玩家从起点方格出发，每 次可以向右或向下移动一格到达下一格若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找 未走过的路线继续挑战，直至到达终点若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败该玩家挑战失 败的概率为 起点 终点 第15页/供31页 6学科网 组卷网 2 【答案】3 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可 【详解】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功， 反之挑战失败 用A表示第m行第”列含有陷阱的方格， 则第1行含有陷阱的方格为4，(=2,3) 第2行含有陷阱的方格为4，(0=1,2,3) 第3行含有陷阱的方格为4，(r=1,2)】 所以每一行随机设置1个陷讲（起点和终点处无陷阱）共有CCC?=12个基本事件， 具体如下： (42,41,41）.（42,4,42）（4242,4）.（42,42,42) (42,43,4i)（42,43,42）.（43,41,41）（43,41,42） (4342,4）.（43,42,42).（43,44i）.（43,4,42) 玩家挑战失败的基本事件有（42,4,41).（4,4,42).(42,42,41)】 (42,42,42）.(42,A42）.(43,42,A),(442,42）,（4,4s,42)共8个， 82 所以玩家挑战失败的概率为123. 2 故答案为：3 第16页/供31页 6学科网 命组卷网 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数(“M指数”.)，以这些站点所测 “M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况.下图是2024年11月份30天内该大型水域“M 指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：12,20)，[20,28)，[28,36).[36,44).[4,52) [52,60)[60,68).[68,76] 频率 组距 1/40 1/48 1/60 1/80 1/240-- 0122028364452606876M指数 (1)规定：“M指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”，对该地区50名外出 郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市 女市 合 民 民 计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出 6 游 合计 50 请完成上述列联表，并根据α=0.05的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ （2)从“M指数”在第组2,20)和第二组20,28)的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天 的数据来自第一组的数据有X天，求X的分布列和数学期望。 第17页/共31页 6学科网组卷网 附：= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d): 0.00 d 0.1 0.05 0.01 0.001 5 2.70 3.84 6.63 7.87 10.82 6 1 5 9 8 【答案】(1)列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 18 30 非优质水源日出游 14 6 20 合计 26 24 50 有95%的把握认为优质水源日出游与性别有关 (2)分布列： X 0 4 18 12 35 35 35 35 9 数学期望为7 【解析】 【分析】(1)完善列联表，根据公式计算出卡方，即可得解： (2)由题知 0,1,2,3 的可能取值为 然后计算相对应的概率，画出分布列，最后求出期望， 第18页/供31页 6学科网命组卷网 【小问1详解】 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 18 30 非优质水源日出游 14 6 20 合计 26 24 50 K2 50x12x6-18x144327>3.841 30×20×26×24 所以有95%的把握认为优质水源日出游与性别有关. 【小问2详解】 30x8x1=3 30×8× =4 根据题意，第一组 80天，第二组有60天， 所以X的可能取值为 ,1,2,3 P(x=)=-SC=18 35, P(X=2)=9 d- C335, Px=动8-5 35, ∴.X的分布列为 0 1 2 3 第19页/供31页 6学科网命组卷网 1 4 18 12 35 35 35 35 E00-03+1 5+2x2 19 +3× 5 357. 16已知双曲线C:兰-是 32=1(a>0,b之0，离心室es的 在双曲线上 (1)求双曲线C的标准方程： (2②)点F,B分别是双曲线C的左右焦点，过点乃的直线1与双曲线的右支交于4，B两点，若△1B那 的周长为12，求直线1的方程 x2 【答案】（山）4y=1 (2) 3x±V6y-3V5=0 【解析】 【分析】(1)根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数，即可得方程： (2)根据双曲线的定义及已知得M=2,设1：x=my+5联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式列 方程求得m=土 3,即可得直线方程 【小问1详解】 C 25b21 由题意可得a V1+ 7=2,则7=4，即a2=462, 1 x因为点P5, 在双曲线上，所以2-b2=1,解得b2=1'a=4’ 第20页/供31页 6学科网列组卷网 所以双曲线C的标准方程为：4y 【小问2详解】 VA 因为△ABS的周长为12，所以MB+M+BF=12O, 由双曲线的定义可得：M-M=2a=4.|BE-|BE=2a=4 所以ME+BF-(AE+BF)=A+BE-AB=8@. 由①2可得：AB=2 由(1)知c2=a2+=5,所以F(5,0. 因为直线1的斜率不为0，设：x=my+5 x2 -y2=1 则联立直线与双曲线 4 m+5'0-4+25m+1=0 当m-4=0,即m=2 ,直线与双曲线只有一个交点，不合题意， 25m 1 所以m2-4≠0，乃+五= m2-4, y2=1 m2-4, 所以=+mv0+y}-4=+m 2v5m 4 =2 m2-4 m2-4 第21页/供31页 学科网丽组卷网 20m2-4(m2-4）41+m2） V1+m2 20m2 4 =V1+m 所以 (m2-4)2 m2-4 (m2-42 m2-4 解m=6(会去)成后，所m=±6 2 , 直线'的方程为：x=士6， ±3y+5,即3xt6y-3N5=0 17.如图，在四棱锥S-ABCD中，BCI/AD,AB=BC=1,点E在AD上，且 SE⊥AD,AE=1,DE=2 (I)点F在线段SE上，且BF/I平面SCD,证明：F为线段SE的中点： √10 (2)若AB⊥平面SAD,SD与平面SAB所成的角的余弦值为10，求SD的长度. 【答案】(1) 连接BF,过点F作FGIIAD交SD于点G,连接CG, 又因为BCHIAD,所以FG1BC,所B,CG,F 四点共面， 因为BF1/平面SCD,BFC平面BCG,平面SCDn平面BCGF=CG 平面 所以BF11CG,所以四边形BCGF是平行四边形， 第22页/供31页 6学科网命组卷网 FG=-ED=1 所以FG=BC=1,所以 2 ,所以F为线段SE的中点： G (2) 的长度为或 】 SD √522 【解析】 【分析】(1)过点F作FG1IAD交SD于点G,连接CG,由线面平行的性质定理证明BFI/CG,即 可证明： (2)建立空间直角坐标系，设S(0,0,),求出直线SD的方向向量和平面SMB的法向量，由线面角的向 量公式即可得出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接EC,因为 AE//BC,AE=BC=1 ，所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以AB1/CE.因为4B上平面MD,所以CE上平面SMD, 又因为SE⊥AD,所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设$(0,0，)A0,-山，0)，D(0,20),B(1,-1,0),C1,00) SD=(0,2-月，设平面SMB的法向量为i=(x少2)， AB=(1,0,0),SA=(0,-1,-h） 方AB=x=0 所以 =y-e=0令y=么z=-'x=0所以元=(0，么-” 第23页/供31页 可学科网命组卷网 0 所以SD与平面SAB所成的角的余弦值为10， 3√10 所以SD与平面SAB所成的角的正弦值为10， 3W10 n.SD 13h 即10 =cos SD SD V4+h2.V1+h2, h2 1 所以(4+R1+R)10,化简可得：-5+4=0 解得：=l或=4，即h=l或h=2, 所以SD=VSE2+ED2=VP+2=V5或SD=VSE2+ED=V2+2=2V2 D B 18已知函数f()=h(1+x)-x (1)求f（)的单调区间： ≤C对任意的n∈N都成立（其中e是自然对数的底数），求整数a的最大值. 【答案】) 的增区间为1 ,减区间为0+切) 第24页/供31页 6学科网列组卷网 (2)证明：要证x≥0时， 5,eh+列小产在o上政 令-h+y产，xn。 1x1-2+x H(1+x 1 +-2+区-12i+区-2+2+到 1+x 1+x21+x)W1+x n-2-.小1 当x≥0时，1-V1+x≤0.m(x)≤0 所以m()在[0，+切）上单调递减，所以m()m(O)=0, 则r'(d)≤0，所以H(y在[0，+o）上单调递减， 以s0)=0,两n+5产. 袋之0时. (3)整数a的最大值为0， 【解析】 【分析】（山）直按利用导数求解四的单调区间， 因5本h+产.令=+产，对H因求， 得到H()≤HO)=0,即可证明 第25页/供31页 6学科网6组卷网 a≤ 11 (3)分离常数，得ln(1+ n ),为此求出函数8)n+对x在(0，]上的最小值，即可得解。 【小问1详解】 函数和的定义城足(1w,了1 当1<x<0时，)>0，当>0时，f闭<0 时， 所以，f田 的增区间为 （-1,0 ,减区间为0，+切） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 +日”≤e签价手不等式a+oh0+功s1, 不等式 n -n 由1+二>1可得：n(1+), n n 11 G)=nl+对x,xe(0,, 设 1 1_(（1+x)ln2(1+x)-x2 则G()=0+x)n(1+为2(+m(1+刘 餐)0+)，函数k的的定义域是 k=21n1+8_产+2x_20+x)ln(1+)-2-2x 1+x0+x)2 (1+x)2 设8)=21+)ln1+0-r-2x,则86)=21n1+)-2x, 第26页/共31页 6学科网6组卷网 令h(x)=2n(l+x)-2x,则 h0)=，2-2=-2x 1+x 1+x, -1<x<0时，>0，)金-L0 在 上为增函数， x>0时.h)<0,h幻在0，o）上为减西数。 在 :)在r=0处取得极大值，而0=0 :8)<00,西数8因车（L+四) 在 上为减函数. 于是当1<x<0时，86)>g0)=0,当x>0时，8<g0=0, 当1<x<0时.K()>0k() 时， 为增函数， 当x>0+ 时 K()<0.k闪为减函数， k(x) （-1,0) 故函数 的增区间为 减区同为0，+o) 所以k()≤k(O)=0.所以n0+0-十x≤0，即0+x)n+)-x20 :G≤0.xe0,,于是G在o, 在 上为减函数， G)= 1一1 故函数G(x)在(0，]上的最小值为 n2, 所以≤n2,所以整数a的最大值为0. -1 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： 4)直接构造函数法：证明不等式()>g(:)(或()<g()转化为证明f()()>0c或 f()-8()<0),进而枸造箱助函数（四）=f()8(冈： 第27页/共31页 命学科网命组卷网 (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论： (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 x=f() 19一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标xy都是某个变数的函数y=g)0, 并且对·的每一个允许值，由方程组O所确定的点A(x,)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲 线的参数方程，联系变数x,Y的变数叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 (x rcoso 间关系的方程叫做普通方程，例如：圆x2+y2=r2的参数方程为y=sinp（p为参数)，椭圆 x=acosθ +a>b>0的参数方程为y=s00为参数，动点MGy与定直F40的通 25 4 /:x= 点M到定直线 4的距离的比是常数5，点M的轨迹方程为C. (1)求曲线C的普通方程，写出C的参数方程（不证明）： -coS- (2)求证： sina+sinB=2sin a+Bcosa-B 2 2: (3)定点B在C上：k为常数且k>0,按如下规则依次构造点P(≥2），过点P作斜率k的直线与 C交于点，令n为1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为，），证明：P2,1PP. x=5cos0 【答案】(1)y=3sin0 (2) 证明： (22 第28页/供31页 命学科网命组卷网 sincos-Bcossin-Bncosa-BcosBsin aB -cos- sin- -+sin -cOS- -sin- 2 2 2 2 2 2 2 2 -2sin a+Bcosa-B 2 (3) 设.(5cosa.,3sina,）Pn(5cosa,3 sin d)】 Pn2(5cosa2,3sina+2),P(5cosa.s3sina.s）,则2（-5 icos3 sind）, 3(sina.--sind）_ 6sin dns cosd 2 2 则k=ka-5csa,+）10cos0,01cos0tn 2 2 3sin 4,dma 3 2—=3tana,-aaul 5cos 4-dm 5 2 2 3. 同理， k=kpe2=-tan nt2 nts 2, tan ddra =tan du2-d3 因此 2 2, an-an=dm2-dm3+mn(mEZ) 所以2 2 a +am3=ans2+da+m(mEZ) 即2 2 tan +das tan datz+drl 所以 2 2, 下面证=人， 第29页/供31页 6学科网命组卷网 3(sind+2-sin d） 6sin n-da cos +d 2 kha=5 (cosd2-osaa） 2=- 3 -10sin 2da sin d 5tan du 2 2 2 3 同理， 5an0+2,因此k4=k 2 nP2平行 即 .P3 【解析】 【分析】(1)根据距离公式得到方程，化简即可得到椭圆方程，再改写成参数方程即可： (2)左边变形得 na+sinB=sinatBa-Btsina+B_a-B +sin 22 (22 再利用两角和差的正弦公 式展开即可： tan d +dm3=tan duz+dau (3)设出几个P点的坐标，则得到2的坐标，再证明出“ 2 2,最后再利用两 点斜率表达式证明：，一即可。 【小问1详解】 V(x-4)2+y2 4 根据题意，动点 的轨迹方程为 25 5 X- M 4 x2.y2 将上式两边平方并化简得：9x2+25y2=25,即25+9=1， x2.y2 =1 故动点M的轨迹方程259， x=5cos0 则参数方程为y=3sin0 第30页/供31页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的证明关键是灵活运用两角和差的正弦公式即可 第31页/共31页 淄博市2024-2025学年度高三模拟考试 数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2、回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. R B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 125 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.24 B. 1 C. 0.5 D. 0.52 6. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 18 7. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选借的得0分． 9. 随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 10. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 11. 过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的各项为正数，前项和为，若，则公比______． 13. 在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为______． 14. 如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，． （1）规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出游 6 合计 50 请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ （2）从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知双曲线，离心率，点在双曲线上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，，，点在上，且． （1）点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； （2）若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）证明：时，； （3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 19. 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①，并且对的每一个允许值，由方程组①所确定的点都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，例如：圆的参数方程为（为参数，椭圆的参数方程为（为参数）．动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，点的轨迹方程为． （1）求曲线的普通方程，写出的参数方程（不证明）； （2）求证：； （3）定点在上；为常数且，按如下规则依次构造点，过点作斜率的直线与交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $