期末复习（一）二次根式 2024-2025学年数学人教版八年级下册

期末复习（一）二次根式 核心考点1 二次根式有意义的条件 【例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【方法讲解】从式子的结构看分为三部分：二次根式、分式和零次幂，须满足每一部分都有意义. 【针对训练】 1.使式子+有意义的所有整数的和是 () A．-2 B．-1 C．0 D．1 2.若要使有意义，则x的取值范围是 ． 核心考点2 二次根式的性质 【例2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简|a|-的结果是 () A．-2a+b B．2a-b C．-b D．b 【方法讲解】先判断未知字母的符号及相对大小，再根据二次根式的性质进行化简计算. 【针对训练】 3.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为 () A．7 B．-7 C．2a-13 D．13 4.若y=++,则(x+y)2 023= . 核心考点3 二次根式的运算 【例3】计算：(-)×+(-)(+). 【方法讲解】二次根式的运算中，多项式的乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用. 【针对训练】 5.下列计算正确的是 () A.+2=5 B.4-3=1 C.5×2=10 D.÷= 6.计算： (1)(3-2)2-(+2)(-2); (2)(-3)÷+(2-)×(2+)2. 核心考点4 与二次根式有关的化简求值 【例4】先化简，再求值： (-)÷,其中x=2+． 【方法讲解】先运用分式的运算法则化简原式，再将未知字母的值代入化简后的式子求值. 【针对训练】 7.先化简，再求值： +,其中a=1-. 8.已知x=2-，求代数式(7+4)x2+(2+)x-1的值. 一、选择题 1.使二次根式有意义的x的取值范围是 () A．x≠3 B．x≠4 C．x≥3 D．x＞4 2.下列二次根式是最简二次根式的是 () A． B． C． D． 3.下列运算中，结果正确的是 () A.-= B.2+=3 C.÷= D.×=2 4.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是 () A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|+的结果是 () A．2a+b B．-3b C．-2a-b D．3b 6.当x＝ 时，代数式x2+2x+2的值为 () A．14 B．17 C．5+3 D．5+2 7.如图，从一个大正方形中裁去面积为32 cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下的阴影部分的面积为 () A.80 cm2 B．78 cm2 C．36 cm2 D．32 cm2 8.按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 () A．3-1 B．3-5 C．6-3 D．5-4 二、填空题 9.计算：= ． 10.若b-9=+，则= . 11.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ． 12.若式子与的和为2，则a的取值范围是 . 三、解答题 13.（6分）计算： (1)(8+5)(8-5)-(-1)2; (2)(+6-8)÷. 14.已知x为奇数，且=，求·的值. 15.（6分）已知a=2+，b=2-，求下列式子的值： （1）a2b+ab2； （2）a2-3ab+b2． 16.（6分）学校打算在一块矩形土地上种植草坪，已知该矩形土地的长为 m、宽为 m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价为每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．（结果保留整数，≈2.4） 17.（8分）在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到了这样一道题： 已知a=，求2a2-8a+1的值． 他是这样解答的： ∵a===2-， ∴a-2=-. ∴（a-2）2=a2-4a+4=3. ∴a2-4a=-1. ∴2a2-8a+1 =2（a2-4a）+1 =2×（-1）+1 =-1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题： （1）= ； （2）化简：+++…+; （3）若a=，求a4-4a3-4a+3的值． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（一）二次根式 核心考点1 二次根式有意义的条件 【例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x>-1且x≠0． 【方法讲解】从式子的结构看分为三部分：二次根式、分式和零次幂，须满足每一部分都有意义. 【针对训练】 1.使式子+有意义的所有整数的和是 (A) A．-2 B．-1 C．0 D．1 2.若要使有意义，则x的取值范围是x≤3且x≠0． 核心考点2 二次根式的性质 【例2】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简|a|-的结果是 (C) A．-2a+b B．2a-b C．-b D．b 【方法讲解】先判断未知字母的符号及相对大小，再根据二次根式的性质进行化简计算. 【针对训练】 3.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则+化简后为 (A) A．7 B．-7 C．2a-13 D．13 4.若y=++,则(x+y)2 023=1. 核心考点3 二次根式的运算 【例3】计算：(-)×+(-)(+). 【方法讲解】二次根式的运算中，多项式的乘法法则、除法法则以及乘法公式仍然适用. 解：原式=(3-2)×+5-3 =×+5-3 =2+5-3 =4． 【针对训练】 5.下列计算正确的是 (D) A.+2=5 B.4-3=1 C.5×2=10 D.÷= 6.计算： (1)(3-2)2-(+2)(-2); 解：原式=9-12+20-(5-2) =9-12+20-3 =26-12; (2)(-3)÷+(2-)×(2+)2. 解：原式=(-3)÷+(2+) =-+2+ =． 核心考点4 与二次根式有关的化简求值 【例4】先化简，再求值： (-)÷,其中x=2+． 【方法讲解】先运用分式的运算法则化简原式，再将未知字母的值代入化简后的式子求值. 解：(-)÷ =-· =· =· =. 当x=2+ 时， 原式==． 【针对训练】 7.先化简，再求值： +,其中a=1-. 解：∵a=1-<0,∴a-1=-<0. 原式=+=- ====2+3. 8.已知x=2-，求代数式(7+4)x2+(2+)x-1的值. 解：∵x=2-, ∴x2=(2-)2=4-4+3=7-4. ∴(7+4)x2+(2+)x-1 =(7+4)(7-4)+(2+)(2-)-1 =49-48+×(2+3)(2-)-1 =. 一、选择题 1.使二次根式有意义的x的取值范围是 (C) A．x≠3 B．x≠4 C．x≥3 D．x＞4 2.下列二次根式是最简二次根式的是 (D) A． B． C． D． 3.下列运算中，结果正确的是 (B) A.-= B.2+=3 C.÷= D.×=2 4.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是 (D) A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|+的结果是 (B) A．2a+b B．-3b C．-2a-b D．3b 6.当x＝ 时，代数式x2+2x+2的值为 (D) A．14 B．17 C．5+3 D．5+2 7.如图，从一个大正方形中裁去面积为32 cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下的阴影部分的面积为 (D) A.80 cm2 B．78 cm2 C．36 cm2 D．32 cm2 8.按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 (D) A．3-1 B．3-5 C．6-3 D．5-4 二、填空题 9.计算：=π-1． 10.若b-9=+，则=6. 11.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为21． 12.若式子与的和为2，则a的取值范围是2≤a≤4. 三、解答题 13.（6分）计算： (1)(8+5)(8-5)-(-1)2; 解：原式=64-75-(3-2+1) =64-75-3+2-1 =2-15； (2)(+6-8)÷. 解：原式=(+2-4)÷ =-÷ =-1． 14.已知x为奇数，且=，求·的值. 解：∵=, ∴x-7≥0,9-x>0，即7≤x<9. 又∵x为奇数，∴x=7. ∴原式=·=(x+1)·=8×=8×=32. 15.（6分）已知a=2+，b=2-，求下列式子的值： （1）a2b+ab2； （2）a2-3ab+b2． 解：∵a=2+,b=2-, ∴ab=(2+)(2-)=22-()2=-1, a+b=2++2-=4. (1)a2b+ab2 =ab(a+b) =-1×4 =-4; (2)a2-3ab+b2 =(a+b)2-5ab =42-5×(-1) =16+5 =21. 16.（6分）学校打算在一块矩形土地上种植草坪，已知该矩形土地的长为 m、宽为 m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价为每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．（结果保留整数，≈2.4） 解：(1)2(+)=2(8+5)=(16+10)m. 即该矩形土地的周长为(16+10)m; (2)×=8×5=40 ≈96(m2)， 160×96=15 360(元). 故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15 360元. 17.（8分）在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到了这样一道题： 已知a=，求2a2-8a+1的值． 他是这样解答的： ∵a===2-， ∴a-2=-. ∴（a-2）2=a2-4a+4=3. ∴a2-4a=-1. ∴2a2-8a+1 =2（a2-4a）+1 =2×（-1）+1 =-1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题： （1）= ； （2）化简：+++…+; （3）若a=，求a4-4a3-4a+3的值． 解：(1)==-; 故答案为-； (2)原式=-1+-+-+…+- =-1 =13-1 =12； (3)∵a== =+2， ∴a-2=. ∴(a-2)2=5，即a2-4a+4=5． ∴a2-4a=1． ∴a4-4a3-4a+3 =a2(a2-4a)-4a+3 =a2×1-4a+3 =a2-4a+3 =1+3 =4． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$