期末复习（三）平行四边形 2024-2025学年数学人教版八年级下册

期末复习（三）平行四边形 核心考点1 平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC,且BE=5，EF=3 4BF，求BF和AD的长． 【方法讲解】（1）平行四边形的证明方法多样，此题可通过内错角相等得出AD∥CE，再结合AE∥DC证明相关结论；（2）相关线段的长度计算，通常结合勾股定理、角平分线的性质、平行四边形的性质综合求解. 【针对训练】 1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE并延长至点F使得OE=EF，连接FD，FC，FC交BD于点G． （1）求证：OF=DC； （2）连接AF，请判断四边形AODF的形状，并证明你的结论． 核心考点2 特殊平行四边形的性质与判定 【例2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若CE=4，DF=8，求CD的长． 【方法讲解】（1）证明四边形是矩形的方法主要有三种.一般思路是先证明四边形是平行四边形，然后再证明平行四边形是矩形；（2）在已知问题中存在直角三角形求线段长时，我们通常的做法是利用勾股定理构造方程求解. 【针对训练】 2.如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.若AC=6，BD=8，则线段OE的长为 () A．3 B．5 C．6 D．5 3.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，E为对角线AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.已知O为四边形ABCD对角线的交点，则下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 () A．OA=OB，OC=OD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AB=BC，CD=DA D．∠A=∠B，∠C=∠D 2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.已知AC=BC=4，BD=6，则△BOC的周长为 () A．8 B．9 C．12 D．14 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是三边的中点，且DE=3 cm，则AF的长度是() A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 () A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 第4题图 第5题图 5.如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC=90°，且AC∶BD=3∶5，若ABCD的面积为48，则AB的长为 () A．3 B．4 C．3 D．4 6.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE.若∠DAO=30°，则∠BEO的度数为 () A．55° B．60° C．65° D．75° 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥CD于点E，连接OE.若BD=6，OE=，则菱形的周长为 () A．12 B．16 C．4 D．24 第7题图 第8题图 8.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，连接EF.若AC=2，则EF的长度的最小值为 () A．2 B．1 C．2 D． 二、填空题（每题4分，共16分） 9.在 ABCD中，已知∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3，则∠A= ． 10.如图，在菱形ABCD中，若AB=13，BD=10，则菱形ABCD的面积为 ． 11.（昆明西山区期末）如图，在平面直角坐标系中，AOBC的顶点B在x轴上，点A的坐标为（1，2），以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是 第11题图 第12题图 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6．E为AD上一个动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D落在点F处，当F为线段AB的三等分点时，AE的长为 ． 三、解答题（共32分） 13.（6分）如图，在 ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：四边形DBFC是平行四边形； （2）若BC=DF，AD=8，∠A=60°，求BD的长． 14.（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点E，连接OE交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若AC=4，BD=6，求EF的长． 15.（6分）如图，在 ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，BD平分∠ABC．在OA上截取OE=OD，在OC上截取OF=OD．连接DE，EB，BF，FD． （1）求证：ABCD是菱形； （2）判断四边形BFDE的形状并说明理由． 16.（6分）如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若E是OB上一动点，BE=1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长． 17.（8分）如图，在正方形ABCD中，M为射线CD上一动点（不与点D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF相交于点E． （1）如图1，若点M在CD的延长线上，求证：DF=BM，DF⊥BM； （2）如图2，若点M移动到边CD上． ①（1）中结论是否仍成立？请说明理由; ②连接BD，若BD=BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（三）平行四边形 核心考点1 平行四边形的性质与判定 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC,且BE=5，EF=3 4BF，求BF和AD的长． 【方法讲解】（1）平行四边形的证明方法多样，此题可通过内错角相等得出AD∥CE，再结合AE∥DC证明相关结论；（2）相关线段的长度计算，通常结合勾股定理、角平分线的性质、平行四边形的性质综合求解. (1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90 °， ∴AD∥CE. ∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形； (2)解：∵EF⊥AB，∴∠BFE=90 °. ∵BE=5，EF=BF，设EF=3x,则BF=4x. 根据勾股定理,得BF2+EF2=BE2， ∴(4x)2+(3x)2=52，解得x=1. ∴BF=4，EF=3. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90 °， ∴EC=EF=3. 由(1)得四边形AECD是平行四边形， ∴AD=EC=3． ∴BF和AD的长分别为4和3． 【针对训练】 1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE并延长至点F使得OE=EF，连接FD，FC，FC交BD于点G． （1）求证：OF=DC； （2）连接AF，请判断四边形AODF的形状，并证明你的结论． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. ∵OE=EF， ∴OE=OF. ∵E是AD的中点，O是AC的中点， ∴OE是△ACD的中位线. ∴OE=CD. ∴OF=DC； (2)解：四边形AODF是平行四边形，理由如下： 如图，连接AF， ∵E是AD的中点， 答图 ∴AE=ED. 又∵OE=EF， ∴四边形AODF是平行四边形． 核心考点2 特殊平行四边形的性质与判定 【例2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若CE=4，DF=8，求CD的长． 【方法讲解】（1）证明四边形是矩形的方法主要有三种.一般思路是先证明四边形是平行四边形，然后再证明平行四边形是矩形；（2）在已知问题中存在直角三角形求线段长时，我们通常的做法是利用勾股定理构造方程求解. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC. ∵CF=BE， ∴BC=EF. ∴AD=EF. ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形AEFD是矩形； (2)解：设CD=x，则BC=EF=CD=x， 则CF=x-4. 在Rt△CDF中，有CD2-CF2=DF2， ∴x2-(x-4)2=82， 解得x=10. ∴CD=10． 【针对训练】 2.如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.若AC=6，BD=8，则线段OE的长为 (D) A．3 B．5 C．6 D．5 3.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，E为对角线AC上一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (1)证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90 °，∠ECN=∠ECM=45 °. ∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90 °，且NE=NC. ∴四边形EMCN为正方形. ∴EM=EN. ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90 °. ∴∠DEN=∠MEF. 在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME, EN=EM, ∠DEN=∠FEM, ∴△DEN≌△FEM(ASA). ∴ED=EF. 答图 ∴矩形DEFG是正方形; (2)解：CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90 °. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90 °. ∴∠ADE=∠CDG. 在△ADE和△CDG中， AD=CD， ∠ADE=∠CDG， DE=DG， ∴△ADE≌△CDG(SAS). ∴AE=CG. ∵AC=AE+CE=AB=×4=8, ∴CE+CG=8． 一、选择题（每题4分，共32分） 1.已知O为四边形ABCD对角线的交点，则下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (B) A．OA=OB，OC=OD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AB=BC，CD=DA D．∠A=∠B，∠C=∠D 2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.已知AC=BC=4，BD=6，则△BOC的周长为 (B) A．8 B．9 C．12 D．14 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是三边的中点，且DE=3 cm，则AF的长度是(C) A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 (B) A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE 第4题图 第5题图 5.如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，∠BAC=90°，且AC∶BD=3∶5，若ABCD的面积为48，则AB的长为 (D) A．3 B．4 C．3 D．4 6.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE.若∠DAO=30°，则∠BEO的度数为 (D) A．55° B．60° C．65° D．75° 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥CD于点E，连接OE.若BD=6，OE=，则菱形的周长为 (B) A．12 B．16 C．4 D．24 第7题图 第8题图 8.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，连接EF.若AC=2，则EF的长度的最小值为 (B) A．2 B．1 C．2 D． 二、填空题（每题4分，共16分） 9.在 ABCD中，已知∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3，则∠A=45 °． 10.如图，在菱形ABCD中，若AB=13，BD=10，则菱形ABCD的面积为120． 11.（昆明西山区期末）如图，在平面直角坐标系中，AOBC的顶点B在x轴上，点A的坐标为（1，2），以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点F，作射线OF交AC于点P．则点P的坐标是(1+，2)． 第11题图 第12题图 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6．E为AD上一个动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D落在点F处，当F为线段AB的三等分点时，AE的长为 ． 三、解答题（共32分） 13.（6分）如图，在 ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：四边形DBFC是平行四边形； （2）若BC=DF，AD=8，∠A=60°，求BD的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠DCE=∠FBE. ∵E为BC边的中点， ∴BE=CE. ∵在△CDE和△BFE中， ∠DCE=∠FBE， CE=BE， ∠DEC=∠FEB， ∴△CDE≌△BFE(ASA). ∴CE=BE，DE=FE. ∴四边形DBFC是平行四边形; (2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，BC=DF， ∴四边形DBFC是矩形. ∴∠BDC=90 °. 在 ABCD中，∵AD=8，∠A=60 °， ∴BC=8，∠DCB=60 °. ∴∠DBC=30 °. ∴CD=BC=4. ∴BD===43． 14.（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点E，连接OE交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若AC=4，BD=6，求EF的长． (1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形DECO是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∴∠DOC=90 °． ∴ DECO是矩形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=6， ∴OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD． ∴∠COD=90 °． ∴CD===． 由(1)得，四边形DECO是矩形， ∴EF=OE=CD=． 15.（6分）如图，在 ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，BD平分∠ABC．在OA上截取OE=OD，在OC上截取OF=OD．连接DE，EB，BF，FD． （1）求证：ABCD是菱形； （2）判断四边形BFDE的形状并说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD. ∴∠ABD=∠BDC. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠BDC=∠DBC. ∴CD=CB. ∴ ABCD是菱形; (2)解：四边形BFDE为正方形． 理由： ∵ ABCD为菱形， ∴AC⊥BD且OD=OB. ∵OE=OD，OF=OD， ∴OE=OF. ∴四边形BFDE是菱形. ∵EF=BD, ∴四边形BFDE为正方形． 16.（6分）如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若E是OB上一动点，BE=1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠BAD= 2∠CAD，∠ABC=2∠DBC. ∴∠BAD+∠ABC=180 °. ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠BAD=∠ABC. ∴2∠BAD=180 °. ∴∠BAD=90 °. ∴四边形ABCD是正方形； (2)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=BC=4， ∴AC⊥BD，AC=BD=4. ∴OB=OC=AC=2，OD=BD=2. ∴∠COB=∠COD=90 °，OC=OD. ∵DH⊥CE，垂足为H， ∴∠DHE=90 °，∠EDH+∠DEH=90 °. ∵∠ECO+∠DEH=90 °， ∴∠ECO=∠EDH. 在△ECO和△FDO中， ∠COE=∠DOF=90 °, OC=OD, ∠ECO=∠FDO， ∴△ECO≌△FDO(ASA). ∴OE=OF． ∵BE=1，∴OE=OB-BE=2-1. ∴OF=OE=2-1． 17.（8分）如图，在正方形ABCD中，M为射线CD上一动点（不与点D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF相交于点E． （1）如图1，若点M在CD的延长线上，求证：DF=BM，DF⊥BM； （2）如图2，若点M移动到边CD上． ①（1）中结论是否仍成立？请说明理由; ②连接BD，若BD=BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长． (1)证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形， ∴∠BCM=∠FCD=90 °，BC=CD，CM=CF． 在△BCM和△DCF中， BC=CD, ∠BCM=∠DCF, CM=CF, ∴△BCM≌△DCF(SAS)． ∴DF=BM，∠CFD=∠CMB． ∵∠BMC+∠CBM=90 °， ∴∠CBM+∠CFD=90 °． ∴∠BEF=90 °． ∴DF⊥BM； (2)解：①成立．理由如下： ∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形， ∴∠BCM=∠FCD=90 °，BC=CD，CM=CF． 在△BCM和△DCF中， BC=DC, ∠BCM=∠DCF, CM=CF, ∴△BCM≌△DCF(SAS)． ∴DF=BM，∠CFD=∠CMB． ∵∠BMC+∠CBM=90 °， ∴∠CBM+∠CFD=90 °． ∴∠BEF=90 °． ∴DF⊥BM； ②设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x， ∴BD==x． ∵正方形CFGM的边长为1， ∴BF=BC+CF=x+1． ∵BD=BF， ∴x=x+1. ∴x=+1． ∴4x=4+4． ∴正方形ABCD的周长为4+4． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$