湖南省新高考教学教研联盟2025届高三下学期第一次联考数学试卷

2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（为虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为5，乙组样本数据的平均数为12，则下列说法错误的是（ ） A. B. 乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍 C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的极差可能相等 5. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知满足，且，则的值为（ ） A. 6072 B. 6075 C. 6078 D. 6069 7. 设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为1，且满足，则双曲线的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为5 C. 的最大值为3 D. 的最小值为8 10. 记的内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（ ） A. 将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B. 将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C. 小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D. 小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______________. 13. 若函数在内有2个零点，则的最大值为______________. 14. 将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内，圆锥的轴线与容器的体对角线重合，则圆锥体积的最大值为______________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在中，，，是边上一点，将沿翻折至，且平面平面.当面积最大时： （1）求； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，有两个零点，求的取值范围； （2）若是的极小值点，求的取值范围. 18. 抛物线的焦点为，，，是上的三个点，直线，均与圆相切，是上的任意一点，的最小值为3. （1）求的方程； （2）若，求的取值范围； （3）若为定值，求. 19. 已知数列满足：，，. （1）若，证明：为常数列，并求的通项公式； （2）将随机填入的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等； （3）将所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前项和为，证明：. 2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）0.002 （2） （3）不能 【16题答案】 【答案】（1）或 （2）或 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明：对任意某行，不妨设，且， 则， 考虑另外的某行或列，不妨设（记为），且， 则，① 若为行，则知为互不相同的正整数， 不妨设，则， ； ②若为列，则该列与上述行恰存在一个交叉的相同格， 在与中同时去掉这个相同数，对于剩余的各自44个数， 这88个数仍各不相同，类似（1）进行考虑，知与仍不相等， 综上所述，命题得证. （3）证明：对于任意互不相等的正整数，，，，不妨设， 由（2）可知， 故知所有算术平均数的排序应为： ， 易知新数列的项数为，故， 对，使得，知， 则为中任两项的算术平均数之和， 再加上与的个算术平均数之和， ， 由于，则，得， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $